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7. 如图13-8，在$△ ABC$中，AD，AE分别是BC边上的中线和高，$AE=6$，$S_{△ ABD}=15$，则$CD=$
5
。 答案
7. 5
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：AD是BC边的中线，可得BD=CD；AE是BC边上的高，即AE是△ABD中BD边上的高。我们可以先利用三角形面积公式，结合已知的△ABD面积和高AE的长度，求出BD的长度，再根据中线的性质直接得到CD的长度。
【解析】
∵AE是BC边上的高，
∴AE是△ABD中BD边上的高，即高h=AE=6。
根据三角形面积公式$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × 底 × 高$，代入已知$S_{△ ABD}=15$，AE=6：
$15=\frac{1}{2} × BD × 6$
化简得：$3BD=15$，解得$BD=5$。
又
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，故$CD=BD=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是掌握三角形中线平分对边的性质，以及熟练运用三角形面积公式进行计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：AD是BC边的中线，可得BD=CD；AE是BC边上的高，即AE是△ABD中BD边上的高。我们可以先利用三角形面积公式，结合已知的△ABD面积和高AE的长度，求出BD的长度，再根据中线的性质直接得到CD的长度。
【解析】
∵AE是BC边上的高，
∴AE是△ABD中BD边上的高，即高h=AE=6。
根据三角形面积公式$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × 底 × 高$，代入已知$S_{△ ABD}=15$，AE=6：
$15=\frac{1}{2} × BD × 6$
化简得：$3BD=15$，解得$BD=5$。
又
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，故$CD=BD=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是掌握三角形中线平分对边的性质，以及熟练运用三角形面积公式进行计算。
【难度系数】
0.8
8.（四川眉山模拟）如图13-9，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，若$∠ A=85°$，$∠ ACE=60°$，则$∠ B$的度数为________。
答案
8. 35°
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据角平分线的定义，已知CE平分∠ACD且∠ACE的度数，可先求出外角∠ACD的总度数；第二步，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），已知∠A的度数，代入即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴ ∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°，
又
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ACD = ∠A + ∠B，
已知∠A=85°，
∴ ∠B = ∠ACD - ∠A = 120° - 85° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和三角形外角的性质，通过两步推导即可得出结果，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.85
解题思路可分为两步：第一步，根据角平分线的定义，已知CE平分∠ACD且∠ACE的度数，可先求出外角∠ACD的总度数；第二步，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），已知∠A的度数，代入即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴ ∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°，
又
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ACD = ∠A + ∠B，
已知∠A=85°，
∴ ∠B = ∠ACD - ∠A = 120° - 85° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和三角形外角的性质，通过两步推导即可得出结果，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.85
9.（四川凉山中考）如图13-10，在$△ ABC$中，$∠ BCD=30°$，$∠ ACB=80°$，$CD$是边$AB$上的高，$AE$是$∠ CAB$的平分线，则$∠ AEB$的度数是
100°
。答案
9. 100°
解析
【分析】
要求∠AEB的度数，可将其放在△AEB中利用三角形内角和定理求解，因此需要先求出∠B和∠BAE的度数：①先根据CD是AB边上的高得到直角，结合已知∠BCD=30°，利用直角三角形两锐角互余求出∠B；②再在△ABC中利用内角和定理求出∠CAB的度数，结合AE是角平分线的条件得到∠BAE的度数；③最后代入△AEB的内角和公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
∵∠BCD=30°，
∴∠B=90°-30°=60°。
在△ABC中，∠CAB + ∠B + ∠ACB = 180°，
∵∠ACB=80°，∠B=60°，
∴∠CAB=180°-80°-60°=40°。
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
在△AEB中，∠AEB + ∠B + ∠BAE = 180°，
∴∠AEB=180°-60°-20°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形基础计算类题型，解题的关键是梳理清楚各个角之间的关系，逐步推导未知角的度数，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求∠AEB的度数，可将其放在△AEB中利用三角形内角和定理求解，因此需要先求出∠B和∠BAE的度数：①先根据CD是AB边上的高得到直角，结合已知∠BCD=30°，利用直角三角形两锐角互余求出∠B；②再在△ABC中利用内角和定理求出∠CAB的度数，结合AE是角平分线的条件得到∠BAE的度数；③最后代入△AEB的内角和公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
∵∠BCD=30°，
∴∠B=90°-30°=60°。
在△ABC中，∠CAB + ∠B + ∠ACB = 180°，
∵∠ACB=80°，∠B=60°，
∴∠CAB=180°-80°-60°=40°。
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
在△AEB中，∠AEB + ∠B + ∠BAE = 180°，
∴∠AEB=180°-60°-20°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形基础计算类题型，解题的关键是梳理清楚各个角之间的关系，逐步推导未知角的度数，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
10.（辽宁阜新中考）如图13-11，直线$AB// CD$，一块含有$30°$角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分$∠ CEF$，则$∠ 1$的度数为
60°
。答案
10. 60°
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知AB//CD，直角三角尺含30°角，EG平分∠CEF，要求∠1的度数。首先需要建立∠1和已知30°角的联系：∠1和∠CEF是平行线AB、CD被EF所截形成的内错角，根据平行线性质，二者相等，因此只需算出∠CEF的度数即可；再根据角平分线的定义，∠CEF是∠GEF的2倍，而∠GEF就是三角尺的30°角，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 含有30°角的直角三角尺的∠GEF=30°，
又
∵ EG平分∠CEF，
∴ ∠CEF=2∠GEF=2×30°=60°，
∵ AB//CD，
∴ ∠1=∠CEF=60°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查基础几何性质的综合应用，解题的关键是理清角与角之间的数量关系和位置关系，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知AB//CD，直角三角尺含30°角，EG平分∠CEF，要求∠1的度数。首先需要建立∠1和已知30°角的联系：∠1和∠CEF是平行线AB、CD被EF所截形成的内错角，根据平行线性质，二者相等，因此只需算出∠CEF的度数即可；再根据角平分线的定义，∠CEF是∠GEF的2倍，而∠GEF就是三角尺的30°角，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 含有30°角的直角三角尺的∠GEF=30°，
又
∵ EG平分∠CEF，
∴ ∠CEF=2∠GEF=2×30°=60°，
∵ AB//CD，
∴ ∠1=∠CEF=60°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查基础几何性质的综合应用，解题的关键是理清角与角之间的数量关系和位置关系，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.（陕西西安模拟）三角形的一个外角是$100°$，则与它不相邻的两个内角平分线的夹角（钝角）的度数是
130°
。答案
11. 130°
解析
【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质，求出与外角不相邻的两个内角的和；再根据角平分线的定义，算出这两个内角被平分后得到的两个小角的和；最后两个角平分线的夹角在新形成的小三角形中，利用三角形内角和为180°，即可求出该钝角的度数。
【解析】
设三角形中与100°外角不相邻的两个内角分别为∠B、∠C，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ B + ∠ C = 100°$
∵ $∠ B$、$∠ C$的平分线相交于一点，
∴ 两个平分线与$∠ B$、$∠ C$组成的小三角形中，两个锐角分别为$\frac{1}{2}∠ B$、$\frac{1}{2}∠ C$，
这两个锐角的和为：$\frac{1}{2}∠ B + \frac{1}{2}∠ C = \frac{1}{2}(∠ B + ∠ C) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得两个角平分线的钝角夹角为：
$180° - 50° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的常规应用题，解题的核心是熟练运用三角形外角和内角和的性质，结合角平分线的定义进行角度推导，注意题目要求的是钝角夹角，避免误算为较小的锐角。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形外角的性质，求出与外角不相邻的两个内角的和；再根据角平分线的定义，算出这两个内角被平分后得到的两个小角的和；最后两个角平分线的夹角在新形成的小三角形中，利用三角形内角和为180°，即可求出该钝角的度数。
【解析】
设三角形中与100°外角不相邻的两个内角分别为∠B、∠C，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ B + ∠ C = 100°$
∵ $∠ B$、$∠ C$的平分线相交于一点，
∴ 两个平分线与$∠ B$、$∠ C$组成的小三角形中，两个锐角分别为$\frac{1}{2}∠ B$、$\frac{1}{2}∠ C$，
这两个锐角的和为：$\frac{1}{2}∠ B + \frac{1}{2}∠ C = \frac{1}{2}(∠ B + ∠ C) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得两个角平分线的钝角夹角为：
$180° - 50° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的常规应用题，解题的核心是熟练运用三角形外角和内角和的性质，结合角平分线的定义进行角度推导，注意题目要求的是钝角夹角，避免误算为较小的锐角。
【难度系数】
0.7
12.（重庆期中）如图13-12，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，$△ ABC$的外角$∠ CBD$的平分线$BE$交$AC$的延长线于点$E$.
（1）求$∠ CBE$的度数；
（2）过点$D$作$DF// BE$，交$AC$的延长线于点$F$，求$∠ F$的度数.
图13-12
（1）求$∠ CBE$的度数；
（2）过点$D$作$DF// BE$，交$AC$的延长线于点$F$，求$∠ F$的度数.
图13-12
答案
12. 解: (1) 在 Rt△ABC 中,
∵∠ACB=90°, ∠A=40°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°.
∵BE 是∠CBD 的平分线,
∴∠CBE=1/2∠CBD=65°.
(2)
∵∠ACB=90°, ∠CBE=65°,
∴∠CEB=90°-∠CBE=25°.
∵DF//BE,
∴∠F=∠CEB=25°.
∵∠ACB=90°, ∠A=40°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°.
∵BE 是∠CBD 的平分线,
∴∠CBE=1/2∠CBD=65°.
(2)
∵∠ACB=90°, ∠CBE=65°,
∴∠CEB=90°-∠CBE=25°.
∵DF//BE,
∴∠F=∠CEB=25°.
解析
【分析】
（1）要求$∠ CBE$的度数，首先需要计算它所在的外角$∠ CBD$的度数，根据三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出$∠ CBD$；再结合$BE$是$∠ CBD$的平分线，利用角平分线的定义，取$∠ CBD$的一半就能得到$∠ CBE$的度数。
（2）要求$∠ F$的度数，已知$DF// BE$，根据平行线的性质可知$∠ F=∠ CEB$；而$∠ CEB$在$\mathrm{Rt}△BCE$中，直角三角形两锐角互余，用$90°$减去第一问求出的$∠ CBE$的度数即可得到$∠ CEB$，进而得到$∠ F$的度数。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
∵$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ CBD=∠ A+∠ ACB=40°+90°=130°$。
∵$BE$是$∠ CBD$的平分线，
∴$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ BCE=∠ ACB=90°$，
∵直角三角形两锐角互余，
∴$∠ CEB=90°-∠ CBE=90°-65°=25°$。
∵$DF// BE$，
根据“两直线平行，同位角相等”，
∴$∠ F=∠ CEB=25°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{65°}$；（2）$\boldsymbol{25°}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，综合考查了三角形外角、角平分线、平行线的相关性质，解题关键是理清各个角之间的数量关系，熟练运用相关定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
（1）要求$∠ CBE$的度数，首先需要计算它所在的外角$∠ CBD$的度数，根据三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出$∠ CBD$；再结合$BE$是$∠ CBD$的平分线，利用角平分线的定义，取$∠ CBD$的一半就能得到$∠ CBE$的度数。
（2）要求$∠ F$的度数，已知$DF// BE$，根据平行线的性质可知$∠ F=∠ CEB$；而$∠ CEB$在$\mathrm{Rt}△BCE$中，直角三角形两锐角互余，用$90°$减去第一问求出的$∠ CBE$的度数即可得到$∠ CEB$，进而得到$∠ F$的度数。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
∵$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ CBD=∠ A+∠ ACB=40°+90°=130°$。
∵$BE$是$∠ CBD$的平分线，
∴$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ BCE=∠ ACB=90°$，
∵直角三角形两锐角互余，
∴$∠ CEB=90°-∠ CBE=90°-65°=25°$。
∵$DF// BE$，
根据“两直线平行，同位角相等”，
∴$∠ F=∠ CEB=25°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{65°}$；（2）$\boldsymbol{25°}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，综合考查了三角形外角、角平分线、平行线的相关性质，解题关键是理清各个角之间的数量关系，熟练运用相关定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
