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11. 在平面直角坐标系中, 以方程$-2x + y = 5$的解为坐标的点所组成的直线与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$O$为坐标原点,则三角形$AOB$的面积为（
A.$5$
B.$6$
C.$\dfrac{25}{4}$
D.$8$
C
）A.$5$
B.$6$
C.$\dfrac{25}{4}$
D.$8$
答案
11.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先，二元一次方程的所有解对应的点组成的图形就是对应的一次函数的图象，所以先将给定的二元一次方程变形为一次函数的形式；其次，求直线与x轴、y轴的交点坐标：x轴上的点纵坐标为0，代入函数式可求出点A的横坐标，y轴上的点横坐标为0，代入可求出点B的纵坐标；最后，三角形AOB是直角三角形（x轴与y轴垂直），两条直角边的长度分别是OA、OB的长度（即点A横坐标的绝对值、点B纵坐标的绝对值），代入直角三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：先将方程$-2x + y = 5$整理为一次函数形式：$y = 2x + 5$。
1. 求直线与x轴交点A：
x轴上的点纵坐标为0，将$y=0$代入$y=2x+5$，得：
$0 = 2x + 5$，解得$x = -\frac{5}{2}$
∴点A坐标为$(-\frac{5}{2}, 0)$，$OA = \left|-\frac{5}{2}\right| = \frac{5}{2}$
2. 求直线与y轴交点B：
y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入$y=2x+5$，得：
$y = 5$
∴点B坐标为$(0, 5)$，$OB = |5| = 5$
3. 计算$△ AOB$的面积：
∵x轴⊥y轴，$△ AOB$为直角三角形，直角顶点为O
∴$S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 5 = \frac{25}{4}$
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数与坐标轴的交点；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程和对应一次函数图象的联系，掌握坐标轴上点的坐标特征，计算时注意交点坐标到原点的距离要取绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，二元一次方程的所有解对应的点组成的图形就是对应的一次函数的图象，所以先将给定的二元一次方程变形为一次函数的形式；其次，求直线与x轴、y轴的交点坐标：x轴上的点纵坐标为0，代入函数式可求出点A的横坐标，y轴上的点横坐标为0，代入可求出点B的纵坐标；最后，三角形AOB是直角三角形（x轴与y轴垂直），两条直角边的长度分别是OA、OB的长度（即点A横坐标的绝对值、点B纵坐标的绝对值），代入直角三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：先将方程$-2x + y = 5$整理为一次函数形式：$y = 2x + 5$。
1. 求直线与x轴交点A：
x轴上的点纵坐标为0，将$y=0$代入$y=2x+5$，得：
$0 = 2x + 5$，解得$x = -\frac{5}{2}$
∴点A坐标为$(-\frac{5}{2}, 0)$，$OA = \left|-\frac{5}{2}\right| = \frac{5}{2}$
2. 求直线与y轴交点B：
y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入$y=2x+5$，得：
$y = 5$
∴点B坐标为$(0, 5)$，$OB = |5| = 5$
3. 计算$△ AOB$的面积：
∵x轴⊥y轴，$△ AOB$为直角三角形，直角顶点为O
∴$S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 5 = \frac{25}{4}$
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数与坐标轴的交点；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程和对应一次函数图象的联系，掌握坐标轴上点的坐标特征，计算时注意交点坐标到原点的距离要取绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12.(开放设问)点A是第二象限内一点，且点A的坐标(x,y)是二元一次方程$2x+y=5$的一个解，请你写出满足条件的一个点A的坐标：
$(-1,7)$(答案不唯一)
(写出一个即可).答案
12.$(-1,7)$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确两个条件：①点A在第二象限，第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；②点A的坐标(x,y)满足方程2x+y=5。我们可以先任意选取一个小于0的x值，代入方程计算出对应的y值，只要算出的y值大于0，即可得到符合条件的点A的坐标。
【解析】
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0。
取x=-1（x可取任意负数值），将x=-1代入方程2x+y=5得：
$2×(-1) + y = 5$
解得$y=7$
∴满足条件的一个点A的坐标可以是$(-1,7)$。
（注：也可取其他负的x值，如x=-2时，y=9，即点$(-2,9)$也符合要求，答案不唯一）
【答案】
$(-1,7)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 第二象限点的坐标特征
2. 二元一次方程的解
【点评】
本题属于开放型基础题，结合了象限坐标符号规律和二元一次方程解的知识点，解题思路灵活，只要熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个条件：①点A在第二象限，第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；②点A的坐标(x,y)满足方程2x+y=5。我们可以先任意选取一个小于0的x值，代入方程计算出对应的y值，只要算出的y值大于0，即可得到符合条件的点A的坐标。
【解析】
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0。
取x=-1（x可取任意负数值），将x=-1代入方程2x+y=5得：
$2×(-1) + y = 5$
解得$y=7$
∴满足条件的一个点A的坐标可以是$(-1,7)$。
（注：也可取其他负的x值，如x=-2时，y=9，即点$(-2,9)$也符合要求，答案不唯一）
【答案】
$(-1,7)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 第二象限点的坐标特征
2. 二元一次方程的解
【点评】
本题属于开放型基础题，结合了象限坐标符号规律和二元一次方程解的知识点，解题思路灵活，只要熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
13.一次函数$y=kx+7$的图象总过定点；
关于$x,y$的二元一次方程$kx - y = -7$有无数个解，其中必有一解是。
关于$x,y$的二元一次方程$kx - y = -7$有无数个解，其中必有一解是。
答案
13.$(0,7)$ $\begin{cases} x=0,\\ y=7 \end{cases}$
解析
【分析】
解题核心是消去参数k的影响：1. 一次函数过定点的含义是无论k取何值，该点坐标都满足函数解析式，要让含k的项计算结果和k无关，只需令x=0，就能求出对应的y值得到定点；2. 二元一次方程$kx-y=-7$有无数个解，要找不受k取值影响的固定解，同样令含k的项的系数x为0，代入方程即可求出对应的y值，得到固定解。
【解析】
1. 求一次函数$y=kx+7$的定点：
当$x=0$时，无论$k$取何值，$y=k×0 +7=7$，因此函数图象总经过点$(0,7)$。
2. 求二元一次方程$kx-y=-7$的固定解：
要让解不受$k$的取值影响，令$x=0$，代入方程得：$k×0 - y = -7$，解得$y=7$，因此必有一解是$\begin{cases} x=0 \\ y=7 \end{cases}$。
【答案】
$(0,7)$；$\begin{cases} x=0 \\ y=7 \end{cases}$
【知识点】
一次函数的图象性质；二元一次方程的解
【点评】
本题考查一次函数定点判断与二元一次方程特殊解的求解，解题关键是消去参数k的影响，找到不受参数变化干扰的坐标值，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题核心是消去参数k的影响：1. 一次函数过定点的含义是无论k取何值，该点坐标都满足函数解析式，要让含k的项计算结果和k无关，只需令x=0，就能求出对应的y值得到定点；2. 二元一次方程$kx-y=-7$有无数个解，要找不受k取值影响的固定解，同样令含k的项的系数x为0，代入方程即可求出对应的y值，得到固定解。
【解析】
1. 求一次函数$y=kx+7$的定点：
当$x=0$时，无论$k$取何值，$y=k×0 +7=7$，因此函数图象总经过点$(0,7)$。
2. 求二元一次方程$kx-y=-7$的固定解：
要让解不受$k$的取值影响，令$x=0$，代入方程得：$k×0 - y = -7$，解得$y=7$，因此必有一解是$\begin{cases} x=0 \\ y=7 \end{cases}$。
【答案】
$(0,7)$；$\begin{cases} x=0 \\ y=7 \end{cases}$
【知识点】
一次函数的图象性质；二元一次方程的解
【点评】
本题考查一次函数定点判断与二元一次方程特殊解的求解，解题关键是消去参数k的影响，找到不受参数变化干扰的坐标值，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
14.一次函数$y=-x+2$经过点$(1,1)$，若将该点向上平移$a$个单位，向右平移$b$个单位后，仍落在该函数图象上，那么$a$与$b$的数量关系是________.
答案
14.$a=-b$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先回忆点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，先求出平移后的点的坐标；第二步，因为平移后的点在一次函数图象上，所以该点坐标满足一次函数解析式，把平移后的点坐标代入函数式，化简整理即可得到a和b的数量关系。
【解析】
首先计算点$(1,1)$平移后的坐标：
向右平移$b$个单位，横坐标变为$1+b$；向上平移$a$个单位，纵坐标变为$1+a$，即平移后点的坐标为$(1+b,1+a)$。
因为该点落在一次函数$y=-x+2$的图象上，所以将$x=1+b$，$y=1+a$代入函数解析式得：
$1+a = -(1+b) + 2$
化简右边：$-(1+b)+2 = -1 -b +2 = 1 -b$
因此等式变为$1+a = 1 -b$，两边同时减去1，可得$a=-b$。
【答案】
$a=-b$
【知识点】
1. 点的平移坐标规律
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查平移的坐标变化规则和一次函数图象的性质，只要掌握代入法求解坐标关系的方法，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先回忆点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，先求出平移后的点的坐标；第二步，因为平移后的点在一次函数图象上，所以该点坐标满足一次函数解析式，把平移后的点坐标代入函数式，化简整理即可得到a和b的数量关系。
【解析】
首先计算点$(1,1)$平移后的坐标：
向右平移$b$个单位，横坐标变为$1+b$；向上平移$a$个单位，纵坐标变为$1+a$，即平移后点的坐标为$(1+b,1+a)$。
因为该点落在一次函数$y=-x+2$的图象上，所以将$x=1+b$，$y=1+a$代入函数解析式得：
$1+a = -(1+b) + 2$
化简右边：$-(1+b)+2 = -1 -b +2 = 1 -b$
因此等式变为$1+a = 1 -b$，两边同时减去1，可得$a=-b$。
【答案】
$a=-b$
【知识点】
1. 点的平移坐标规律
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查平移的坐标变化规则和一次函数图象的性质，只要掌握代入法求解坐标关系的方法，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
15.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-2,-3),B(1,3)$两点.
(1)求该一次函数所对应的二元一次方程；
(2)试判断点$P(-1,-1)$的横、纵坐标组成的有序实数对是否是(1)中所得方程的解.
(1)求该一次函数所对应的二元一次方程；
(2)试判断点$P(-1,-1)$的横、纵坐标组成的有序实数对是否是(1)中所得方程的解.
答案
15.(1)解:由题意,得 $\begin{cases} -2k+b=-3,\\ k+b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ b=1. \end{cases}$$\therefore$一次函数的表达式为 $y=2x+1$.$\therefore$该一次函数所对应的二元一次方程为 $2x-y+1=0$.
(2)当 $x=-1,y=-1$ 时,$2x-y+1=2×(-1)-(-1)+1=0$,满足方程 $2x-y+1=0$,$\therefore(-1,-1)$是方程 $2x-y+1=0$ 的解.
(2)当 $x=-1,y=-1$ 时,$2x-y+1=2×(-1)-(-1)+1=0$,满足方程 $2x-y+1=0$,$\therefore(-1,-1)$是方程 $2x-y+1=0$ 的解.
解析
【分析】
（1）要得到一次函数对应的二元一次方程，首先需要确定一次函数的解析式。已知一次函数图像经过两个已知点，可将两点坐标代入$y=kx+b$，得到关于参数$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值即可得到函数表达式，再将函数表达式整理为二元一次方程的形式即可。
（2）判断有序实数对是否为二元一次方程的解，只需将数对的横、纵坐标分别代入方程左右两侧，若两侧计算结果相等，则该数对是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 将$A(-2,-3)$、$B(1,3)$两点坐标代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases} -2k+b=-3\\ k+b=3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得$3k=6$，解得$k=2$；
将$k=2$代入$k+b=3$，得$2+b=3$，解得$b=1$。
因此一次函数的表达式为$y=2x+1$，移项整理为二元一次方程形式：$2x-y+1=0$。
(2) 将点$P(-1,-1)$的$x=-1$、$y=-1$代入方程$2x-y+1=0$的左侧，计算得：
$2×(-1)-(-1)+1=-2+1+1=0$，左侧等于右侧，符合方程要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x-y+1=0}$
(2) 点$P(-1,-1)$的横、纵坐标组成的有序实数对是(1)中所得方程的解。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程的关系；二元一次方程解的判定
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及方程解的验证方法，解题逻辑清晰，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要得到一次函数对应的二元一次方程，首先需要确定一次函数的解析式。已知一次函数图像经过两个已知点，可将两点坐标代入$y=kx+b$，得到关于参数$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值即可得到函数表达式，再将函数表达式整理为二元一次方程的形式即可。
（2）判断有序实数对是否为二元一次方程的解，只需将数对的横、纵坐标分别代入方程左右两侧，若两侧计算结果相等，则该数对是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 将$A(-2,-3)$、$B(1,3)$两点坐标代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases} -2k+b=-3\\ k+b=3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得$3k=6$，解得$k=2$；
将$k=2$代入$k+b=3$，得$2+b=3$，解得$b=1$。
因此一次函数的表达式为$y=2x+1$，移项整理为二元一次方程形式：$2x-y+1=0$。
(2) 将点$P(-1,-1)$的$x=-1$、$y=-1$代入方程$2x-y+1=0$的左侧，计算得：
$2×(-1)-(-1)+1=-2+1+1=0$，左侧等于右侧，符合方程要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x-y+1=0}$
(2) 点$P(-1,-1)$的横、纵坐标组成的有序实数对是(1)中所得方程的解。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程的关系；二元一次方程解的判定
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及方程解的验证方法，解题逻辑清晰，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
16.(合肥四十六中单元卷)如图,在平面直角坐标系中,把二元一次方程$x+y=4$的若干个解用点表示出来,发现它们都落在同一条直线上.一般地,任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来,它的图象就是一条直线.根据这个结论,解决下列问题:
(1)根据图象判断二元一次方程$x+y=4$的正整数解为(写出所有正整数解);
(2)若在直线上取一点$M(1,3)$,先向下平移$a$个单位,再向右平移$b$个单位得到点$M'$,发现点$M'$又重新落在二元一次方程$x+y=4$所对应的图象上,试探究$a,b$之间满足的数量关系.
(1)根据图象判断二元一次方程$x+y=4$的正整数解为(写出所有正整数解);
(2)若在直线上取一点$M(1,3)$,先向下平移$a$个单位,再向右平移$b$个单位得到点$M'$,发现点$M'$又重新落在二元一次方程$x+y=4$所对应的图象上,试探究$a,b$之间满足的数量关系.
答案
16.(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$,$\begin{cases} x=2,\\ y=2 \end{cases}$,$\begin{cases} x=3,\\ y=1 \end{cases}$
(2)解:点 $M$ 平移后的点 $M'$ 的坐标为$(1+b,3-a)$.因为$(1+b,3-a)$在直线 $x+y=4$ 上,所以 $1+b+3-a=4$,解得 $a=b$.
(2)解:点 $M$ 平移后的点 $M'$ 的坐标为$(1+b,3-a)$.因为$(1+b,3-a)$在直线 $x+y=4$ 上,所以 $1+b+3-a=4$,解得 $a=b$.
解析
【分析】
(1) 求二元一次方程$x+y=4$的正整数解，首先明确正整数解要求$x$、$y$均为大于0的整数，只需代入正整数$x$计算对应$y$值，判断$y$是否为正整数即可，也可结合图象上横纵坐标均为正的整数点直接提取解。
(2) 先回忆点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，据此写出平移后点$M'$的坐标；再根据二元一次方程的解和对应直线上点的坐标一一对应，将$M'$的坐标代入方程$x+y=4$，化简即可得到$a$、$b$的数量关系。
【解析】
(1) 正整数解需满足$x＞0$，$y＞0$，且$x$、$y$均为整数，结合$x+y=4$：
当$x=1$时，$y=4-1=3$，符合要求；
当$x=2$时，$y=4-2=2$，符合要求；
当$x=3$时，$y=4-3=1$，符合要求；
当$x≥4$时，$y=4-x≤0$，不符合正整数要求。
(2) 根据点平移的坐标变化规律，点$M(1,3)$向下平移$a$个单位，纵坐标变为$3-a$，再向右平移$b$个单位，横坐标变为$1+b$，因此$M'$的坐标为$(1+b,3-a)$。
因为$M'$在$x+y=4$对应的直线上，所以其坐标满足方程，代入得：
$1+b+3-a=4$
整理得$4+b-a=4$，即$a=b$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=2,\\ y=2 \end{cases}$，$\begin{cases} x=3,\\ y=1 \end{cases}$
(2)$a=b$
【知识点】
二元一次方程的解，坐标平移规律，一次函数与二元一次方程的关系
【点评】
本题结合一次函数图象考查基础知识点的应用，核心是理解二元一次方程的解与对应直线上点的坐标一一对应，熟练掌握点平移的坐标变化规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求二元一次方程$x+y=4$的正整数解，首先明确正整数解要求$x$、$y$均为大于0的整数，只需代入正整数$x$计算对应$y$值，判断$y$是否为正整数即可，也可结合图象上横纵坐标均为正的整数点直接提取解。
(2) 先回忆点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，据此写出平移后点$M'$的坐标；再根据二元一次方程的解和对应直线上点的坐标一一对应，将$M'$的坐标代入方程$x+y=4$，化简即可得到$a$、$b$的数量关系。
【解析】
(1) 正整数解需满足$x＞0$，$y＞0$，且$x$、$y$均为整数，结合$x+y=4$：
当$x=1$时，$y=4-1=3$，符合要求；
当$x=2$时，$y=4-2=2$，符合要求；
当$x=3$时，$y=4-3=1$，符合要求；
当$x≥4$时，$y=4-x≤0$，不符合正整数要求。
(2) 根据点平移的坐标变化规律，点$M(1,3)$向下平移$a$个单位，纵坐标变为$3-a$，再向右平移$b$个单位，横坐标变为$1+b$，因此$M'$的坐标为$(1+b,3-a)$。
因为$M'$在$x+y=4$对应的直线上，所以其坐标满足方程，代入得：
$1+b+3-a=4$
整理得$4+b-a=4$，即$a=b$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=2,\\ y=2 \end{cases}$，$\begin{cases} x=3,\\ y=1 \end{cases}$
(2)$a=b$
【知识点】
二元一次方程的解，坐标平移规律，一次函数与二元一次方程的关系
【点评】
本题结合一次函数图象考查基础知识点的应用，核心是理解二元一次方程的解与对应直线上点的坐标一一对应，熟练掌握点平移的坐标变化规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
