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10. 如图13.3-26，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数. 
图13.3-26
图13.3-26答案
10. 解：设$∠1=∠2=x$，则$∠3=∠4=2x$.
因为$∠BAC=63°$，
所以$∠2+∠4=117°$，即$x+2x=117°$.
所以$x=39°$. 所以$∠3=∠4=78°$.
所以$∠DAC=180°−∠3−∠4=24°$.
因为$∠BAC=63°$，
所以$∠2+∠4=117°$，即$x+2x=117°$.
所以$x=39°$. 所以$∠3=∠4=78°$.
所以$∠DAC=180°−∠3−∠4=24°$.
解析
【分析】
解题时可先通过设未知数表示相等的角，首先观察到∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合∠1=∠2可推出∠3=2∠2，再结合∠3=∠4，即可用含同一未知数的式子表示∠2和∠4；接下来在△ABC中利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC的度数，可求出∠2+∠4的度数，列方程求解得到未知数的值，最后在△ADC中再次利用三角形内角和定理，就能求出∠DAC的度数。
【解析】
设$∠ 1=∠ 2=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ 3$是$△ ABD$的外角，因此$∠ 3=∠ 1+∠ 2=2x$，
又$\because ∠ 3=∠ 4$，$\therefore ∠ 4=2x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ 2+∠ 4=180°$，已知$∠ BAC=63°$，
$\therefore ∠ 2+∠ 4=180°-63°=117°$，即$x+2x=117°$，
解得$x=39°$，因此$∠ 3=∠ 4=2×39°=78°$。
在$△ ADC$中，$∠ DAC+∠ 3+∠ 4=180°$，
$\therefore ∠ DAC=180°-∠ 3-∠ 4=180°-78°-78°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，核心是灵活运用三角形外角性质和内角和定理，通过设未知数列方程梳理角度间的数量关系，是几何角度计算的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时可先通过设未知数表示相等的角，首先观察到∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合∠1=∠2可推出∠3=2∠2，再结合∠3=∠4，即可用含同一未知数的式子表示∠2和∠4；接下来在△ABC中利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC的度数，可求出∠2+∠4的度数，列方程求解得到未知数的值，最后在△ADC中再次利用三角形内角和定理，就能求出∠DAC的度数。
【解析】
设$∠ 1=∠ 2=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ 3$是$△ ABD$的外角，因此$∠ 3=∠ 1+∠ 2=2x$，
又$\because ∠ 3=∠ 4$，$\therefore ∠ 4=2x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ 2+∠ 4=180°$，已知$∠ BAC=63°$，
$\therefore ∠ 2+∠ 4=180°-63°=117°$，即$x+2x=117°$，
解得$x=39°$，因此$∠ 3=∠ 4=2×39°=78°$。
在$△ ADC$中，$∠ DAC+∠ 3+∠ 4=180°$，
$\therefore ∠ DAC=180°-∠ 3-∠ 4=180°-78°-78°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，核心是灵活运用三角形外角性质和内角和定理，通过设未知数列方程梳理角度间的数量关系，是几何角度计算的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
11. 如图13.3-27，在$△ ABC$中，$∠ A＝50°$.
（1）如图13.3-27①，若$I$是$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线的交点，则$∠ BIC＝$
（2）如图13.3-27②，若$D$是$△ ABC$的外角平分线的交点，则$∠ BDC＝$
（3）如图13.3-27③，点$G$在边$BC$的延长线上，若$E$是$∠ ABC$，$∠ ACG$的平分线的交点，试探究$∠ BEC$与$∠ A$的数量关系，并说明理由.
（1）如图13.3-27①，若$I$是$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线的交点，则$∠ BIC＝$
115
°；（2）如图13.3-27②，若$D$是$△ ABC$的外角平分线的交点，则$∠ BDC＝$
65
°；（3）如图13.3-27③，点$G$在边$BC$的延长线上，若$E$是$∠ ABC$，$∠ ACG$的平分线的交点，试探究$∠ BEC$与$∠ A$的数量关系，并说明理由.
答案
11. 解：(1) 115 (2) 65
(3) $∠BEC=\frac{1}{2}∠A$. 理由如下：
$\because ∠GCE$ 是 $△BCE$ 的外角，$∠ACG$ 是$△ABC$ 的外角，
$\therefore ∠BEC=∠GCE-∠CBE$，
$∠A=∠ACG-∠ABC$.
$\because E$ 是$∠ABC$，$∠ACG$ 的平分线的交点，
$\therefore ∠GCE=\frac{1}{2}∠ACG$，$∠CBE=\frac{1}{2}∠ABC$.
$\therefore ∠BEC = \frac{1}{2}∠ACG - \frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}(∠ACG-∠ABC)=\frac{1}{2}∠A$.
(3) $∠BEC=\frac{1}{2}∠A$. 理由如下：
$\because ∠GCE$ 是 $△BCE$ 的外角，$∠ACG$ 是$△ABC$ 的外角，
$\therefore ∠BEC=∠GCE-∠CBE$，
$∠A=∠ACG-∠ABC$.
$\because E$ 是$∠ABC$，$∠ACG$ 的平分线的交点，
$\therefore ∠GCE=\frac{1}{2}∠ACG$，$∠CBE=\frac{1}{2}∠ABC$.
$\therefore ∠BEC = \frac{1}{2}∠ACG - \frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}(∠ACG-∠ABC)=\frac{1}{2}∠A$.
解析
【分析】
本题围绕三角形角平分线交点的角度计算展开，解题思路如下：
(1) 求内角平分线交点I对应的∠BIC：先利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线定义得到∠IBC+∠ICB的度数，最后再次用三角形内角和即可算出∠BIC；
(2) 求外角平分线交点D对应的∠BDC：先求出△ABC两个外角的和，再由角平分线定义得到∠DBC+∠DCB的度数，结合三角形内角和求出∠BDC；
(3) 探究∠BEC和∠A的关系：利用三角形外角的性质，分别表示出△BCE和△ABC的外角，再结合角平分线的定义，对两个式子作差化简即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=50°，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°。
∵I是∠ABC、∠ACB的平分线交点，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
在△IBC中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-65°=115°。
(2) △ABC的两个外角分别为180°-∠ABC、180°-∠ACB，
∴两个外角的和为(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-130°=230°。
∵D是两个外角的平分线交点，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC)，∠DCB=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)，
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$×230°=115°。
在△DBC中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-115°=65°。
(3) ∠BEC=$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵∠GCE是△BCE的外角，∠ACG是△ABC的外角，
∴根据三角形外角性质，得∠BEC=∠GCE-∠CBE，∠A=∠ACG-∠ABC。
∵E是∠ABC、∠ACG的平分线交点，
∴∠GCE=$\frac{1}{2}$∠ACG，∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ACG - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠ACG-∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
(1) 115；(2) 65；(3) $\boldsymbol{∠BEC=\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线相关角度计算的典型题型，三个小问分别对应三类常见的角平分线交点角度规律，解题核心是灵活运用三角形内角和与外角性质，结合角平分线定义推导即可，熟记这三类角度和顶角的数量关系可以提高解题效率。
【难度系数】
0.7
本题围绕三角形角平分线交点的角度计算展开，解题思路如下：
(1) 求内角平分线交点I对应的∠BIC：先利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线定义得到∠IBC+∠ICB的度数，最后再次用三角形内角和即可算出∠BIC；
(2) 求外角平分线交点D对应的∠BDC：先求出△ABC两个外角的和，再由角平分线定义得到∠DBC+∠DCB的度数，结合三角形内角和求出∠BDC；
(3) 探究∠BEC和∠A的关系：利用三角形外角的性质，分别表示出△BCE和△ABC的外角，再结合角平分线的定义，对两个式子作差化简即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=50°，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°。
∵I是∠ABC、∠ACB的平分线交点，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
在△IBC中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-65°=115°。
(2) △ABC的两个外角分别为180°-∠ABC、180°-∠ACB，
∴两个外角的和为(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-130°=230°。
∵D是两个外角的平分线交点，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC)，∠DCB=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)，
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$×230°=115°。
在△DBC中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-115°=65°。
(3) ∠BEC=$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵∠GCE是△BCE的外角，∠ACG是△ABC的外角，
∴根据三角形外角性质，得∠BEC=∠GCE-∠CBE，∠A=∠ACG-∠ABC。
∵E是∠ABC、∠ACG的平分线交点，
∴∠GCE=$\frac{1}{2}$∠ACG，∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ACG - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠ACG-∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
(1) 115；(2) 65；(3) $\boldsymbol{∠BEC=\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线相关角度计算的典型题型，三个小问分别对应三类常见的角平分线交点角度规律，解题核心是灵活运用三角形内角和与外角性质，结合角平分线定义推导即可，熟记这三类角度和顶角的数量关系可以提高解题效率。
【难度系数】
0.7
