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10. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $ y = ax + b $ 与 $ y = mx + n(a ＜ m ＜ 0) $ 的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论,其中结论正确的个数是（
①在一次函数 $ y = mx + n $ 的图象中,$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大;
②方程组 $ \begin{cases} y - ax = b, \\ y - mx = n \end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases} x = -3, \\ y = 2; \end{cases} $
③方程 $ mx + n = 0 $ 的解为 $ x = 2 $;
④当 $ x = 0 $ 时,$ ax + b = -1 $.
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）①在一次函数 $ y = mx + n $ 的图象中,$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而增大;
②方程组 $ \begin{cases} y - ax = b, \\ y - mx = n \end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases} x = -3, \\ y = 2; \end{cases} $
③方程 $ mx + n = 0 $ 的解为 $ x = 2 $;
④当 $ x = 0 $ 时,$ ax + b = -1 $.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
我们需要结合一次函数的性质、一次函数与方程（组）的对应关系，对照图像信息对4个结论逐一判断对错，最终统计正确结论的个数即可。首先回忆相关知识点：一次函数$y=kx+b$中，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小；两个一次函数图像的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；一次函数$y=kx+b$的图像与$x$轴交点的横坐标就是方程$kx+b=0$的解；$x=0$时的函数值就是函数图像与$y$轴交点的纵坐标。
【解析】
结合已知条件$a＜m＜0$和图像信息，逐个判断结论：
1. 判断结论①：一次函数$y=mx+n$中，$m＜0$，因此$y$的值随$x$值的增大而减小，故①错误；
2. 判断结论②：方程组$\begin{cases} y - ax = b \\ y - mx = n \end{cases}$可整理为$\begin{cases} y=ax+b \\ y=mx+n \end{cases}$，其解对应两个一次函数图像的交点坐标，由图可知两函数交点为$(-3,2)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=-3 \\ y=2 \end{cases}$，故②正确；
3. 判断结论③：方程$mx+n=0$的解对应一次函数$y=mx+n$与$x$轴交点的横坐标，由图可知$y=mx+n$与$x$轴交于点$(2,0)$，因此方程的解为$x=2$，故③正确；
4. 判断结论④：当$x=0$时，$ax+b$的值是$y=ax+b$与$y$轴交点的纵坐标，由图可知$y=ax+b$与$y$轴交于点$(0,-2)$，即$x=0$时$ax+b=-2≠-1$，故④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与方程（组）的关系
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题的关键是准确读取图像中的交点、与坐标轴交点等信息，结合一次函数相关性质进行判断，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
我们需要结合一次函数的性质、一次函数与方程（组）的对应关系，对照图像信息对4个结论逐一判断对错，最终统计正确结论的个数即可。首先回忆相关知识点：一次函数$y=kx+b$中，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小；两个一次函数图像的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；一次函数$y=kx+b$的图像与$x$轴交点的横坐标就是方程$kx+b=0$的解；$x=0$时的函数值就是函数图像与$y$轴交点的纵坐标。
【解析】
结合已知条件$a＜m＜0$和图像信息，逐个判断结论：
1. 判断结论①：一次函数$y=mx+n$中，$m＜0$，因此$y$的值随$x$值的增大而减小，故①错误；
2. 判断结论②：方程组$\begin{cases} y - ax = b \\ y - mx = n \end{cases}$可整理为$\begin{cases} y=ax+b \\ y=mx+n \end{cases}$，其解对应两个一次函数图像的交点坐标，由图可知两函数交点为$(-3,2)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=-3 \\ y=2 \end{cases}$，故②正确；
3. 判断结论③：方程$mx+n=0$的解对应一次函数$y=mx+n$与$x$轴交点的横坐标，由图可知$y=mx+n$与$x$轴交于点$(2,0)$，因此方程的解为$x=2$，故③正确；
4. 判断结论④：当$x=0$时，$ax+b$的值是$y=ax+b$与$y$轴交点的纵坐标，由图可知$y=ax+b$与$y$轴交于点$(0,-2)$，即$x=0$时$ax+b=-2≠-1$，故④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与方程（组）的关系
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题的关键是准确读取图像中的交点、与坐标轴交点等信息，结合一次函数相关性质进行判断，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
11.将一次函数$y=2x+3$的图象向下平移$a$个单位长度，已知平移后的图象与一次函数$y=-x+4$的图象交点在第四象限，则$a$的取值范围为
$a＞11$
。答案
$a＞11$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先根据一次函数平移的“上加下减”规律，写出平移后的函数解析式；接着联立两个一次函数的解析式，解出用含a的代数式表示的交点横、纵坐标；最后结合第四象限内点“横坐标大于0、纵坐标小于0”的坐标特征，列出关于a的不等式组，求解后即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求平移后的一次函数解析式
一次函数$y=2x+3$向下平移$a$个单位，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：$y=2x+3-a$。
2. 联立解析式求交点坐标
联立平移后的函数与$y=-x+4$，得方程组：
$\begin{cases}y=2x+3-a \\ y=-x+4 \end{cases}$
将$y=-x+4$代入第一个方程，得：
$-x+4=2x+3-a$
移项合并同类项得：$-3x=-1-a$，解得$x=\frac{a+1}{3}$
将$x=\frac{a+1}{3}$代入$y=-x+4$，得：
$y=-\frac{a+1}{3}+4=\frac{11-a}{3}$
即交点坐标为$( \frac{a+1}{3},\frac{11-a}{3} )$。
3. 根据第四象限坐标特征列不等式求解
交点在第四象限，因此满足：
$\begin{cases}\frac{a+1}{3}＞0 ①\\ \frac{11-a}{3}＜0 ② \end{cases}$
解不等式①得：$a＞-1$
解不等式②得：$a＞11$
取两个解集的公共部分，得$a＞11$。
【答案】
$a＞11$
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数交点求解；象限点的坐标特征
【点评】
本题综合考查一次函数的平移性质、交点计算和象限坐标特征，解题关键是正确表示平移后的解析式，结合象限坐标的符号要求列不等式组求解，注意平移规律仅对函数解析式的常数项进行加减。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：首先根据一次函数平移的“上加下减”规律，写出平移后的函数解析式；接着联立两个一次函数的解析式，解出用含a的代数式表示的交点横、纵坐标；最后结合第四象限内点“横坐标大于0、纵坐标小于0”的坐标特征，列出关于a的不等式组，求解后即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求平移后的一次函数解析式
一次函数$y=2x+3$向下平移$a$个单位，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：$y=2x+3-a$。
2. 联立解析式求交点坐标
联立平移后的函数与$y=-x+4$，得方程组：
$\begin{cases}y=2x+3-a \\ y=-x+4 \end{cases}$
将$y=-x+4$代入第一个方程，得：
$-x+4=2x+3-a$
移项合并同类项得：$-3x=-1-a$，解得$x=\frac{a+1}{3}$
将$x=\frac{a+1}{3}$代入$y=-x+4$，得：
$y=-\frac{a+1}{3}+4=\frac{11-a}{3}$
即交点坐标为$( \frac{a+1}{3},\frac{11-a}{3} )$。
3. 根据第四象限坐标特征列不等式求解
交点在第四象限，因此满足：
$\begin{cases}\frac{a+1}{3}＞0 ①\\ \frac{11-a}{3}＜0 ② \end{cases}$
解不等式①得：$a＞-1$
解不等式②得：$a＞11$
取两个解集的公共部分，得$a＞11$。
【答案】
$a＞11$
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数交点求解；象限点的坐标特征
【点评】
本题综合考查一次函数的平移性质、交点计算和象限坐标特征，解题关键是正确表示平移后的解析式，结合象限坐标的符号要求列不等式组求解，注意平移规律仅对函数解析式的常数项进行加减。
【难度系数】
0.6
12.如图，直线$l_1:y_1=kx+b$与直线$l_2:y_2=-x+4$交于点$C(m,2)$，直线$l_1$经过点$(4,6)$。
(1)求直线$l_1$的表达式；
(2)直接写出方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0, \\x + y - 4 = 0\end{cases}$的解；
(3)若点$P(3,n)$在直线$l_1$的下方，直线$l_2$的上方，写出$n$的取值范围。
(1)求直线$l_1$的表达式；
(2)直接写出方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0, \\x + y - 4 = 0\end{cases}$的解；
(3)若点$P(3,n)$在直线$l_1$的下方，直线$l_2$的上方，写出$n$的取值范围。
答案
(1)解:将$(m,2)$代入$y_2=-x+4$,得$-m+4=2$,解得$m=2$,即点$C$的坐标为$(2,2)$.将$(2,2),(4,6)$代入$y_1=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=2, \\4k+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2, \\b=-2,\end{cases}$所以直线$l_1$的表达式为$y_1 = 2x - 2.$
(2)方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0, \\x + y - 4 = 0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\y=2.\end{cases}$
(3)当$x=3$时,$y_1=2×3-2=4$,$y_2=-3+4=1$,所以$n$的取值范围是$1＜n＜4.$
(2)方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0, \\x + y - 4 = 0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\y=2.\end{cases}$
(3)当$x=3$时,$y_1=2×3-2=4$,$y_2=-3+4=1$,所以$n$的取值范围是$1＜n＜4.$
解析
【分析】
(1)要确定直线$l_1$的表达式，需要得到直线上两个点的坐标。已知$l_1$过点$(4,6)$，另一个点是两直线的交点$C$，先利用点$C$在$l_2$上的条件，代入$l_2$的解析式求出$m$，得到$C$点坐标，再用待定系数法代入两个点坐标，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可。
(2)二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$C$，直接写出交点坐标就是方程组的解。
(3)点$P(3,n)$在$l_1$下方、$l_2$上方，说明当$x=3$时，$n$小于$l_1$对应的函数值，同时大于$l_2$对应的函数值，代入$x=3$分别计算两条直线的函数值，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1)将$C(m,2)$代入$y_2=-x+4$，得：
$-m+4=2$，解得$m=2$，即点$C$的坐标为$(2,2)$。
将$(2,2)$、$(4,6)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=2 \\4k+b=6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k=4$，解得$k=2$；将$k=2$代入$2k+b=2$，得$4+b=2$，解得$b=-2$。
因此直线$l_1$的表达式为$y_1=2x-2$。
(2)方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0 \\x + y - 4 = 0\end{cases}$是直线$l_1$、$l_2$解析式的变形，其解就是两直线交点的坐标，即点$C$的坐标。
(3)当$x=3$时，代入$l_1$的解析式得$y_1=2×3-2=4$，代入$l_2$的解析式得$y_2=-3+4=1$。
因为点$P$在$l_1$下方、$l_2$上方，所以$y_2 ＜ n ＜ y_1$，即$1 ＜ n ＜ 4$。
【答案】
(1)$y_1=2x-2$
(2)$\begin{cases}x=2 \\y=2\end{cases}$
(3)$1 ＜ n ＜ 4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察核心是一次函数图象与解析式的对应关系、一次函数与二元一次方程组的联系，以及点和直线位置关系对应的函数值大小规律，属于一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75
(1)要确定直线$l_1$的表达式，需要得到直线上两个点的坐标。已知$l_1$过点$(4,6)$，另一个点是两直线的交点$C$，先利用点$C$在$l_2$上的条件，代入$l_2$的解析式求出$m$，得到$C$点坐标，再用待定系数法代入两个点坐标，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可。
(2)二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$C$，直接写出交点坐标就是方程组的解。
(3)点$P(3,n)$在$l_1$下方、$l_2$上方，说明当$x=3$时，$n$小于$l_1$对应的函数值，同时大于$l_2$对应的函数值，代入$x=3$分别计算两条直线的函数值，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1)将$C(m,2)$代入$y_2=-x+4$，得：
$-m+4=2$，解得$m=2$，即点$C$的坐标为$(2,2)$。
将$(2,2)$、$(4,6)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=2 \\4k+b=6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k=4$，解得$k=2$；将$k=2$代入$2k+b=2$，得$4+b=2$，解得$b=-2$。
因此直线$l_1$的表达式为$y_1=2x-2$。
(2)方程组$\begin{cases}kx - y + b = 0 \\x + y - 4 = 0\end{cases}$是直线$l_1$、$l_2$解析式的变形，其解就是两直线交点的坐标，即点$C$的坐标。
(3)当$x=3$时，代入$l_1$的解析式得$y_1=2×3-2=4$，代入$l_2$的解析式得$y_2=-3+4=1$。
因为点$P$在$l_1$下方、$l_2$上方，所以$y_2 ＜ n ＜ y_1$，即$1 ＜ n ＜ 4$。
【答案】
(1)$y_1=2x-2$
(2)$\begin{cases}x=2 \\y=2\end{cases}$
(3)$1 ＜ n ＜ 4$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察核心是一次函数图象与解析式的对应关系、一次函数与二元一次方程组的联系，以及点和直线位置关系对应的函数值大小规律，属于一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75
13.【核心素养·几何直观】如图，直线 $ l_1: y = -x + 4 $ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线 $ l_2: y = kx + b $ 与y轴相交于点C(0，1)，与直线 $ l_1 $ 相交于点D.
(1)填空：
方程组 $ \begin{cases}x + y = 4, \\ y = kx + b\end{cases}$ 的解为 ______ ；
(2)求直线 $ l_2 $ 的函数表达式；
(3)已知点M为直线 $ l_1 $ 上一动点，过点M作 $ MN // y $ 轴交直线 $ l_2 $ 于点N.设点M的横坐标为m，当MN=4时，求出点N的坐标；结合图象，直接写出当MN＞4时，m的取值范围.
(1)填空：
方程组 $ \begin{cases}x + y = 4, \\ y = kx + b\end{cases}$ 的解为 ______ ；
(2)求直线 $ l_2 $ 的函数表达式；
(3)已知点M为直线 $ l_1 $ 上一动点，过点M作 $ MN // y $ 轴交直线 $ l_2 $ 于点N.设点M的横坐标为m，当MN=4时，求出点N的坐标；结合图象，直接写出当MN＞4时，m的取值范围.
答案
(1)$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
(2)解:由题意可知,直线$l_2:y=kx+b$,经过点$C(0,1)$和点$D(1,3)$,则$\begin{cases} b=1, \\ k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2, \\ b=1, \end{cases}$故直线$l_2$的函数表达式为:$y=2x+1$;
(3)由题意得$M$的坐标为$(m,-m+4)$,$N$的坐标为$(m,2m+1)$,由$MN=4$得$|-m+4-(2m+1)|=4$,解得$m_1=-\dfrac{1}{3}$,$m_2=\dfrac{7}{3}$,所以$N$的坐标为$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$或$(\dfrac{7}{3},\dfrac{17}{3})$.当$MN＞4$时,$m$的取值范围是$m＜-\dfrac{1}{3}$或$m＞\dfrac{7}{3}.$
(2)解:由题意可知,直线$l_2:y=kx+b$,经过点$C(0,1)$和点$D(1,3)$,则$\begin{cases} b=1, \\ k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2, \\ b=1, \end{cases}$故直线$l_2$的函数表达式为:$y=2x+1$;
(3)由题意得$M$的坐标为$(m,-m+4)$,$N$的坐标为$(m,2m+1)$,由$MN=4$得$|-m+4-(2m+1)|=4$,解得$m_1=-\dfrac{1}{3}$,$m_2=\dfrac{7}{3}$,所以$N$的坐标为$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$或$(\dfrac{7}{3},\dfrac{17}{3})$.当$MN＞4$时,$m$的取值范围是$m＜-\dfrac{1}{3}$或$m＞\dfrac{7}{3}.$
解析
【分析】
(1) 二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，观察图象可知直线$l_1$和$l_2$的交点D的坐标为$(1,3)$，可直接得到方程组的解。
(2) 求一次函数解析式使用待定系数法，已知直线$l_2$经过$C(0,1)$和$D(1,3)$两个点，将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出参数即可得到解析式。
(3) 因为$MN// y$轴，所以M、N两点横坐标相同，都为$m$，先用含$m$的代数式表示出M、N的坐标，平行于y轴的两点间距离等于两点纵坐标差的绝对值，当$MN=4$时列绝对值方程求解$m$，再代入求出N的坐标；当$MN＞4$时解绝对值不等式，结合图象得到$m$的取值范围，注意不要漏掉绝对值的两种情况。
【解析】
(1) 方程组$\begin{cases}x + y = 4 \\ y = kx + b\end{cases}$对应的两个一次函数分别是直线$l_1$和$l_2$，两直线的交点为$D(1,3)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 由题意可知直线$l_2$过点$C(0,1)$和$D(1,3)$，将两点坐标代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} b=1 \\ k+b=3 \end{cases}$
将$b=1$代入第二个方程，得$k+1=3$，解得$k=2$，
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+1$。
(3) 已知点M的横坐标为$m$，且M在直线$l_1$上，因此M的坐标为$(m,-m+4)$；
因为$MN// y$轴，所以N点横坐标也为$m$，又N在直线$l_2$上，因此N的坐标为$(m,2m+1)$。
由$MN=4$可得：
$|-m+4-(2m+1)|=4$
化简得$|3-3m|=4$，分两种情况求解：
① 当$3-3m=4$时，解得$m=-\dfrac{1}{3}$，代入N的坐标得$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$；
② 当$3-3m=-4$时，解得$m=\dfrac{7}{3}$，代入N的坐标得$(\dfrac{7}{3},\dfrac{17}{3})$。
当$MN＞4$时，即$|3-3m|＞4$，解得$m＜-\dfrac{1}{3}$或$m＞\dfrac{7}{3}$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
(2)$y=2x+1$
(3)点N的坐标为$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$或$(\dfrac{7}{3},\dfrac{17}{3})$；$m$的取值范围是$m＜-\dfrac{1}{3}$或$m＞\dfrac{7}{3}$
【知识点】
一次函数与方程组的关系、待定系数法求解析式、一次函数图象应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查了函数与方程、不等式的联系，解题关键是明确一次函数交点与方程组解的对应关系，掌握平行于坐标轴的两点间距离的计算方法，注意绝对值运算存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，观察图象可知直线$l_1$和$l_2$的交点D的坐标为$(1,3)$，可直接得到方程组的解。
(2) 求一次函数解析式使用待定系数法，已知直线$l_2$经过$C(0,1)$和$D(1,3)$两个点，将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出参数即可得到解析式。
(3) 因为$MN// y$轴，所以M、N两点横坐标相同，都为$m$，先用含$m$的代数式表示出M、N的坐标，平行于y轴的两点间距离等于两点纵坐标差的绝对值，当$MN=4$时列绝对值方程求解$m$，再代入求出N的坐标；当$MN＞4$时解绝对值不等式，结合图象得到$m$的取值范围，注意不要漏掉绝对值的两种情况。
【解析】
(1) 方程组$\begin{cases}x + y = 4 \\ y = kx + b\end{cases}$对应的两个一次函数分别是直线$l_1$和$l_2$，两直线的交点为$D(1,3)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 由题意可知直线$l_2$过点$C(0,1)$和$D(1,3)$，将两点坐标代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} b=1 \\ k+b=3 \end{cases}$
将$b=1$代入第二个方程，得$k+1=3$，解得$k=2$，
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+1$。
(3) 已知点M的横坐标为$m$，且M在直线$l_1$上，因此M的坐标为$(m,-m+4)$；
因为$MN// y$轴，所以N点横坐标也为$m$，又N在直线$l_2$上，因此N的坐标为$(m,2m+1)$。
由$MN=4$可得：
$|-m+4-(2m+1)|=4$
化简得$|3-3m|=4$，分两种情况求解：
① 当$3-3m=4$时，解得$m=-\dfrac{1}{3}$，代入N的坐标得$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$；
② 当$3-3m=-4$时，解得$m=\dfrac{7}{3}$，代入N的坐标得$(\dfrac{7}{3},\dfrac{17}{3})$。
当$MN＞4$时，即$|3-3m|＞4$，解得$m＜-\dfrac{1}{3}$或$m＞\dfrac{7}{3}$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
(2)$y=2x+1$
(3)点N的坐标为$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$或$(\dfrac{7}{3},\dfrac{17}{3})$；$m$的取值范围是$m＜-\dfrac{1}{3}$或$m＞\dfrac{7}{3}$
【知识点】
一次函数与方程组的关系、待定系数法求解析式、一次函数图象应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查了函数与方程、不等式的联系，解题关键是明确一次函数交点与方程组解的对应关系，掌握平行于坐标轴的两点间距离的计算方法，注意绝对值运算存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
