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1. 二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5,\\2x-y=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$则一次函数$y=5-x$与$y=2x-1$的交点坐标为（ ）
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,-3)$
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,-3)$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数交点与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标，同时满足两个函数的解析式，因此恰好是两个解析式联立得到的二元一次方程组的解。接下来观察题干给出的两个一次函数，变形后正好对应题干已经给出解的二元一次方程组，直接将方程组的解转化为坐标形式即可，横坐标对应x的值，纵坐标对应y的值，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：
∵两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。
将一次函数$y=5-x$移项可得$x+y=5$，将$y=2x-1$移项可得$2x-y=1$，因此两个函数联立得到的方程组为$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，因此两个一次函数的交点横坐标为2，纵坐标为3，即交点坐标为$(2,3)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数交点的含义
【点评】
本题考察一次函数与二元一次方程组的关联，属于基础题型，掌握“两个一次函数的交点坐标对应其联立方程组的解”这一核心结论即可快速解题，解题时注意不要混淆横、纵坐标对应的数值。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一次函数交点与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标，同时满足两个函数的解析式，因此恰好是两个解析式联立得到的二元一次方程组的解。接下来观察题干给出的两个一次函数，变形后正好对应题干已经给出解的二元一次方程组，直接将方程组的解转化为坐标形式即可，横坐标对应x的值，纵坐标对应y的值，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：
∵两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。
将一次函数$y=5-x$移项可得$x+y=5$，将$y=2x-1$移项可得$2x-y=1$，因此两个函数联立得到的方程组为$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，因此两个一次函数的交点横坐标为2，纵坐标为3，即交点坐标为$(2,3)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数交点的含义
【点评】
本题考察一次函数与二元一次方程组的关联，属于基础题型，掌握“两个一次函数的交点坐标对应其联立方程组的解”这一核心结论即可快速解题，解题时注意不要混淆横、纵坐标对应的数值。
【难度系数】
0.9
2.直线$ax - 3y = 8$，$2x + 5y = -4$交点的纵坐标为0，则$a$的值为 （
A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$
B
）A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是理解两个直线交点的坐标同时满足这两条直线对应的方程，已知交点纵坐标为0，即y=0，我们可以先将y=0代入不含参数a的第二个方程，求出交点的横坐标，再将交点坐标代入含a的第一个方程，就能求出a的值。
【解析】
∵ 两条直线交点的纵坐标为0，
∴ 交点处y=0。
将y=0代入方程$2x + 5y = -4$，得：
$2x + 5×0 = -4$，
解得$x = -2$，
∴ 两条直线的交点坐标为$(-2, 0)$。
∵ 交点同时在直线$ax - 3y =8$上，
∴ 将$x=-2$，$y=0$代入$ax - 3y =8$，得：
$a×(-2) - 3×0 = 8$，
即$-2a = 8$，
解得$a = -4$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点性质、二元一次方程的解、代入求值
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的关联，解题的关键是明确两个一次函数的交点坐标同时对应两个二元一次方程的公共解，结合已知条件代入计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题的核心是理解两个直线交点的坐标同时满足这两条直线对应的方程，已知交点纵坐标为0，即y=0，我们可以先将y=0代入不含参数a的第二个方程，求出交点的横坐标，再将交点坐标代入含a的第一个方程，就能求出a的值。
【解析】
∵ 两条直线交点的纵坐标为0，
∴ 交点处y=0。
将y=0代入方程$2x + 5y = -4$，得：
$2x + 5×0 = -4$，
解得$x = -2$，
∴ 两条直线的交点坐标为$(-2, 0)$。
∵ 交点同时在直线$ax - 3y =8$上，
∴ 将$x=-2$，$y=0$代入$ax - 3y =8$，得：
$a×(-2) - 3×0 = 8$，
即$-2a = 8$，
解得$a = -4$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点性质、二元一次方程的解、代入求值
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的关联，解题的关键是明确两个一次函数的交点坐标同时对应两个二元一次方程的公共解，结合已知条件代入计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.若二元一次方程组$\begin{cases}4x - y = 1, \\-2x + y = -b\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2, \\y = 7,\end{cases}$则一次函数$y=2x - b$的图象与一次函数$y=4x - 1$的图象的交点坐标为 ______ 。
答案
(2,7)
解析
【分析】
解题时首先回忆核心知识点：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。首先将题目中的两个一次函数$y=4x-1$和$y=2x-b$联立，整理成二元一次方程组的标准形式，对比发现该方程组和题干给出的已知解的方程组完全一致，因此直接代入已知的方程组的解，就能得到两个一次函数的交点坐标。
【解析】
∵ 两个一次函数图象的交点坐标就是这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解，
将一次函数$y=4x-1$和$y=2x-b$联立，可得方程组：
$\begin{cases}y=4x-1 \\ y=2x - b\end{cases}$
对上述方程组移项整理，可得：
$\begin{cases}4x - y = 1 \\-2x + y = -b\end{cases}$
该方程组与题干给出的二元一次方程组完全相同，已知该方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 7\end{cases}$，
因此一次函数$y=2x - b$与$y=4x - 1$的图象交点坐标为$(2,7)$。
【答案】
$(2,7)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一次函数交点和对应联立方程组解的等价关系，无需额外计算，直接利用题干已知条件就能得出答案，考察对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆核心知识点：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。首先将题目中的两个一次函数$y=4x-1$和$y=2x-b$联立，整理成二元一次方程组的标准形式，对比发现该方程组和题干给出的已知解的方程组完全一致，因此直接代入已知的方程组的解，就能得到两个一次函数的交点坐标。
【解析】
∵ 两个一次函数图象的交点坐标就是这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解，
将一次函数$y=4x-1$和$y=2x-b$联立，可得方程组：
$\begin{cases}y=4x-1 \\ y=2x - b\end{cases}$
对上述方程组移项整理，可得：
$\begin{cases}4x - y = 1 \\-2x + y = -b\end{cases}$
该方程组与题干给出的二元一次方程组完全相同，已知该方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 7\end{cases}$，
因此一次函数$y=2x - b$与$y=4x - 1$的图象交点坐标为$(2,7)$。
【答案】
$(2,7)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一次函数交点和对应联立方程组解的等价关系，无需额外计算，直接利用题干已知条件就能得出答案，考察对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
4.(梧州市中考改编)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=2x+b$与直线$y=-3x+6$相交于点A,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=2x+b, \\ y=-3x+6\end{cases}$的解是 ( )
A.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=9 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=9 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
解题时要先明确一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。因此本题不需要计算参数b的值，直接从图象中读取两条直线的交点坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
二元一次方程组$\begin{cases}y=2x+b \\ y=-3x+6\end{cases}$的解对应直线$y=2x+b$与直线$y=-3x+6$的交点坐标。
从图中可读出两条直线的交点A的坐标为$(1,3)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象
【点评】
本题是基础类题目，主要考查一次函数和二元一次方程组的联系，只要掌握“两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解”这一核心规律，结合图象读取坐标即可快速解题，计算量很小。
【难度系数】
0.9
解题时要先明确一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。因此本题不需要计算参数b的值，直接从图象中读取两条直线的交点坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
二元一次方程组$\begin{cases}y=2x+b \\ y=-3x+6\end{cases}$的解对应直线$y=2x+b$与直线$y=-3x+6$的交点坐标。
从图中可读出两条直线的交点A的坐标为$(1,3)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象
【点评】
本题是基础类题目，主要考查一次函数和二元一次方程组的联系，只要掌握“两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解”这一核心规律，结合图象读取坐标即可快速解题，计算量很小。
【难度系数】
0.9
5.如图所示的两条直线 $ l_1, l_2 $ 的交点坐标可以看作方程的解。
答案
$\begin{cases} y=2x+1, \\ y=-x+4 \end{cases}$
解析
【分析】
要确定两条直线交点坐标对应的方程组，首先明确：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个一次函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。所以我们首先需要用待定系数法分别求出直线$l_1$和$l_2$的解析式，再将两个解析式联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，由图可知$l_1$过点$(0,1)$和$(1,3)$。
把$(0,1)$代入解析式得：$b_1=1$；
把$(1,3)$和$b_1=1$代入得：$3=k_1×1+1$，解得$k_1=2$。
因此$l_1$的解析式为$y=2x+1$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，由图可知$l_2$过点$(0,4)$和$(4,0)$。
把$(0,4)$代入解析式得：$b_2=4$；
把$(4,0)$和$b_2=4$代入得：$0=4k_2+4$，解得$k_2=-1$。
因此$l_2$的解析式为$y=-x+4$。
3. 联立两个解析式，所得的方程组的解就是两条直线的交点坐标，故所求方程组为$\begin{cases} y=2x+1 \\ y=-x+4 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} y=2x+1, \\ y=-x+4 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题核心是理解一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，解题时需熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，属于一次函数的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要确定两条直线交点坐标对应的方程组，首先明确：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个一次函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。所以我们首先需要用待定系数法分别求出直线$l_1$和$l_2$的解析式，再将两个解析式联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，由图可知$l_1$过点$(0,1)$和$(1,3)$。
把$(0,1)$代入解析式得：$b_1=1$；
把$(1,3)$和$b_1=1$代入得：$3=k_1×1+1$，解得$k_1=2$。
因此$l_1$的解析式为$y=2x+1$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，由图可知$l_2$过点$(0,4)$和$(4,0)$。
把$(0,4)$代入解析式得：$b_2=4$；
把$(4,0)$和$b_2=4$代入得：$0=4k_2+4$，解得$k_2=-1$。
因此$l_2$的解析式为$y=-x+4$。
3. 联立两个解析式，所得的方程组的解就是两条直线的交点坐标，故所求方程组为$\begin{cases} y=2x+1 \\ y=-x+4 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} y=2x+1, \\ y=-x+4 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题核心是理解一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，解题时需熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，属于一次函数的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}x+y-1=0, \\ -kx+y-b=0\end{cases}$有唯一一组解，则k，b应满足的条件是（ ）
A.$b≠1$
B.$k≠-1$
C.$b≠1$且$k≠-1$
D.$k≠-b$
A.$b≠1$
B.$k≠-1$
C.$b≠1$且$k≠-1$
D.$k≠-b$
答案
B
解析
【分析】
要判断二元一次方程组有唯一解时k、b满足的条件，可将方程组的两个方程转化为一次函数形式，利用“二元一次方程组的解对应两个一次函数图像的交点”这一关系分析：方程组有唯一解等价于两个一次函数的图像（两条直线）有且只有1个交点，即两条直线相交。而两条直线相交的条件是斜率不相等，据此推导k、b的取值要求即可。
【解析】
首先将方程组中的两个方程整理为一次函数的标准形式：
1. 对$x+y-1=0$移项可得：$y = -x + 1$，其斜率为$-1$；
2. 对$-kx+y-b=0$移项可得：$y = kx + b$，其斜率为$k$。
二元一次方程组有唯一一组解，对应两个一次函数的图像相交，有且仅有一个交点。
根据一次函数图像的位置规律：对于两个一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，当$k_1 ≠ k_2$时，两条直线相交，对应方程组有唯一解，与常数项$b_1$、$b_2$的取值无关。
因此只要满足$-1 ≠ k$，即$k ≠ -1$时，原方程组就有唯一一组解，与b的取值无关。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数图像的位置关系
【点评】
本题将二元一次方程组解的判定和一次函数图像的性质结合考查，解题的核心是理解方程组的解和函数交点的对应关系，熟练掌握两条直线不同位置关系对应的系数条件即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断二元一次方程组有唯一解时k、b满足的条件，可将方程组的两个方程转化为一次函数形式，利用“二元一次方程组的解对应两个一次函数图像的交点”这一关系分析：方程组有唯一解等价于两个一次函数的图像（两条直线）有且只有1个交点，即两条直线相交。而两条直线相交的条件是斜率不相等，据此推导k、b的取值要求即可。
【解析】
首先将方程组中的两个方程整理为一次函数的标准形式：
1. 对$x+y-1=0$移项可得：$y = -x + 1$，其斜率为$-1$；
2. 对$-kx+y-b=0$移项可得：$y = kx + b$，其斜率为$k$。
二元一次方程组有唯一一组解，对应两个一次函数的图像相交，有且仅有一个交点。
根据一次函数图像的位置规律：对于两个一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，当$k_1 ≠ k_2$时，两条直线相交，对应方程组有唯一解，与常数项$b_1$、$b_2$的取值无关。
因此只要满足$-1 ≠ k$，即$k ≠ -1$时，原方程组就有唯一一组解，与b的取值无关。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数图像的位置关系
【点评】
本题将二元一次方程组解的判定和一次函数图像的性质结合考查，解题的核心是理解方程组的解和函数交点的对应关系，熟练掌握两条直线不同位置关系对应的系数条件即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
7.若二元一次方程组$\begin{cases}6x + 3y = 1, \\5kx - y = -\dfrac{1}{3}\end{cases}$有无数组解，那么$k$应满足的条件是（ ）
A.$k=-\dfrac{2}{5}$
B.$k=\dfrac{2}{5}$
C.$k$为任意有理数
D.以上都不对
A.$k=-\dfrac{2}{5}$
B.$k=\dfrac{2}{5}$
C.$k$为任意有理数
D.以上都不对
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程组有无数组解的核心条件：两个方程本质是同一个方程，即通过等式变形后，两个方程的对应未知数系数、常数项完全相同。我们可以先对第二个方程进行变形，让它的y项系数和第一个方程的y项系数一致，再对比x项的系数，即可求出k的取值。
【解析】
已知二元一次方程组有无数组解，说明两个方程为同解方程，变形后完全一致。
第一步：对第二个方程$5kx - y = -\dfrac{1}{3}$两边同时乘$-3$，根据等式的性质，等式两边乘同一个数，等式仍然成立，可得：
$-3×(5kx - y) = -3×(-\dfrac{1}{3})$
计算得：$-15kx + 3y = 1$
第二步：将变形后的方程和第一个方程$6x + 3y = 1$对比，两个方程的y项系数、常数项都已经相同，要让两个方程完全一致，x项的系数必须相等，即：
$-15k = 6$
第三步：解这个一元一次方程，两边同时除以$-15$得：
$k = \dfrac{6}{-15} = -\dfrac{2}{5}$
因此k应满足的条件是$k=-\dfrac{2}{5}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组解的判定；等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题主要考察二元一次方程组有无数组解的判定条件，解题的关键是理解无数组解对应的两个方程是同解方程，通过变形对比系数即可求解，属于常考的基础题型，掌握方程组解的不同情况对应的判定规则就能轻松作答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程组有无数组解的核心条件：两个方程本质是同一个方程，即通过等式变形后，两个方程的对应未知数系数、常数项完全相同。我们可以先对第二个方程进行变形，让它的y项系数和第一个方程的y项系数一致，再对比x项的系数，即可求出k的取值。
【解析】
已知二元一次方程组有无数组解，说明两个方程为同解方程，变形后完全一致。
第一步：对第二个方程$5kx - y = -\dfrac{1}{3}$两边同时乘$-3$，根据等式的性质，等式两边乘同一个数，等式仍然成立，可得：
$-3×(5kx - y) = -3×(-\dfrac{1}{3})$
计算得：$-15kx + 3y = 1$
第二步：将变形后的方程和第一个方程$6x + 3y = 1$对比，两个方程的y项系数、常数项都已经相同，要让两个方程完全一致，x项的系数必须相等，即：
$-15k = 6$
第三步：解这个一元一次方程，两边同时除以$-15$得：
$k = \dfrac{6}{-15} = -\dfrac{2}{5}$
因此k应满足的条件是$k=-\dfrac{2}{5}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组解的判定；等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题主要考察二元一次方程组有无数组解的判定条件，解题的关键是理解无数组解对应的两个方程是同解方程，通过变形对比系数即可求解，属于常考的基础题型，掌握方程组解的不同情况对应的判定规则就能轻松作答。
【难度系数】
0.7
8. 两条直线$y=2x-1$和$y=2x-3$的位置关系为 ______ .由此可知，方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\2x - y = 3\end{cases}$的解的情况为 ______ .
答案
平行 无解
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数的图象性质与一次函数和二元一次方程组的对应关系：首先一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，$k$决定直线的倾斜程度，$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标。第一步先对比两条直线的$k$值和$b$值，判断位置关系；第二步根据“二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标”的规律，判断方程组的解的情况。
【解析】
1. 判断两条直线的位置关系：
两条直线的表达式分别为$y=2x-1$和$y=2x-3$，它们的比例系数$k$都是$2$，说明倾斜程度相同，截距$b$分别为$-1$和$-3$，不相等，说明两条直线没有公共交点，因此位置关系为平行。
2. 判断方程组的解的情况：
二元一次方程组中每个方程都可以对应转化为一次函数，方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。因为两条直线平行，不存在公共交点，所以对应的方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\2x - y = 3\end{cases}$没有解。
【答案】
平行；无解
【知识点】
一次函数的图象性质；两直线平行的判定；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一次函数的参数$k$、$b$对直线位置的影响，以及一次函数图象交点和二元一次方程组解的对应关系，掌握这两点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数的图象性质与一次函数和二元一次方程组的对应关系：首先一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，$k$决定直线的倾斜程度，$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标。第一步先对比两条直线的$k$值和$b$值，判断位置关系；第二步根据“二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标”的规律，判断方程组的解的情况。
【解析】
1. 判断两条直线的位置关系：
两条直线的表达式分别为$y=2x-1$和$y=2x-3$，它们的比例系数$k$都是$2$，说明倾斜程度相同，截距$b$分别为$-1$和$-3$，不相等，说明两条直线没有公共交点，因此位置关系为平行。
2. 判断方程组的解的情况：
二元一次方程组中每个方程都可以对应转化为一次函数，方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。因为两条直线平行，不存在公共交点，所以对应的方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\2x - y = 3\end{cases}$没有解。
【答案】
平行；无解
【知识点】
一次函数的图象性质；两直线平行的判定；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一次函数的参数$k$、$b$对直线位置的影响，以及一次函数图象交点和二元一次方程组解的对应关系，掌握这两点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
9.(桂林师大二附单元卷)如图,两个一次函数$y=kx+b$与$y=mx+n$的图象分别为直线$l_1$和$l_2$,$l_1$与$l_2$交于点$A(1,p)$,$l_1$与$x$轴交于点$B(-2,0)$,$l_2$与$x$轴交于点$C(4,0)$,则不等式组$0＜mx+n＜kx+b$的解集为
.
$1＜x＜4$
.
答案
$1＜x＜4$
解析
【分析】
要解不等式组$0＜mx+n＜kx+b$，需将其拆分为$0＜mx+n$和$mx+n＜kx+b$两个不等式分别求解，再取两个解集的公共部分。首先，$0＜mx+n$对应直线$l_2$图象在x轴上方的x取值范围，结合$l_2$与x轴的交点坐标和增减性即可求解；其次，$mx+n＜kx+b$对应直线$l_2$在$l_1$下方的x取值范围，结合两直线交点的横坐标即可求解，最后取两个解集的公共部分即为最终结果。
【解析】
1. 求解不等式$0 ＜ mx+n$：
直线$l_2:y=mx+n$与x轴交于点$C(4,0)$，且$l_2$的y随x的增大而减小，因此当$y=mx+n＞0$时，图象在x轴上方，对应的x的取值范围是$x ＜ 4$。
2. 求解不等式$mx+n ＜ kx+b$：
直线$l_1$和$l_2$的交点为$A(1,p)$，即当$x=1$时两个函数值相等；观察图象可知，当$x ＞ 1$时，直线$l_2$位于直线$l_1$的下方，此时$mx+n ＜ kx+b$，因此该不等式的解集是$x ＞ 1$。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组$0＜mx+n＜kx+b$的解集为$1 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
$1＜x＜4$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，不等式组解集
【点评】
本题是典型的一次函数与不等式结合的数形结合类题目，解题核心是将不等式的关系转化为函数图象的上下、与x轴的位置关系，结合交点横坐标快速确定解集，避免了繁琐的解析式计算。
【难度系数】
0.7
要解不等式组$0＜mx+n＜kx+b$，需将其拆分为$0＜mx+n$和$mx+n＜kx+b$两个不等式分别求解，再取两个解集的公共部分。首先，$0＜mx+n$对应直线$l_2$图象在x轴上方的x取值范围，结合$l_2$与x轴的交点坐标和增减性即可求解；其次，$mx+n＜kx+b$对应直线$l_2$在$l_1$下方的x取值范围，结合两直线交点的横坐标即可求解，最后取两个解集的公共部分即为最终结果。
【解析】
1. 求解不等式$0 ＜ mx+n$：
直线$l_2:y=mx+n$与x轴交于点$C(4,0)$，且$l_2$的y随x的增大而减小，因此当$y=mx+n＞0$时，图象在x轴上方，对应的x的取值范围是$x ＜ 4$。
2. 求解不等式$mx+n ＜ kx+b$：
直线$l_1$和$l_2$的交点为$A(1,p)$，即当$x=1$时两个函数值相等；观察图象可知，当$x ＞ 1$时，直线$l_2$位于直线$l_1$的下方，此时$mx+n ＜ kx+b$，因此该不等式的解集是$x ＞ 1$。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组$0＜mx+n＜kx+b$的解集为$1 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
$1＜x＜4$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，不等式组解集
【点评】
本题是典型的一次函数与不等式结合的数形结合类题目，解题核心是将不等式的关系转化为函数图象的上下、与x轴的位置关系，结合交点横坐标快速确定解集，避免了繁琐的解析式计算。
【难度系数】
0.7
