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13.1 如图13-1. (1) 图中共有
(2) △BGE 的三个顶点分别是
4
个三角形，它们分别是△ABC，△AEF，△BGE，△GCF
；(2) △BGE 的三个顶点分别是
B，G，E
，三条边分别是BE，EG，BG
，三个角分别是∠BGE，∠B，∠BEG
。答案
(1) 4 △ABC，△AEF，△BGE，△GCF
(2) B，G，E BE，EG，BG ∠BGE，∠B，∠BEG
(2) B，G，E BE，EG，BG ∠BGE，∠B，∠BEG
解析
【分析】
(1) 数三角形的关键是按一定顺序查找，做到不重复、不遗漏，我们可以按从大到小、按顶点分类的方式来找：先找以A为顶点的三角形，再找线段BC和EF相交形成的小三角形。
(2) 考查三角形的基本概念：三角形由3个顶点、3条边、3个内角组成，顶点是三角形的三个端点，边是相邻顶点的连接线段，角是三角形内部相邻两边的夹角，对应指定三角形按定义找出即可。
【解析】
(1) 按顺序查找所有三角形：
① 以A为顶点，AB、AC为边的△ABC；
② 以A为顶点，AE、AF为边的△AEF；
③ 线段EF与BC交于G，位于B侧的小三角形△BGE；
④ 线段EF与BC交于G，位于F侧的小三角形△GCF；
共4个三角形，分别为△ABC，△AEF，△BGE，△GCF。
(2) 根据三角形基本元素的定义：
△BGE的三个顶点是构成它的三个端点，即B、G、E；
三条边是相邻顶点的连接线段，即BE、EG、BG；
三个内角是三角形内部相邻两边的夹角，即顶点G处的∠BGE，顶点B处的∠B，顶点E处的∠BEG。
【答案】
(1) 4 △ABC，△AEF，△BGE，△GCF
(2) B，G，E BE，EG，BG ∠BGE，∠B，∠BEG
【知识点】
三角形的识别；三角形的基本元素
【点评】
本题是基础概念题，重点考查三角形的识别和构成要素相关知识，数三角形时按顺序查找就能避免漏数或重复，牢记三角形顶点、边、角的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 数三角形的关键是按一定顺序查找，做到不重复、不遗漏，我们可以按从大到小、按顶点分类的方式来找：先找以A为顶点的三角形，再找线段BC和EF相交形成的小三角形。
(2) 考查三角形的基本概念：三角形由3个顶点、3条边、3个内角组成，顶点是三角形的三个端点，边是相邻顶点的连接线段，角是三角形内部相邻两边的夹角，对应指定三角形按定义找出即可。
【解析】
(1) 按顺序查找所有三角形：
① 以A为顶点，AB、AC为边的△ABC；
② 以A为顶点，AE、AF为边的△AEF；
③ 线段EF与BC交于G，位于B侧的小三角形△BGE；
④ 线段EF与BC交于G，位于F侧的小三角形△GCF；
共4个三角形，分别为△ABC，△AEF，△BGE，△GCF。
(2) 根据三角形基本元素的定义：
△BGE的三个顶点是构成它的三个端点，即B、G、E；
三条边是相邻顶点的连接线段，即BE、EG、BG；
三个内角是三角形内部相邻两边的夹角，即顶点G处的∠BGE，顶点B处的∠B，顶点E处的∠BEG。
【答案】
(1) 4 △ABC，△AEF，△BGE，△GCF
(2) B，G，E BE，EG，BG ∠BGE，∠B，∠BEG
【知识点】
三角形的识别；三角形的基本元素
【点评】
本题是基础概念题，重点考查三角形的识别和构成要素相关知识，数三角形时按顺序查找就能避免漏数或重复，牢记三角形顶点、边、角的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
13.2 如图13-2，在一个面积为1 843 200 m²的长方形货场中有一条长1.6 km的铁路AE. 现有一辆装满货物的货车停放在D点，如果这辆货车的速度是5.76 km/h，那么能否在13 min内将货物运到铁路边？
图13-1
图13-2
图13-1
图13-2
答案
解: 如图所示, 过点 D 作 DF⊥AE, 垂足为 F, 连接 DE.
∵S△ADE=1/2 AE·DF=1/2 AD·CD,
∴1/2×1 600·DF=1/2×1 843 200.
∴DF=1 152 m.
又货车的速度为 5.76 km/h=96 m/min,
1 152÷96=12(min)＜13(min),
∴能在 13 min 内将货物运到铁路边.
解析
【分析】
要判断货车能否在13分钟内将货物运到铁路边，首先明确点到直线的距离中垂线段最短，因此D点到铁路AE的最短运输距离是过D作AE的垂线段DF的长度。接下来求DF的长度：△ADE的面积既是长方形货场面积的一半，也可以用“底AE×高DF÷2”计算，通过两种面积表示方法建立等式即可求出DF。最后根据“时间=路程÷速度”算出最短运输时间，和13分钟比较即可得出结论。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
2. 利用等面积法列等式：
△ADE以AD为底时，高等于长方形的宽CD，因此$ S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}S_{\mathrm{长方形}ABCD} $；
△ADE以AE为底时，高为DF，因此$ S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· DF $。
已知$ S_{\mathrm{长方形}ABCD}=1843200\ \mathrm{m}^2 $，$ AE=1.6\ \mathrm{km}=1600\ \mathrm{m} $，联立得：
$ \frac{1}{2}×1600× DF=\frac{1}{2}×1843200 $
解得$ DF=1152\ \mathrm{m} $。
3. 计算运输时间：
先换算速度单位：$ 5.76\ \mathrm{km/h}=\frac{5760\ \mathrm{m}}{60\ \mathrm{min}}=96\ \mathrm{m/min} $
最短运输时间$ t=\frac{1152}{96}=12\ \mathrm{min} $
4. 比较时间：$ 12\ \mathrm{min}＜13\ \mathrm{min} $，因此可以在13分钟内运到。
【答案】
解: 如图所示, 过点 D 作 DF⊥AE, 垂足为 F, 连接 DE.
∵S△ADE=1/2 AE·DF=1/2 AD·CD,
∴1/2×1 600·DF=1/2×1 843 200.
∴DF=1 152 m.
又货车的速度为 5.76 km/h=96 m/min,
1 152÷96=12(min)＜13(min),
∴能在 13 min 内将货物运到铁路边.
【知识点】
点到直线的距离，等面积法求线段长，行程问题计算
【点评】
本题是几何与实际应用结合的题型，解题核心是利用垂线段最短确定最短路径，再通过等面积法简化计算，不需要单独求解长方形的边长，体现了数学方法的灵活性，考验学生将知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断货车能否在13分钟内将货物运到铁路边，首先明确点到直线的距离中垂线段最短，因此D点到铁路AE的最短运输距离是过D作AE的垂线段DF的长度。接下来求DF的长度：△ADE的面积既是长方形货场面积的一半，也可以用“底AE×高DF÷2”计算，通过两种面积表示方法建立等式即可求出DF。最后根据“时间=路程÷速度”算出最短运输时间，和13分钟比较即可得出结论。
【解析】
1. 作辅助线：过点D作DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
2. 利用等面积法列等式：
△ADE以AD为底时，高等于长方形的宽CD，因此$ S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}S_{\mathrm{长方形}ABCD} $；
△ADE以AE为底时，高为DF，因此$ S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· DF $。
已知$ S_{\mathrm{长方形}ABCD}=1843200\ \mathrm{m}^2 $，$ AE=1.6\ \mathrm{km}=1600\ \mathrm{m} $，联立得：
$ \frac{1}{2}×1600× DF=\frac{1}{2}×1843200 $
解得$ DF=1152\ \mathrm{m} $。
3. 计算运输时间：
先换算速度单位：$ 5.76\ \mathrm{km/h}=\frac{5760\ \mathrm{m}}{60\ \mathrm{min}}=96\ \mathrm{m/min} $
最短运输时间$ t=\frac{1152}{96}=12\ \mathrm{min} $
4. 比较时间：$ 12\ \mathrm{min}＜13\ \mathrm{min} $，因此可以在13分钟内运到。
【答案】
解: 如图所示, 过点 D 作 DF⊥AE, 垂足为 F, 连接 DE.
∵S△ADE=1/2 AE·DF=1/2 AD·CD,
∴1/2×1 600·DF=1/2×1 843 200.
∴DF=1 152 m.
又货车的速度为 5.76 km/h=96 m/min,
1 152÷96=12(min)＜13(min),
∴能在 13 min 内将货物运到铁路边.
【知识点】
点到直线的距离，等面积法求线段长，行程问题计算
【点评】
本题是几何与实际应用结合的题型，解题核心是利用垂线段最短确定最短路径，再通过等面积法简化计算，不需要单独求解长方形的边长，体现了数学方法的灵活性，考验学生将知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
13.3 自行车放在水平地面的示意图如图13-3所示，其中AB，CD都与地面$ l $平行，$ ∠ BCD = 60° $，$ ∠ BAC = 52° $.当$ ∠ MAC $为多少度时，AM与BC平行？
图13-3
图13-3
答案
解:
∵AB, CD 都与地面 l 平行,
∴AB//CD.
∴∠ABC=∠BCD=60°.
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴52°+∠ACB+60°=180°.
∴∠ACB=68°.
∴当∠MAC=∠ACB=68°时,
AM 与 BC 平行.
∵AB, CD 都与地面 l 平行,
∴AB//CD.
∴∠ABC=∠BCD=60°.
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴52°+∠ACB+60°=180°.
∴∠ACB=68°.
∴当∠MAC=∠ACB=68°时,
AM 与 BC 平行.
解析
【分析】
要使AM与BC平行，根据平行线的判定定理，内错角相等时两直线平行，因此需要先求出∠ACB的度数。首先由AB、CD都平行于地面l，可推出AB//CD，利用平行线的内错角相等性质得到∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°，代入已知角度即可算出∠ACB的度数，该度数就是AM//BC时∠MAC需要满足的大小。
【解析】
∵AB，CD都与地面$ l $平行，
∴AB//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠ABC=∠BCD=60°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，
将∠BAC=52°，∠ABC=60°代入上式：
$52°+∠ ACB+60°=180°$，
解得$∠ ACB=68°$。
根据“内错角相等，两直线平行”，当$∠ MAC=∠ ACB=68°$时，AM与BC平行。
【答案】
$68°$
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的自行车场景考查几何知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定、性质以及三角形内角和定理，通过推导求出对应角的度数即可解决问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
要使AM与BC平行，根据平行线的判定定理，内错角相等时两直线平行，因此需要先求出∠ACB的度数。首先由AB、CD都平行于地面l，可推出AB//CD，利用平行线的内错角相等性质得到∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°，代入已知角度即可算出∠ACB的度数，该度数就是AM//BC时∠MAC需要满足的大小。
【解析】
∵AB，CD都与地面$ l $平行，
∴AB//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠ABC=∠BCD=60°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，
将∠BAC=52°，∠ABC=60°代入上式：
$52°+∠ ACB+60°=180°$，
解得$∠ ACB=68°$。
根据“内错角相等，两直线平行”，当$∠ MAC=∠ ACB=68°$时，AM与BC平行。
【答案】
$68°$
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的自行车场景考查几何知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定、性质以及三角形内角和定理，通过推导求出对应角的度数即可解决问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
