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1. 是否存在数$m$，使关于$x,y$的多项式$(mx^2 - x^2 + 3x +1) - (5x^2 -4y^2 +3x)$化简后结果中不含$x^2$项？若不存在，请说明理由；若存在，求出$m$的值。
答案
解:原式$=mx^2 -x^2 +3x +1 -5x^2 +4y^2 -3x=(m-6)x^2 +4y^2 +1$.由题意,得$m-6=0$,所以存在$m=6$,满足要求.
解析
【分析】要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，需要先将给定的多项式进行化简，化简步骤为先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项；其次，“化简结果不含$x^2$项”的含义是合并同类项后$x^2$项的系数等于0；最后，根据这个条件列出关于$m$的一元一次方程，求解方程即可判断是否存在$m$以及$m$的取值。
【解析】首先对多项式去括号：
原式$=mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x$
接下来合并同类项：
含$x^2$的项合并后为：$(m-1-5)x^2=(m-6)x^2$
含$x$的项合并后为：$3x-3x=0$
剩余项为$4y^2+1$
因此化简结果为：$(m-6)x^2 +4y^2 +1$
根据题意，化简后不含$x^2$项，即$x^2$项的系数为0，可得：
$m-6=0$
解得$m=6$
因此存在满足要求的数$m$。
【答案】存在，$m$的值为6。
【知识点】整式的加减；合并同类项；多项式的系数
【点评】本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
【解析】首先对多项式去括号：
原式$=mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x$
接下来合并同类项：
含$x^2$的项合并后为：$(m-1-5)x^2=(m-6)x^2$
含$x$的项合并后为：$3x-3x=0$
剩余项为$4y^2+1$
因此化简结果为：$(m-6)x^2 +4y^2 +1$
根据题意，化简后不含$x^2$项，即$x^2$项的系数为0，可得：
$m-6=0$
解得$m=6$
因此存在满足要求的数$m$。
【答案】存在，$m$的值为6。
【知识点】整式的加减；合并同类项；多项式的系数
【点评】本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
2.小华从课外书上抄写了这样一道练习题：
“已知$ x=10 $，求$ 6x^2 + 4x - 2(x^2 - 1) - 2(2x + x^2) $的值.”粗心的小华把“$ x=10 $”抄成了“$ x=-10 $”，但计算的结果却是正确的.你知道其中原因吗？
“已知$ x=10 $，求$ 6x^2 + 4x - 2(x^2 - 1) - 2(2x + x^2) $的值.”粗心的小华把“$ x=10 $”抄成了“$ x=-10 $”，但计算的结果却是正确的.你知道其中原因吗？
答案
解:原式$=6x^2 +4x -2x^2 +2 -4x -2x^2=2x^2 +2$.当$x=10$或$x=-10$时,$x^2=100$,故原式$=2×100+2=202$.所以粗心的小华虽然把“$x=10$”抄写了“$x=-10$”,但计算的结果却是正确的.
解析
【分析】
遇到这类代入不同x值结果相同的问题，首先应先对整式进行化简，不要直接代入数值计算。解题思路为：第一步按照去括号法则去掉原式中的括号，注意括号前为负号时，去括号后括号内各项需变号，同时括号前的系数要乘遍括号内每一项；第二步合并同类项得到最简整式；第三步观察最简整式的特点，结合乘方的性质即可找到小华计算结果仍正确的原因。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=6x^2 + 4x - 2x^2 + 2 - 4x - 2x^2\\&=(6x^2 - 2x^2 - 2x^2)+(4x - 4x)+2\\&=2x^2 + 2\end{aligned}$
根据乘方的性质，互为相反数的两个数的平方相等，因此当$x=10$时，$x^2=10^2=100$；当$x=-10$时，$x^2=(-10)^2=100$。
将$x^2=100$代入最简式可得：$2×100 + 2=202$，两种情况下计算结果相同。
【答案】
原式化简后为$2x^2+2$，$x=10$和$x=-10$的平方均为100，代入后计算结果都为202，因此小华虽然把$x=10$抄成$x=-10$，结果仍然正确。
【知识点】
整式的加减，合并同类项，乘方的性质
【点评】
本题是整式化简的说理类题型，解题关键是先化简整式再分析取值的影响，既可以避免直接代值计算的繁琐，也能快速找到代数式的取值规律，同时要求熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.7
遇到这类代入不同x值结果相同的问题，首先应先对整式进行化简，不要直接代入数值计算。解题思路为：第一步按照去括号法则去掉原式中的括号，注意括号前为负号时，去括号后括号内各项需变号，同时括号前的系数要乘遍括号内每一项；第二步合并同类项得到最简整式；第三步观察最简整式的特点，结合乘方的性质即可找到小华计算结果仍正确的原因。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=6x^2 + 4x - 2x^2 + 2 - 4x - 2x^2\\&=(6x^2 - 2x^2 - 2x^2)+(4x - 4x)+2\\&=2x^2 + 2\end{aligned}$
根据乘方的性质，互为相反数的两个数的平方相等，因此当$x=10$时，$x^2=10^2=100$；当$x=-10$时，$x^2=(-10)^2=100$。
将$x^2=100$代入最简式可得：$2×100 + 2=202$，两种情况下计算结果相同。
【答案】
原式化简后为$2x^2+2$，$x=10$和$x=-10$的平方均为100，代入后计算结果都为202，因此小华虽然把$x=10$抄成$x=-10$，结果仍然正确。
【知识点】
整式的加减，合并同类项，乘方的性质
【点评】
本题是整式化简的说理类题型，解题关键是先化简整式再分析取值的影响，既可以避免直接代值计算的繁琐，也能快速找到代数式的取值规律，同时要求熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.7
3.如图是2024年7月的月历.
（1）不改变十字框的大小，如果将带阴影的十字框移至任意位置，带阴影的十字框中的5个数之和与十字框中心的数有什么关系？你知道为什么吗？
（2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
（1）不改变十字框的大小，如果将带阴影的十字框移至任意位置，带阴影的十字框中的5个数之和与十字框中心的数有什么关系？你知道为什么吗？
（2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
答案
(1)解:带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍,理由如下:设十字框中心的数为$x$,则其余4个数分别为$x-7,x-1,x+1,x+7$,带阴影的十字框中的5个数之和为$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=5x$,所以带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立.
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立.
解析
【分析】
解决本题首先要明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。第一问先计算示例中十字框5个数的和，初步观察和与中心数的关系，再通过设中心数为未知数，根据排列规律表示出其余四个数，求和化简即可验证关系。第二问判断结论是否通用，只需判断所有月份的月历都满足相邻数的差的规律，即可判断结论成立。
【解析】
(1) 先计算图中阴影十字框5个数的和：$4+10+11+12+18=55$，$55÷11=5$，初步发现5个数之和是中心数的5倍。
设十字框中心的数为$x$，根据月历规律可得：上方数比中心数小7，为$x-7$；下方数比中心数大7，为$x+7$；左边数比中心数小1，为$x-1$；右边数比中心数大1，为$x+1$。
则5个数的和为：
$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=5x$
因此带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍。
(2) 任意一个月的月历都遵循“同一行相邻数差1、同一列相邻数差7”的排列规则，上述推导过程对任意月历都适用，因此该结论对任何一个月的月历都成立。
【答案】
(1)带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍；
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立。
【知识点】
日历数字规律，整式加减运算，用字母表示数
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查规律探索能力，通过用字母表示数推导规律，体现了从特殊到一般的数学思想，有助于提升逻辑推理和代数应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。第一问先计算示例中十字框5个数的和，初步观察和与中心数的关系，再通过设中心数为未知数，根据排列规律表示出其余四个数，求和化简即可验证关系。第二问判断结论是否通用，只需判断所有月份的月历都满足相邻数的差的规律，即可判断结论成立。
【解析】
(1) 先计算图中阴影十字框5个数的和：$4+10+11+12+18=55$，$55÷11=5$，初步发现5个数之和是中心数的5倍。
设十字框中心的数为$x$，根据月历规律可得：上方数比中心数小7，为$x-7$；下方数比中心数大7，为$x+7$；左边数比中心数小1，为$x-1$；右边数比中心数大1，为$x+1$。
则5个数的和为：
$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=5x$
因此带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍。
(2) 任意一个月的月历都遵循“同一行相邻数差1、同一列相邻数差7”的排列规则，上述推导过程对任意月历都适用，因此该结论对任何一个月的月历都成立。
【答案】
(1)带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍；
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立。
【知识点】
日历数字规律，整式加减运算，用字母表示数
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查规律探索能力，通过用字母表示数推导规律，体现了从特殊到一般的数学思想，有助于提升逻辑推理和代数应用能力。
【难度系数】
0.7
4.放学后小刚一回到家就认真地做起了数学课上老师布置的一道数学题:已知两个多项式A和B,其中$A=3a+2b$,$B=*a-b$,求$2A+B$.由于粗心,小刚把多项式B中a的系数漏掉了,已知本题的正确答案是$8a+3b$,试求这道题里多项式B中a的系数,并求出$5A-3B$的值.
答案
解:由题意得,$B=8a+3b-2(3a+2b)=8a+3b-6a-4b=2a-b$,$∴$多项式$B$中$a$的系数是$2$,$∴5A-3B=5(3a+2b)-3(2a-b)=15a+10b-6a+3b=9a+13b$.
解析
【分析】
我们的解题目标有两个：一是求多项式B中a的系数，二是计算$5A-3B$的值。首先已知$2A+B$的正确结果是$8a+3b$，且多项式A是已知的，我们可以利用“一个加数=和-另一个加数”，推出$B=2A+B$的结果$-2A$，代入A的表达式计算即可得到完整的B，自然就能得出B中a的系数；得到完整的B后，再将A和B代入$5A-3B$，按照整式加减的规则，先去括号再合并同类项，就能算出最终结果。
【解析】
解：由题意得，$2A+B=8a+3b$，已知$A=3a+2b$，因此：
$B=8a+3b-2A$
将$A=3a+2b$代入上式：
$B=8a+3b-2(3a+2b)$
$=8a+3b-6a-4b$
$=2a-b$
由此可得多项式B中a的系数是2。
接下来计算$5A-3B$，将$A=3a+2b$，$B=2a-b$代入：
$5A-3B=5(3a+2b)-3(2a-b)$
$=15a+10b-6a+3b$
$=9a+13b$
【答案】
多项式B中a的系数是2，$5A-3B$的值为$9a+13b$。
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，去括号法则
【点评】
本题结合看错系数的情景考查整式的加减运算，需要先通过已知运算结果反推未知多项式的系数，再代入式子化简，解题的核心是熟练掌握去括号和合并同类项的规则，尤其注意去括号时的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
我们的解题目标有两个：一是求多项式B中a的系数，二是计算$5A-3B$的值。首先已知$2A+B$的正确结果是$8a+3b$，且多项式A是已知的，我们可以利用“一个加数=和-另一个加数”，推出$B=2A+B$的结果$-2A$，代入A的表达式计算即可得到完整的B，自然就能得出B中a的系数；得到完整的B后，再将A和B代入$5A-3B$，按照整式加减的规则，先去括号再合并同类项，就能算出最终结果。
【解析】
解：由题意得，$2A+B=8a+3b$，已知$A=3a+2b$，因此：
$B=8a+3b-2A$
将$A=3a+2b$代入上式：
$B=8a+3b-2(3a+2b)$
$=8a+3b-6a-4b$
$=2a-b$
由此可得多项式B中a的系数是2。
接下来计算$5A-3B$，将$A=3a+2b$，$B=2a-b$代入：
$5A-3B=5(3a+2b)-3(2a-b)$
$=15a+10b-6a+3b$
$=9a+13b$
【答案】
多项式B中a的系数是2，$5A-3B$的值为$9a+13b$。
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，去括号法则
【点评】
本题结合看错系数的情景考查整式的加减运算，需要先通过已知运算结果反推未知多项式的系数，再代入式子化简，解题的核心是熟练掌握去括号和合并同类项的规则，尤其注意去括号时的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
5.已知一个两位数，它的十位上的数字是a，个位上的数字是b.
(1)写出这个两位数.
(2)若$a≠b$，把这个两位数十位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？
(1)写出这个两位数.
(2)若$a≠b$，把这个两位数十位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？
答案
(1)解:$10a+b$.
(2)由题意得,这两个数的和为$(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)$,因为$a,b$都是整数,所以$a+b$也是整数.所以这两个数的和能被11整除.两个数的差为:$(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)$.因为$a,b$都是整数,所以$a-b$也是整数.所以这两个数的差一定是9的倍数.
(2)由题意得,这两个数的和为$(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)$,因为$a,b$都是整数,所以$a+b$也是整数.所以这两个数的和能被11整除.两个数的差为:$(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)$.因为$a,b$都是整数,所以$a-b$也是整数.所以这两个数的差一定是9的倍数.
解析
【分析】
(1) 首先回忆两位数的表示规则：两位数的数值等于十位数字乘10加个位数字，十位上的数字a代表a个10，个位上的数字b代表b个1，按规则组合即可得到所求两位数。
(2) 第二问先按两位数表示方法写出对调后的新两位数，再分别计算原数与新数的和、差，对和与差做整式加减化简，将结果写成“常数×整式”的形式，结合a、b都是整数的性质，即可判断对应的整除性。
【解析】
(1) 十位数字a表示a个10，个位数字b表示b个1，因此这个两位数为$10a + b$。
(2) 数字对调后，新两位数十位为b、个位为a，因此新两位数为$10b + a$。
① 计算两数的和：
$\begin{aligned}(10a + b) + (10b + a)&=10a + b + 10b + a\\&=11a + 11b\\&=11(a + b)\end{aligned}$
因为a、b都是整数，所以$a + b$也是整数，因此$11(a + b)$能被11整除，即原两位数与新两位数的和能被11整除。
② 计算两数的差：
$\begin{aligned}(10a + b) - (10b + a)&=10a + b - 10b - a\\&=9a - 9b\\&=9(a - b)\end{aligned}$
因为a、b都是整数，所以$a - b$也是整数，因此$9(a - b)$一定是9的倍数，即原两位数与新两位数的差一定是9的倍数。
【答案】
(1) $10a+b$
(2) 和能被11整除，理由：两数和为$11(a+b)$，a、b为整数，故$a+b$为整数，因此和能被11整除；差一定是9的倍数，理由：两数差为$9(a-b)$，a、b为整数，故$a-b$为整数，因此差一定是9的倍数。
【知识点】
列代数式；整式的加减；整除判定
【点评】
本题结合数字场景考查整式的加减应用，核心是掌握两位数的代数式表示方法，通过化简代数式结合整数性质说理，可有效锻炼代数运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆两位数的表示规则：两位数的数值等于十位数字乘10加个位数字，十位上的数字a代表a个10，个位上的数字b代表b个1，按规则组合即可得到所求两位数。
(2) 第二问先按两位数表示方法写出对调后的新两位数，再分别计算原数与新数的和、差，对和与差做整式加减化简，将结果写成“常数×整式”的形式，结合a、b都是整数的性质，即可判断对应的整除性。
【解析】
(1) 十位数字a表示a个10，个位数字b表示b个1，因此这个两位数为$10a + b$。
(2) 数字对调后，新两位数十位为b、个位为a，因此新两位数为$10b + a$。
① 计算两数的和：
$\begin{aligned}(10a + b) + (10b + a)&=10a + b + 10b + a\\&=11a + 11b\\&=11(a + b)\end{aligned}$
因为a、b都是整数，所以$a + b$也是整数，因此$11(a + b)$能被11整除，即原两位数与新两位数的和能被11整除。
② 计算两数的差：
$\begin{aligned}(10a + b) - (10b + a)&=10a + b - 10b - a\\&=9a - 9b\\&=9(a - b)\end{aligned}$
因为a、b都是整数，所以$a - b$也是整数，因此$9(a - b)$一定是9的倍数，即原两位数与新两位数的差一定是9的倍数。
【答案】
(1) $10a+b$
(2) 和能被11整除，理由：两数和为$11(a+b)$，a、b为整数，故$a+b$为整数，因此和能被11整除；差一定是9的倍数，理由：两数差为$9(a-b)$，a、b为整数，故$a-b$为整数，因此差一定是9的倍数。
【知识点】
列代数式；整式的加减；整除判定
【点评】
本题结合数字场景考查整式的加减应用，核心是掌握两位数的代数式表示方法，通过化简代数式结合整数性质说理，可有效锻炼代数运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
