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1.（福建中考）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（
A.1
B.5
C.7
D.9
B
）。A.1
B.5
C.7
D.9
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查三角形三边关系的应用，解题思路为：首先回忆三角形三边关系的判定规则，再结合已知的两条边长列出关于第三边m的不等式，求出m的取值范围，最后比对选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形两条边长为3和4，第三边长为m，可列不等式：
$4-3 ＜ m ＜ 4+3$
即$1 ＜ m ＜ 7$
逐一比对选项：
A选项1，不满足$1＜m$，不符合要求；
B选项5，在$1＜m＜7$的范围内，符合要求；
C选项7，不满足$m＜7$，不符合要求；
D选项9，不在取值范围内，不符合要求。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解和应用，只要牢记三边判定规则，准确求出第三边的取值范围即可快速解题，是考试中常见的基础考查题。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形三边关系的应用，解题思路为：首先回忆三角形三边关系的判定规则，再结合已知的两条边长列出关于第三边m的不等式，求出m的取值范围，最后比对选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形两条边长为3和4，第三边长为m，可列不等式：
$4-3 ＜ m ＜ 4+3$
即$1 ＜ m ＜ 7$
逐一比对选项：
A选项1，不满足$1＜m$，不符合要求；
B选项5，在$1＜m＜7$的范围内，符合要求；
C选项7，不满足$m＜7$，不符合要求；
D选项9，不在取值范围内，不符合要求。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解和应用，只要牢记三边判定规则，准确求出第三边的取值范围即可快速解题，是考试中常见的基础考查题。
【难度系数】
0.9
2. 如图13-4，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，DE//AC，交BC于点E。若∠A=50°，则∠CDE的度数是（
A.25°
B.40°
C.45°
D.50°
B
）。A.25°
B.40°
C.45°
D.50°
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CD⊥AB可得直角，DE//AC可得平行线的角关系，已知∠A=50°求∠CDE。首先找中间角：由DE//AC可知∠CDE与∠ACD是内错角，二者相等，因此只需先求出∠ACD的度数即可。在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠A的度数就能算出∠ACD，进而得到∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB（已知）
∴ ∠ADC=90°（垂直的定义）
在Rt△ADC中，∠A + ∠ACD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵ ∠A=50°（已知）
∴ ∠ACD=90° - 50°=40°
又
∵ DE//AC（已知）
∴ ∠CDE=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠CDE=40°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是找到所求角与已知角之间的中间关联角，熟练掌握直角三角形两锐角互余和平行线的角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：CD⊥AB可得直角，DE//AC可得平行线的角关系，已知∠A=50°求∠CDE。首先找中间角：由DE//AC可知∠CDE与∠ACD是内错角，二者相等，因此只需先求出∠ACD的度数即可。在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠A的度数就能算出∠ACD，进而得到∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB（已知）
∴ ∠ADC=90°（垂直的定义）
在Rt△ADC中，∠A + ∠ACD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵ ∠A=50°（已知）
∴ ∠ACD=90° - 50°=40°
又
∵ DE//AC（已知）
∴ ∠CDE=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠CDE=40°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是找到所求角与已知角之间的中间关联角，熟练掌握直角三角形两锐角互余和平行线的角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图13-5，直线$a // b$，$∠ 3=80°$，$∠ 1 - ∠ 2=20°$，则$∠ 1$的度数是（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$80°$
图13-5
图13-6
图13-7
C
）.A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$80°$
图13-5
图13-6
图13-7
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知a//b，∠3=80°，∠1-∠2=20°，目标是求∠1的度数。首先结合平行线的性质得到∠2与∠3所在三角形的一个内角相等，再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可推导出∠3=∠1+∠2，最后联立∠1和∠2的差的关系，解方程即可求出∠1的度数。
【解析】
解：结合直线a//b的平行线性质与三角形外角的性质可得：
$∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2$，
已知$∠ 3=80°$，因此$∠ 1 + ∠ 2 = 80°$，
又已知$∠ 1 - ∠ 2 = 20°$，
将两个等式左右两边分别相加得：
$2∠ 1 = 80° + 20° = 100°$，
解得$∠ 1 = 50°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角性质；解一元一次方程
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是找到已知角和未知角之间的数量关系，结合代数方法求解角度，是平行线和三角形知识点结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：已知a//b，∠3=80°，∠1-∠2=20°，目标是求∠1的度数。首先结合平行线的性质得到∠2与∠3所在三角形的一个内角相等，再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可推导出∠3=∠1+∠2，最后联立∠1和∠2的差的关系，解方程即可求出∠1的度数。
【解析】
解：结合直线a//b的平行线性质与三角形外角的性质可得：
$∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2$，
已知$∠ 3=80°$，因此$∠ 1 + ∠ 2 = 80°$，
又已知$∠ 1 - ∠ 2 = 20°$，
将两个等式左右两边分别相加得：
$2∠ 1 = 80° + 20° = 100°$，
解得$∠ 1 = 50°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角性质；解一元一次方程
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是找到已知角和未知角之间的数量关系，结合代数方法求解角度，是平行线和三角形知识点结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
4.（山东临沂模拟）小华将一副三角尺（$∠ C = ∠ D = 90°$，$∠ B = 30°$，$∠ E = 45°$）按如图13-6所示的方式摆放，其中$AB // EF$，则$∠ 1$的度数为（
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$
C
）.A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先明确三角板的固定角度，先计算出两个三角尺中已知角对应的其余内角；再利用AB//EF的平行关系，通过平行线的性质得到一组相等的角；最后结合三角形内角和定理即可求出∠1的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°。
在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，
∴∠EFD=180° - ∠D - ∠E = 180° - 90° - 45° = 45°。
设AC与EF交于点O，
∵AB//EF，
∴∠EOF=∠BAC=60°（两直线平行，同位角相等）。
在△OFD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠1 + ∠EFD + ∠EOF = 180°，
代入数据计算得∠1 = 180° - 60° - 45° = 75°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；三角板角度特征
【点评】
本题是平行线性质与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，结合三角板的固定角度进行计算，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先明确三角板的固定角度，先计算出两个三角尺中已知角对应的其余内角；再利用AB//EF的平行关系，通过平行线的性质得到一组相等的角；最后结合三角形内角和定理即可求出∠1的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°。
在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，
∴∠EFD=180° - ∠D - ∠E = 180° - 90° - 45° = 45°。
设AC与EF交于点O，
∵AB//EF，
∴∠EOF=∠BAC=60°（两直线平行，同位角相等）。
在△OFD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠1 + ∠EFD + ∠EOF = 180°，
代入数据计算得∠1 = 180° - 60° - 45° = 75°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；三角板角度特征
【点评】
本题是平行线性质与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，结合三角板的固定角度进行计算，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
5. 如图13-7，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点。若$∠ 1=155°$，$∠ 2=30°$，则$∠ 3$的度数为（
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
C
）。A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先结合凸透镜的特殊光线传播规律确定各光线的位置关系：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，过光心的光线传播方向不变。再先利用邻补角的性质求出折射光线与入射平行光线的小夹角，结合平行线内错角相等的性质得到折射光线与主光轴的夹角，最后利用三角形外角的性质即可算出∠3的度数。
【解析】
1. 根据凸透镜光学规律：平行于主光轴的光线经折射后过焦点F，因此折射光线经过F点；过光心O的光线传播方向不变。
2. 已知∠1=155°，它的邻补角度数为$180° - 155° = 25°$，由于入射光线平行于主光轴，根据平行线内错角相等的性质，可得折射光线与主光轴的夹角为25°，即$∠OFP=25°$。
3. 已知$∠2=30°$，即$∠POF=30°$。∠3是△POF的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠3=∠POF + ∠OFP = 30° + 25° = 55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线规律，平行线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题将光学基础规律和几何角度计算结合考查，需要同学们灵活运用跨学科的基础知识点，解题的核心是先明确特殊光线的传播特点，再结合几何角度关系推导即可。
【难度系数】
0.7
解题时先结合凸透镜的特殊光线传播规律确定各光线的位置关系：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，过光心的光线传播方向不变。再先利用邻补角的性质求出折射光线与入射平行光线的小夹角，结合平行线内错角相等的性质得到折射光线与主光轴的夹角，最后利用三角形外角的性质即可算出∠3的度数。
【解析】
1. 根据凸透镜光学规律：平行于主光轴的光线经折射后过焦点F，因此折射光线经过F点；过光心O的光线传播方向不变。
2. 已知∠1=155°，它的邻补角度数为$180° - 155° = 25°$，由于入射光线平行于主光轴，根据平行线内错角相等的性质，可得折射光线与主光轴的夹角为25°，即$∠OFP=25°$。
3. 已知$∠2=30°$，即$∠POF=30°$。∠3是△POF的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠3=∠POF + ∠OFP = 30° + 25° = 55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线规律，平行线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题将光学基础规律和几何角度计算结合考查，需要同学们灵活运用跨学科的基础知识点，解题的核心是先明确特殊光线的传播特点，再结合几何角度关系推导即可。
【难度系数】
0.7
6. 给出下列命题：
①三条线段组成的图形叫三角形；
②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
③三角形的角平分线是射线；
④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.
正确的命题有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①三条线段组成的图形叫三角形；
②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
③三角形的角平分线是射线；
④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.
正确的命题有（
C
）.A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6. C
解析
【分析】
本题考查三角形的基础概念辨析，解题时需逐个对照三角形的相关定义、性质判断每个命题的正误，统计正确命题的个数后匹配选项。首先回忆三角形的定义、内角、角平分线、高、中线的核心特征，逐一排查命题的漏洞：比如三角形的构成要求是首尾顺次连接的封闭图形，三角形的角平分线是线段而非射线，直角三角形的高的交点在顶点上等易混点是判断的关键。
【解析】
我们逐个分析6个命题：
①：三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，仅三条线段随意组成的图形不是三角形，该命题错误；
②：三角形的内角定义就是三角形相邻两边组成的角，该命题正确；
③：三角形的角平分线是从角的顶点到对边交点的线段，射线是角本身的平分线，二者概念不同，该命题错误；
④：直角三角形的三条高的交点是直角顶点，位于三角形的边上，既不在三角形内也不在三角形外，该命题错误；
⑤：任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，该命题正确；
⑥：三角形的三条角平分线交于一点（内心），所有三角形的内心都在三角形内部，该命题正确。
综上，正确的命题为②⑤⑥，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义，三角形的三线性质，三角形内角概念
【点评】
本题侧重考查基础概念的细节辨析，易错点在于混淆三角形角平分线与角的平分线的区别、忽略直角三角形高的交点位置，学习时要注意准确记忆定义的限定条件，区分易混知识点。
【难度系数】
0.6
本题考查三角形的基础概念辨析，解题时需逐个对照三角形的相关定义、性质判断每个命题的正误，统计正确命题的个数后匹配选项。首先回忆三角形的定义、内角、角平分线、高、中线的核心特征，逐一排查命题的漏洞：比如三角形的构成要求是首尾顺次连接的封闭图形，三角形的角平分线是线段而非射线，直角三角形的高的交点在顶点上等易混点是判断的关键。
【解析】
我们逐个分析6个命题：
①：三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，仅三条线段随意组成的图形不是三角形，该命题错误；
②：三角形的内角定义就是三角形相邻两边组成的角，该命题正确；
③：三角形的角平分线是从角的顶点到对边交点的线段，射线是角本身的平分线，二者概念不同，该命题错误；
④：直角三角形的三条高的交点是直角顶点，位于三角形的边上，既不在三角形内也不在三角形外，该命题错误；
⑤：任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，该命题正确；
⑥：三角形的三条角平分线交于一点（内心），所有三角形的内心都在三角形内部，该命题正确。
综上，正确的命题为②⑤⑥，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义，三角形的三线性质，三角形内角概念
【点评】
本题侧重考查基础概念的细节辨析，易错点在于混淆三角形角平分线与角的平分线的区别、忽略直角三角形高的交点位置，学习时要注意准确记忆定义的限定条件，区分易混知识点。
【难度系数】
0.6
