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例1 在电压保持不变的条件下，电流$I$（单位：A）与电阻$R$（单位：Ω）成反比例函数关系，$I$与$R$的函数图象如图，$I$关于$R$的函数解析式是（）
A.$I=\dfrac{220}{R}$
B.$I=-\dfrac{220}{R}$
C.$I=\dfrac{20}{R}$
D.$I=\dfrac{11}{R}$
【思路导析】根据电压=电流×电阻，得到稳定电压的值，使$I=\dfrac{固定电压}{R}$即可.
【请你解答】.
A.$I=\dfrac{220}{R}$
B.$I=-\dfrac{220}{R}$
C.$I=\dfrac{20}{R}$
D.$I=\dfrac{11}{R}$
【思路导析】根据电压=电流×电阻，得到稳定电压的值，使$I=\dfrac{固定电压}{R}$即可.
【请你解答】.
答案
A
解析
【分析】
已知电流I与电阻R成反比例函数关系，我们可以先设出反比例函数的一般形式$I=\frac{k}{R}(k≠0)$，结合实际意义，电流、电阻均为正数，因此k为正数，可先排除带负号的选项。再将图象上给出的已知点$(20,11)$代入解析式，求出常数k的值，就能得到对应的函数解析式，匹配选项即可。
【解析】
解：
∵电压不变时，电流I与电阻R成反比例函数关系，
∴设I关于R的函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。
将点$(20,11)$代入解析式得：$11=\frac{k}{20}$，
解得$k=11×20=220$，
∴I关于R的函数解析式为$I=\frac{220}{R}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合电学常识考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的步骤，同时要注意结合实际意义判断函数系数的符号，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
已知电流I与电阻R成反比例函数关系，我们可以先设出反比例函数的一般形式$I=\frac{k}{R}(k≠0)$，结合实际意义，电流、电阻均为正数，因此k为正数，可先排除带负号的选项。再将图象上给出的已知点$(20,11)$代入解析式，求出常数k的值，就能得到对应的函数解析式，匹配选项即可。
【解析】
解：
∵电压不变时，电流I与电阻R成反比例函数关系，
∴设I关于R的函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。
将点$(20,11)$代入解析式得：$11=\frac{k}{20}$，
解得$k=11×20=220$，
∴I关于R的函数解析式为$I=\frac{220}{R}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合电学常识考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的步骤，同时要注意结合实际意义判断函数系数的符号，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
例2 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压$ P $（单位：kPa）是气体体积$ V $（单位：$ \mathrm{m}^3 $）的反比例函数，其图象如
所示。
(1)写出这个函数的解析式；
(2)当气球的体积是$ 0.8 \, \mathrm{m}^3 $时，气球内的气压是多少？
(3)当气球内的气压大于144 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少立方米（精确到$ 0.01 \, \mathrm{m}^3 $）？
【思路导析】体积越大，气压越小；体积越小，气压越大。气体的体积与气球的气压成反比例。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
所示。(1)写出这个函数的解析式；
(2)当气球的体积是$ 0.8 \, \mathrm{m}^3 $时，气球内的气压是多少？
(3)当气球内的气压大于144 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少立方米（精确到$ 0.01 \, \mathrm{m}^3 $）？
【思路导析】体积越大，气压越小；体积越小，气压越大。气体的体积与气球的气压成反比例。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 设该反比例函数的解析式为 $P=\frac{k}{V}(k≠ 0, V＞0)$，
将点 $A(1.5, 64)$ 代入解析式，得：
$64=\frac{k}{1.5}$，
解得 $k=1.5×64=96$，
所以这个函数的解析式为 $P=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 把 $V=0.8$ 代入 $P=\frac{96}{V}$，得：
$P=\frac{96}{0.8}=120$，
所以当气球的体积是$0.8\,\mathrm{m}^3$时，气球内的气压是120 kPa。
(3) 由题意，为保证安全需满足 $P≤ 144$，即：
$\frac{96}{V}≤ 144$，
因为 $V＞0$，不等式两边同乘$V$得：
$96≤ 144V$，
解得 $V≥ \frac{96}{144}=\frac{2}{3}\approx 0.67$。
答：为了安全起见，气体的体积应不小于$0.67\,\mathrm{m}^3$。
(1) 设该反比例函数的解析式为 $P=\frac{k}{V}(k≠ 0, V＞0)$，
将点 $A(1.5, 64)$ 代入解析式，得：
$64=\frac{k}{1.5}$，
解得 $k=1.5×64=96$，
所以这个函数的解析式为 $P=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 把 $V=0.8$ 代入 $P=\frac{96}{V}$，得：
$P=\frac{96}{0.8}=120$，
所以当气球的体积是$0.8\,\mathrm{m}^3$时，气球内的气压是120 kPa。
(3) 由题意，为保证安全需满足 $P≤ 144$，即：
$\frac{96}{V}≤ 144$，
因为 $V＞0$，不等式两边同乘$V$得：
$96≤ 144V$，
解得 $V≥ \frac{96}{144}=\frac{2}{3}\approx 0.67$。
答：为了安全起见，气体的体积应不小于$0.67\,\mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路清晰可分三步推进：
1. 求函数解析式：已知气压P是体积V的反比例函数，先设反比例函数的一般形式$P=\frac{k}{V}(k≠0)$，再将图象上已知点A的坐标代入即可求出常数k，结合气体体积为正数的实际意义，明确自变量V的取值范围，得到完整解析式；
2. 求指定体积对应的气压：将$V=0.8$直接代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的气压值；
3. 求安全体积范围：根据“气压大于144kPa会爆炸”的条件，可知安全状态下$P≤144kPa$，将函数解析式代入不等式，结合$V＞0$的实际意义求解不等式，就能得到气体体积的最小取值。
【解析】
(1) 设该反比例函数的解析式为 $P=\frac{k}{V}(k≠ 0, V＞0)$，
将点 $A(1.5, 64)$ 代入解析式，得：
$64=\frac{k}{1.5}$，
解得 $k=1.5×64=96$，
所以这个函数的解析式为 $P=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 把 $V=0.8$ 代入 $P=\frac{96}{V}$，得：
$P=\frac{96}{0.8}=120$，
所以当气球的体积是$0.8\,\mathrm{m}^3$时，气球内的气压是120 kPa。
(3) 由题意，为保证安全需满足 $P≤ 144$，即：
$\frac{96}{V}≤ 144$，
因为 $V＞0$，不等式两边同乘$V$得：
$96≤ 144V$，
解得 $V≥ \frac{96}{144}=\frac{2}{3}\approx 0.67$。
答：为了安全起见，气体的体积应不小于$0.67\,\mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $P=\frac{96}{V}(V＞0)$
(2) $120\ \mathrm{kPa}$
(3) 不小于$0.67\,\mathrm{m}^3$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数求值，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合气体压强与体积的物理背景考察反比例函数的应用，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，解不等式时要根据自变量的正负正确判断不等号方向，最终结果要符合题目给出的精确度要求。
【难度系数】
0.75
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路清晰可分三步推进：
1. 求函数解析式：已知气压P是体积V的反比例函数，先设反比例函数的一般形式$P=\frac{k}{V}(k≠0)$，再将图象上已知点A的坐标代入即可求出常数k，结合气体体积为正数的实际意义，明确自变量V的取值范围，得到完整解析式；
2. 求指定体积对应的气压：将$V=0.8$直接代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的气压值；
3. 求安全体积范围：根据“气压大于144kPa会爆炸”的条件，可知安全状态下$P≤144kPa$，将函数解析式代入不等式，结合$V＞0$的实际意义求解不等式，就能得到气体体积的最小取值。
【解析】
(1) 设该反比例函数的解析式为 $P=\frac{k}{V}(k≠ 0, V＞0)$，
将点 $A(1.5, 64)$ 代入解析式，得：
$64=\frac{k}{1.5}$，
解得 $k=1.5×64=96$，
所以这个函数的解析式为 $P=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 把 $V=0.8$ 代入 $P=\frac{96}{V}$，得：
$P=\frac{96}{0.8}=120$，
所以当气球的体积是$0.8\,\mathrm{m}^3$时，气球内的气压是120 kPa。
(3) 由题意，为保证安全需满足 $P≤ 144$，即：
$\frac{96}{V}≤ 144$，
因为 $V＞0$，不等式两边同乘$V$得：
$96≤ 144V$，
解得 $V≥ \frac{96}{144}=\frac{2}{3}\approx 0.67$。
答：为了安全起见，气体的体积应不小于$0.67\,\mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $P=\frac{96}{V}(V＞0)$
(2) $120\ \mathrm{kPa}$
(3) 不小于$0.67\,\mathrm{m}^3$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数求值，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合气体压强与体积的物理背景考察反比例函数的应用，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，解不等式时要根据自变量的正负正确判断不等号方向，最终结果要符合题目给出的精确度要求。
【难度系数】
0.75
例3 为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒. 在教室内，消毒药物在空气中的浓度$y$(单位:$\mathrm{mg/m}^3$)随时间$x$(单位:$\mathrm{min}$)变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段$y$与$x$成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，$y$与$x$成反比例函数关系.
(1)当$x≥ 3$时，求$y$与$x$的函数解析式；
(2)当教室内的药物浓度不低于$3\ \mathrm{mg/m}^3$时，才能有效灭活病毒.则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多少？
【探究点拨】(1)(2)根据图象特点分别设出函数解析式，把$(3,9)$代入即可.
【规范解答】(1)设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，把$(3,9)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=27$，
∴ 当$x≥ 3$时，$y=\frac{27}{x}$.
(2)当$x＜3$时，设$y=mx$，把$(3,9)$代入得$9=3m$，
∴ $m=3$.
∴ 当$x＜3$时，$y=3x$.
把$y=3$代入$y=\frac{27}{x}$，得$x=9$；
把$y=3$代入$y=3x$，得$x=1$.
∴ 有效杀灭病毒的持续时间是$9-1=8(\mathrm{min})$.
变式探究
(1)当$x≥ 3$时，求$y$与$x$的函数解析式；
(2)当教室内的药物浓度不低于$3\ \mathrm{mg/m}^3$时，才能有效灭活病毒.则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多少？
【探究点拨】(1)(2)根据图象特点分别设出函数解析式，把$(3,9)$代入即可.
【规范解答】(1)设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，把$(3,9)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=27$，
∴ 当$x≥ 3$时，$y=\frac{27}{x}$.
(2)当$x＜3$时，设$y=mx$，把$(3,9)$代入得$9=3m$，
∴ $m=3$.
∴ 当$x＜3$时，$y=3x$.
把$y=3$代入$y=\frac{27}{x}$，得$x=9$；
把$y=3$代入$y=3x$，得$x=1$.
∴ 有效杀灭病毒的持续时间是$9-1=8(\mathrm{min})$.
变式探究
答案
解：
(1) 当$x≥3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=\frac{k}{3}$，解得$k=27$。
∴ 当$x≥3$时，$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{27}{x}$。
(2) 当$0≤ x＜3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=mx(m≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=3m$，解得$m=3$。
∴ 当$0≤ x＜3$时，$y=3x$。
把$y=3$代入$y=3x$，得$3=3x$，解得$x=1$；
把$y=3$代入$y=\frac{27}{x}$，得$3=\frac{27}{x}$，解得$x=9$。
∴ 有效杀灭病毒的持续时间为$9-1=8(\mathrm{min})$。
答：此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是8分钟。
(1) 当$x≥3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=\frac{k}{3}$，解得$k=27$。
∴ 当$x≥3$时，$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{27}{x}$。
(2) 当$0≤ x＜3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=mx(m≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=3m$，解得$m=3$。
∴ 当$0≤ x＜3$时，$y=3x$。
把$y=3$代入$y=3x$，得$3=3x$，解得$x=1$；
把$y=3$代入$y=\frac{27}{x}$，得$3=\frac{27}{x}$，解得$x=9$。
∴ 有效杀灭病毒的持续时间为$9-1=8(\mathrm{min})$。
答：此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是8分钟。
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 第一问已知x≥3时y与x成反比例函数关系，采用待定系数法，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将图像上已知的点$(3,9)$代入即可求出k的值，得到对应函数解析式。2. 第二问首先需要求出$0≤x＜3$段的正比例函数解析式，同样用待定系数法，设$y=mx(m≠0)$，代入$(3,9)$求出m；有效灭活病毒的条件是$y≥3$，分别将$y=3$代入两段函数解析式求出对应的x值，两个x值的差就是有效消毒的持续时间。
【解析】
(1) 当$x≥3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=\frac{k}{3}$，解得$k=27$。
∴ 当$x≥3$时，$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{27}{x}$。
(2) 当$0≤ x＜3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=mx(m≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=3m$，解得$m=3$。
∴ 当$0≤ x＜3$时，$y=3x$。
把$y=3$代入$y=3x$，得$3=3x$，解得$x=1$；
把$y=3$代入$y=\frac{27}{x}$，得$3=\frac{27}{x}$，解得$x=9$。
∴ 有效杀灭病毒的持续时间为$9-1=8(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{27}{x}(x≥ 3)$
(2) $8\ \mathrm{min}$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的应用，解题核心是根据图像特征判断不同区间的函数类型，利用待定系数法求出对应解析式后，结合题目的限定条件求解相关数值，能很好地考查学生运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 第一问已知x≥3时y与x成反比例函数关系，采用待定系数法，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将图像上已知的点$(3,9)$代入即可求出k的值，得到对应函数解析式。2. 第二问首先需要求出$0≤x＜3$段的正比例函数解析式，同样用待定系数法，设$y=mx(m≠0)$，代入$(3,9)$求出m；有效灭活病毒的条件是$y≥3$，分别将$y=3$代入两段函数解析式求出对应的x值，两个x值的差就是有效消毒的持续时间。
【解析】
(1) 当$x≥3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=\frac{k}{3}$，解得$k=27$。
∴ 当$x≥3$时，$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{27}{x}$。
(2) 当$0≤ x＜3$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=mx(m≠0)$。
将点$(3,9)$代入解析式，得$9=3m$，解得$m=3$。
∴ 当$0≤ x＜3$时，$y=3x$。
把$y=3$代入$y=3x$，得$3=3x$，解得$x=1$；
把$y=3$代入$y=\frac{27}{x}$，得$3=\frac{27}{x}$，解得$x=9$。
∴ 有效杀灭病毒的持续时间为$9-1=8(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{27}{x}(x≥ 3)$
(2) $8\ \mathrm{min}$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的应用，解题核心是根据图像特征判断不同区间的函数类型，利用待定系数法求出对应解析式后，结合题目的限定条件求解相关数值，能很好地考查学生运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
