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1.某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口数x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B.该村人均耕地面积y与总人口数x成正比例
C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口数有100人
D.当该村总人口数为50人时，人均耕地面积为1公顷
A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B.该村人均耕地面积y与总人口数x成正比例
C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口数有100人
D.当该村总人口数为50人时，人均耕地面积为1公顷
答案
D
解析
【分析】
首先根据耕地总面积固定，可知人均耕地面积=总面积÷总人口数，由此确定y与x是反比例函数关系，解析式为$ y=\frac{50}{x} $（x为正整数）。接下来结合反比例函数的性质，以及代入求值的方法，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
由题意可知耕地总面积为50公顷，因此人均耕地面积y与总人口x的函数关系为：$ y=\frac{50}{x} $（$ x＞0 $，且x为正整数），属于反比例函数。
选项A：该反比例函数中$ k=50＞0 $，在第一象限内y随x的增大而减小，即人均耕地面积随总人口增多而减少，A错误；
选项B：y与x成反比例关系，不是正比例关系，B错误；
选项C：当$ y=2 $时，代入解析式得$ x=\frac{50}{2}=25 $，即总人口为25人，C错误；
选项D：当$ x=50 $时，代入解析式得$ y=\frac{50}{50}=1 $，即总人口为50人时人均耕地面积为1公顷，与图象信息也吻合，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；反比例函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先根据“总面积不变”的等量关系推出函数解析式，再结合函数性质和代入法逐一验证选项，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先根据耕地总面积固定，可知人均耕地面积=总面积÷总人口数，由此确定y与x是反比例函数关系，解析式为$ y=\frac{50}{x} $（x为正整数）。接下来结合反比例函数的性质，以及代入求值的方法，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
由题意可知耕地总面积为50公顷，因此人均耕地面积y与总人口x的函数关系为：$ y=\frac{50}{x} $（$ x＞0 $，且x为正整数），属于反比例函数。
选项A：该反比例函数中$ k=50＞0 $，在第一象限内y随x的增大而减小，即人均耕地面积随总人口增多而减少，A错误；
选项B：y与x成反比例关系，不是正比例关系，B错误；
选项C：当$ y=2 $时，代入解析式得$ x=\frac{50}{2}=25 $，即总人口为25人，C错误；
选项D：当$ x=50 $时，代入解析式得$ y=\frac{50}{50}=1 $，即总人口为50人时人均耕地面积为1公顷，与图象信息也吻合，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；反比例函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先根据“总面积不变”的等量关系推出函数解析式，再结合函数性质和代入法逐一验证选项，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
2.如图所示,密度计浸在液体中的深度h(单位:cm)与液体的密度ρ(单位:g/cm³,ρ＞0)是反比例函数关系,若$h=\frac{20}{\rho}$,当$10＜\rho＜40$时,求密度计浸在液体中的深度h的取值范围. 
答案
解：
在反比例函数$h=\frac{20}{\rho}$中，$k=20＞0$，
∴当$\rho＞0$时，$h$随$\rho$的增大而减小。
当$\rho=10$时，$h=\frac{20}{10}=2$；
当$\rho=40$时，$h=\frac{20}{40}=0.5$。
∵$10＜\rho＜40$，
∴$0.5＜h＜2$。
答：密度计浸在液体中的深度$h$的取值范围是$0.5\ \mathrm{cm}＜h＜2\ \mathrm{cm}$。
在反比例函数$h=\frac{20}{\rho}$中，$k=20＞0$，
∴当$\rho＞0$时，$h$随$\rho$的增大而减小。
当$\rho=10$时，$h=\frac{20}{10}=2$；
当$\rho=40$时，$h=\frac{20}{40}=0.5$。
∵$10＜\rho＜40$，
∴$0.5＜h＜2$。
答：密度计浸在液体中的深度$h$的取值范围是$0.5\ \mathrm{cm}＜h＜2\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察反比例函数解析式，判断比例系数k的正负，得到函数的增减性；由于h随ρ的增大而减小，因此ρ取最小值时对应h的最大值，ρ取最大值时对应h的最小值；最后将ρ的两个边界值代入解析式计算，结合增减性即可得到h的取值范围。
【解析】
在反比例函数$h=\frac{20}{\rho}$中，$k=20＞0$，
∴当$\rho＞0$时，$h$随$\rho$的增大而减小。
当$\rho=10$时，$h=\frac{20}{10}=2$；
当$\rho=40$时，$h=\frac{20}{40}=0.5$。
∵$10＜\rho＜40$，
∴$0.5＜h＜2$。
【答案】
$0.5\ \mathrm{cm}＜h＜2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的密度计场景考查反比例函数的应用，解题核心是利用反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围推导函数值的范围，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察反比例函数解析式，判断比例系数k的正负，得到函数的增减性；由于h随ρ的增大而减小，因此ρ取最小值时对应h的最大值，ρ取最大值时对应h的最小值；最后将ρ的两个边界值代入解析式计算，结合增减性即可得到h的取值范围。
【解析】
在反比例函数$h=\frac{20}{\rho}$中，$k=20＞0$，
∴当$\rho＞0$时，$h$随$\rho$的增大而减小。
当$\rho=10$时，$h=\frac{20}{10}=2$；
当$\rho=40$时，$h=\frac{20}{40}=0.5$。
∵$10＜\rho＜40$，
∴$0.5＜h＜2$。
【答案】
$0.5\ \mathrm{cm}＜h＜2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的密度计场景考查反比例函数的应用，解题核心是利用反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围推导函数值的范围，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
1.在功W(单位:J)一定的条件下,功率P(单位:W)与做功时间t(单位:s)成反比例,功率P与做功时间t之间的函数关系如图所示.当30≤t≤50时,P的取值范围为.
第1题图 第2题图
第1题图 第2题图
答案
$\boldsymbol{24≤ P≤40}$
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据“功一定时，功率与做功时间成反比例”设出反比例函数解析式；再结合图像给出的点坐标，代入解析式求出反比例函数的常数项，得到完整的函数解析式；最后根据反比例函数的增减性，分别计算t取区间端点30和50时对应的P值，即可得到P的取值范围。
【解析】
设功率P与做功时间t的函数解析式为$ P=\frac{k}{t} $（$ k≠0，t＞0 $，其中k为定值功W）。
由函数图像可知，该函数过点$(40,30)$，将点代入解析式得：
$ 30=\frac{k}{40} $，解得$ k=30×40=1200 $，
因此函数解析式为$ P=\frac{1200}{t}（t＞0） $。
因为$ k=1200＞0 $，所以在$ t＞0 $时，P随t的增大而减小。
当$ t=30 $时，$ P=\frac{1200}{30}=40 $；
当$ t=50 $时，$ P=\frac{1200}{50}=24 $。
所以当$ 30≤ t≤50 $时，P的取值范围是$ 24≤ P≤40 $。
【答案】
$\boldsymbol{24≤ P≤40}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数的性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理中功率与做功时间的关系考查反比例函数的应用，解题关键是先利用图像上的已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求取值范围，属于基础题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据“功一定时，功率与做功时间成反比例”设出反比例函数解析式；再结合图像给出的点坐标，代入解析式求出反比例函数的常数项，得到完整的函数解析式；最后根据反比例函数的增减性，分别计算t取区间端点30和50时对应的P值，即可得到P的取值范围。
【解析】
设功率P与做功时间t的函数解析式为$ P=\frac{k}{t} $（$ k≠0，t＞0 $，其中k为定值功W）。
由函数图像可知，该函数过点$(40,30)$，将点代入解析式得：
$ 30=\frac{k}{40} $，解得$ k=30×40=1200 $，
因此函数解析式为$ P=\frac{1200}{t}（t＞0） $。
因为$ k=1200＞0 $，所以在$ t＞0 $时，P随t的增大而减小。
当$ t=30 $时，$ P=\frac{1200}{30}=40 $；
当$ t=50 $时，$ P=\frac{1200}{50}=24 $。
所以当$ 30≤ t≤50 $时，P的取值范围是$ 24≤ P≤40 $。
【答案】
$\boldsymbol{24≤ P≤40}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数的性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理中功率与做功时间的关系考查反比例函数的应用，解题关键是先利用图像上的已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求取值范围，属于基础题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2.为了预防某种流行性疾病，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.如图，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（单位：mg）与时间x（单位：min）成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg时，为杀灭病菌的有效浓度，则此次药物维持有效浓度的时长是min.
答案
解：
设药物燃烧时（$0 ≤ x ≤ 8$），$y$关于$x$的函数解析式为$y = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），
将$x=8$，$y=6$代入得：$6 = 8k_1$，解得$k_1 = \frac{3}{4}$，
∴此时函数解析式为$y = \frac{3}{4}x$（$0 ≤ x ≤ 8$）。
设药物燃烧后（$x ≥ 8$），$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），
将$x=8$，$y=6$代入得：$6 = \frac{k_2}{8}$，解得$k_2 = 48$，
∴此时函数解析式为$y = \frac{48}{x}$（$x ≥ 8$）。
当$y=3$时，代入$y=\frac{3}{4}x$，得$3 = \frac{3}{4}x$，解得$x=4$；
当$y=3$时，代入$y=\frac{48}{x}$，得$3 = \frac{48}{x}$，解得$x=16$。
∴此次药物维持有效浓度的时长为$16 - 4 = 12(\mathrm{min})$。
答：此次药物维持有效浓度的时长是$\boldsymbol{12}$ min。
设药物燃烧时（$0 ≤ x ≤ 8$），$y$关于$x$的函数解析式为$y = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），
将$x=8$，$y=6$代入得：$6 = 8k_1$，解得$k_1 = \frac{3}{4}$，
∴此时函数解析式为$y = \frac{3}{4}x$（$0 ≤ x ≤ 8$）。
设药物燃烧后（$x ≥ 8$），$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），
将$x=8$，$y=6$代入得：$6 = \frac{k_2}{8}$，解得$k_2 = 48$，
∴此时函数解析式为$y = \frac{48}{x}$（$x ≥ 8$）。
当$y=3$时，代入$y=\frac{3}{4}x$，得$3 = \frac{3}{4}x$，解得$x=4$；
当$y=3$时，代入$y=\frac{48}{x}$，得$3 = \frac{48}{x}$，解得$x=16$。
∴此次药物维持有效浓度的时长为$16 - 4 = 12(\mathrm{min})$。
答：此次药物维持有效浓度的时长是$\boldsymbol{12}$ min。
解析
【分析】
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意明确两段函数的类型：药物燃烧阶段（$0 ≤ x ≤ 8$）$y$与$x$成正比例，药物燃烧后（$x ≥ 8$）$y$与$x$成反比例；接着利用两段函数的公共交点$(8,6)$，分别代入求出两个函数的解析式；最后根据有效浓度要求$y≥3\mathrm{mg}$，分别将$y=3$代入两段函数求出对应的时间$x$，两个时间的差值就是有效浓度的维持时长。
【解析】
解：① 求药物燃烧阶段（$0 ≤ x ≤ 8$）的函数解析式：
设该阶段函数解析式为$y = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），将$x=8$，$y=6$代入得：
$6 = 8k_1$，解得$k_1 = \frac{3}{4}$，
即该阶段解析式为$y = \frac{3}{4}x$（$0 ≤ x ≤ 8$）。
② 求药物燃烧后（$x ≥ 8$）的函数解析式：
设该阶段函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），将$x=8$，$y=6$代入得：
$6 = \frac{k_2}{8}$，解得$k_2 = 48$，
即该阶段解析式为$y = \frac{48}{x}$（$x ≥ 8$）。
③ 计算有效浓度对应的时间：
当$y=3$时，代入$y=\frac{3}{4}x$，得$3 = \frac{3}{4}x$，解得$x=4$；
当$y=3$时，代入$y=\frac{48}{x}$，得$3 = \frac{48}{x}$，解得$x=16$。
有效浓度时长为两个时间的差：$16 - 4 = 12(\mathrm{min})$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
1. 正比例函数的应用
2. 反比例函数的应用
3. 分段函数求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题的核心是先根据已知交点求出两段函数的解析式，再结合有效浓度的条件找到对应的时间节点，通过计算时间差得到结果，注重考查函数知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意明确两段函数的类型：药物燃烧阶段（$0 ≤ x ≤ 8$）$y$与$x$成正比例，药物燃烧后（$x ≥ 8$）$y$与$x$成反比例；接着利用两段函数的公共交点$(8,6)$，分别代入求出两个函数的解析式；最后根据有效浓度要求$y≥3\mathrm{mg}$，分别将$y=3$代入两段函数求出对应的时间$x$，两个时间的差值就是有效浓度的维持时长。
【解析】
解：① 求药物燃烧阶段（$0 ≤ x ≤ 8$）的函数解析式：
设该阶段函数解析式为$y = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），将$x=8$，$y=6$代入得：
$6 = 8k_1$，解得$k_1 = \frac{3}{4}$，
即该阶段解析式为$y = \frac{3}{4}x$（$0 ≤ x ≤ 8$）。
② 求药物燃烧后（$x ≥ 8$）的函数解析式：
设该阶段函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），将$x=8$，$y=6$代入得：
$6 = \frac{k_2}{8}$，解得$k_2 = 48$，
即该阶段解析式为$y = \frac{48}{x}$（$x ≥ 8$）。
③ 计算有效浓度对应的时间：
当$y=3$时，代入$y=\frac{3}{4}x$，得$3 = \frac{3}{4}x$，解得$x=4$；
当$y=3$时，代入$y=\frac{48}{x}$，得$3 = \frac{48}{x}$，解得$x=16$。
有效浓度时长为两个时间的差：$16 - 4 = 12(\mathrm{min})$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
1. 正比例函数的应用
2. 反比例函数的应用
3. 分段函数求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题的核心是先根据已知交点求出两段函数的解析式，再结合有效浓度的条件找到对应的时间节点，通过计算时间差得到结果，注重考查函数知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
