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3. 如图13.3-20，∠A，∠1，∠2的大小关系是（
A.∠A＞∠1＞∠2
B.∠2＞∠1＞∠A
C.∠A＞∠2＞∠1
D.∠2＞∠A＞∠1
B
）。A.∠A＞∠1＞∠2
B.∠2＞∠1＞∠A
C.∠A＞∠2＞∠1
D.∠2＞∠A＞∠1
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角的相关性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。我们可以分两步比较角的大小：第一步先比较∠1和∠A的大小，第二步再比较∠2和∠1的大小，最后整合得出三个角的大小关系即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. 观察图形可知，∠1是含∠A为内角的三角形的外角，因此∠1＞∠A；
2. 同理，∠2是含∠1为内角的三角形的外角，因此∠2＞∠1。
结合上述两个结论可得：∠2＞∠1＞∠A，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查三角形外角与不相邻内角的大小关系，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外角的相关性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。我们可以分两步比较角的大小：第一步先比较∠1和∠A的大小，第二步再比较∠2和∠1的大小，最后整合得出三个角的大小关系即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. 观察图形可知，∠1是含∠A为内角的三角形的外角，因此∠1＞∠A；
2. 同理，∠2是含∠1为内角的三角形的外角，因此∠2＞∠1。
结合上述两个结论可得：∠2＞∠1＞∠A，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查三角形外角与不相邻内角的大小关系，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图13.3-21，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD。若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
C
）。A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先利用三角形外角的性质，计算出外角∠ACD的度数，再结合角平分线的定义，求出∠ECD的度数即可。首先，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此可先求∠ACD；其次角平分线会把一个角分成两个相等的小角，因此∠ECD是∠ACD的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ACD = ∠A + ∠B
已知∠A=60°，∠B=40°，代入得：
∠ACD = 60° + 40° = 100°
又
∵CE平分∠ACD，根据角平分线的定义：
∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}×100°$ = 50°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对基础几何概念和性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用三角形外角的性质，计算出外角∠ACD的度数，再结合角平分线的定义，求出∠ECD的度数即可。首先，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此可先求∠ACD；其次角平分线会把一个角分成两个相等的小角，因此∠ECD是∠ACD的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ACD = ∠A + ∠B
已知∠A=60°，∠B=40°，代入得：
∠ACD = 60° + 40° = 100°
又
∵CE平分∠ACD，根据角平分线的定义：
∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}×100°$ = 50°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对基础几何概念和性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图13.3-22，$AB// CD$，$∠ A=65°$，$∠ E=30°$，则$∠ C$等于（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）.A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知AB//CD，可优先利用平行线的性质找到角的等量关系；已知∠A和∠E的度数，要求∠C，需要找到三个角之间的关联：我们可以设AE与CD的交点为O，利用平行线的同位角相等将∠A转化为△COE的外角∠DOE，再结合三角形外角的性质（外角等于不相邻两个内角的和），即可建立等式求出∠C的度数。
【解析】
设AE与CD交于点O。
∵ AB//CD，∠A=65°，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠DOE=∠A=65°。
∵ ∠DOE是△COE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠DOE=∠C+∠E。
又
∵ ∠E=30°，
∴ ∠C=∠DOE - ∠E=65°-30°=35°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是通过平行线的性质实现已知角和未知角的转化，再结合三角形外角性质建立数量关系求解，解题的关键是找到连接已知角和未知角的中间角。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，已知AB//CD，可优先利用平行线的性质找到角的等量关系；已知∠A和∠E的度数，要求∠C，需要找到三个角之间的关联：我们可以设AE与CD的交点为O，利用平行线的同位角相等将∠A转化为△COE的外角∠DOE，再结合三角形外角的性质（外角等于不相邻两个内角的和），即可建立等式求出∠C的度数。
【解析】
设AE与CD交于点O。
∵ AB//CD，∠A=65°，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠DOE=∠A=65°。
∵ ∠DOE是△COE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠DOE=∠C+∠E。
又
∵ ∠E=30°，
∴ ∠C=∠DOE - ∠E=65°-30°=35°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是通过平行线的性质实现已知角和未知角的转化，再结合三角形外角性质建立数量关系求解，解题的关键是找到连接已知角和未知角的中间角。
【难度系数】
0.7
6. 将两个分别含有$30°$和$45°$角的直角三角尺按如图13.3-23所示的方式放置，则$∠α$的度数是（
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
B
）.A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个特殊直角三角尺的已知内角度数，再观察图形找到角的数量关系：45°角是包含∠α和30°角的三角形的外角，结合三角形外角的性质即可建立等式求解∠α的度数。
【解析】
首先，特殊直角三角尺的锐角度数为：含30°角的直角三角尺的一个锐角为30°，含45°角的直角三角尺的一个锐角为45°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。观察图形可得，45°的角作为三角形的外角，对应的两个不相邻内角为30°和∠α，因此可列等式：
$45° = 30° + ∠α$
解得$∠α = 45° - 30° = 15°$
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊直角三角形的内角
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别图形中外角与对应内角的关系，熟记特殊直角三角尺的角度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个特殊直角三角尺的已知内角度数，再观察图形找到角的数量关系：45°角是包含∠α和30°角的三角形的外角，结合三角形外角的性质即可建立等式求解∠α的度数。
【解析】
首先，特殊直角三角尺的锐角度数为：含30°角的直角三角尺的一个锐角为30°，含45°角的直角三角尺的一个锐角为45°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。观察图形可得，45°的角作为三角形的外角，对应的两个不相邻内角为30°和∠α，因此可列等式：
$45° = 30° + ∠α$
解得$∠α = 45° - 30° = 15°$
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊直角三角形的内角
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别图形中外角与对应内角的关系，熟记特殊直角三角尺的角度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. $△ ABC$的一个外角等于$120°$，且$∠ A=∠ B$，则$∠ A$的度数为________。
答案
7. $60°$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相关知识点：①三角形的一个外角与相邻内角互补，和为180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。已知∠A=∠B，说明△ABC是等腰三角形，两个底角相等。解题时需要分两种情况讨论120°的外角对应的是哪个内角的外角，分别计算∠A的度数，验证结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若120°是与∠C相邻的外角：
根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ A + ∠ B = 120°$
又$\because ∠ A = ∠ B$
$\therefore 2∠ A = 120°$，解得$∠ A = 60°$
2. 若120°是与∠A（或∠B）相邻的外角：
根据外角与相邻内角互补，可得：
$∠ A = 180° - 120° = 60°$
两种情况计算得到的$∠ A$均为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形外角和等腰三角形性质的综合应用题，解题时需注意分类讨论外角对应的内角，避免因漏考虑情况出错，本题两种情况结果一致，属于基础类习题，能帮助学生巩固外角性质和分类讨论的解题思路。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆相关知识点：①三角形的一个外角与相邻内角互补，和为180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。已知∠A=∠B，说明△ABC是等腰三角形，两个底角相等。解题时需要分两种情况讨论120°的外角对应的是哪个内角的外角，分别计算∠A的度数，验证结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若120°是与∠C相邻的外角：
根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ A + ∠ B = 120°$
又$\because ∠ A = ∠ B$
$\therefore 2∠ A = 120°$，解得$∠ A = 60°$
2. 若120°是与∠A（或∠B）相邻的外角：
根据外角与相邻内角互补，可得：
$∠ A = 180° - 120° = 60°$
两种情况计算得到的$∠ A$均为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形外角和等腰三角形性质的综合应用题，解题时需注意分类讨论外角对应的内角，避免因漏考虑情况出错，本题两种情况结果一致，属于基础类习题，能帮助学生巩固外角性质和分类讨论的解题思路。
【难度系数】
0.7
8. 如图13.3-24，AD是$∠ CAE$的平分线，$∠ B = 35°$，$∠ DAE = 60°$，则$∠ ACB$等于（
A.$25°$
B.$60°$
C.$85°$
D.$95°$
C
）。A.$25°$
B.$60°$
C.$85°$
D.$95°$
答案
8. C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用角平分线的定义计算出∠CAE的度数；第二步，结合三角形外角的性质求解∠ACB的度数。首先看到AD是∠CAE的平分线，已知∠DAE=60°，可直接推出∠CAE的大小；其次观察图形可知∠CAE是△ABC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知的∠B的度数，就能求出∠ACB的数值。
【解析】
解：
∵AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°
∴∠CAE = 2∠DAE = 2×60° = 120°
∵∠CAE是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠CAE = ∠B + ∠ACB
将∠B=35°代入得：
∠ACB = ∠CAE - ∠B = 120° - 35° = 85°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，核心考查对角平分线定义和三角形外角性质的理解与应用，解题的关键是准确识别图形中的三角形外角，结合已知条件逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，利用角平分线的定义计算出∠CAE的度数；第二步，结合三角形外角的性质求解∠ACB的度数。首先看到AD是∠CAE的平分线，已知∠DAE=60°，可直接推出∠CAE的大小；其次观察图形可知∠CAE是△ABC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知的∠B的度数，就能求出∠ACB的数值。
【解析】
解：
∵AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°
∴∠CAE = 2∠DAE = 2×60° = 120°
∵∠CAE是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠CAE = ∠B + ∠ACB
将∠B=35°代入得：
∠ACB = ∠CAE - ∠B = 120° - 35° = 85°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，核心考查对角平分线定义和三角形外角性质的理解与应用，解题的关键是准确识别图形中的三角形外角，结合已知条件逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
9. 如图13.3-25，将分别含有$30°$，$45°$角的一副三角尺重叠，使它们的直角顶点重合，若两个直角重叠形成的角为$65°$，求图中$∠α$的度数.
图13.3-25
图13.3-25
答案
9. 解：如图.
由题意可知，$∠DCB = 65°$，$∠B = 30°$，$∠D=45°$，
$\therefore ∠DFB=∠FCB+∠B=65°+30°=95°$.
$\therefore ∠α=∠DFB+∠D=95°+45°=140°$.
解析
【分析】
解题时首先明确两块三角尺的固定角度：含30°角的三角尺较小锐角为30°，含45°角的三角尺锐角为45°，已知两个直角重叠形成的角为65°。我们可以利用三角形外角的性质分步推导：第一步先求过渡角∠DFB的度数，它是△BCF的外角，等于和它不相邻的∠FCB与∠B的和；第二步∠α是包含∠D和∠DFB的三角形的外角，等于∠D与∠DFB的和，逐步计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，两块三角尺的锐角分别为∠B = 30°，∠D=45°，两个直角重叠形成的角∠FCB = 65°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
首先，∠DFB是△BCF的外角，因此：
$∠DFB=∠FCB+∠B=65°+30°=95°$
其次，∠α是对应小三角形的外角，因此：
$∠α=∠DFB+∠D=95°+45°=140°$
【答案】
9. 解：如图.
由题意可知，$∠DCB = 65°$，$∠B = 30°$，$∠D=45°$，
$\therefore ∠DFB=∠FCB+∠B=65°+30°=95°$.
$\therefore ∠α=∠DFB+∠D=95°+45°=140°$.
【知识点】
三角形外角性质；三角尺角度特征
【点评】
本题是典型的角度计算问题，核心是灵活运用三角形外角的性质，找到已知角和所求角之间的过渡角即可顺利求解，解题时要注意识别图中的外角对应关系，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两块三角尺的固定角度：含30°角的三角尺较小锐角为30°，含45°角的三角尺锐角为45°，已知两个直角重叠形成的角为65°。我们可以利用三角形外角的性质分步推导：第一步先求过渡角∠DFB的度数，它是△BCF的外角，等于和它不相邻的∠FCB与∠B的和；第二步∠α是包含∠D和∠DFB的三角形的外角，等于∠D与∠DFB的和，逐步计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，两块三角尺的锐角分别为∠B = 30°，∠D=45°，两个直角重叠形成的角∠FCB = 65°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
首先，∠DFB是△BCF的外角，因此：
$∠DFB=∠FCB+∠B=65°+30°=95°$
其次，∠α是对应小三角形的外角，因此：
$∠α=∠DFB+∠D=95°+45°=140°$
【答案】
9. 解：如图.
由题意可知，$∠DCB = 65°$，$∠B = 30°$，$∠D=45°$，
$\therefore ∠DFB=∠FCB+∠B=65°+30°=95°$.
$\therefore ∠α=∠DFB+∠D=95°+45°=140°$.
【知识点】
三角形外角性质；三角尺角度特征
【点评】
本题是典型的角度计算问题，核心是灵活运用三角形外角的性质，找到已知角和所求角之间的过渡角即可顺利求解，解题时要注意识别图中的外角对应关系，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.7
