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8.科学课上,同学们用自制的密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(单位:cm)是液体的密度ρ(单位:g/cm³)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为1 g/cm³的水中时,h=20 cm.
(1)求h关于ρ的函数解析式;
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ.
(1)求h关于ρ的函数解析式;
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ.
答案
解：
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}\ (k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1$，$h=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1}$，
解得$k=20$。
所以$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$。
(2) 将$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得：
$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8$。
答：(1) $h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$；(2) 该液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}\ (k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1$，$h=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1}$，
解得$k=20$。
所以$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$。
(2) 将$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得：
$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8$。
答：(1) $h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$；(2) 该液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：(1) 题目明确说明h是ρ的反比例函数，首先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k≠0,\rho＞0$），再将已知的$\rho=1$、$h=20$代入表达式，即可求出常数k的值，进而得到h关于ρ的函数解析式；(2) 第二问已知h的值求ρ，直接将$h=25$代入第一问求出的函数解析式，解关于ρ的方程即可得到液体的密度。
【解析】
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}\ (k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1}$，
解得$k=20$。
所以$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$。
(2) 将$h=25\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得：
$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$；(2) $0.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法，代入求值
【点评】
本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的相关知识，重点考查学生对反比例函数基本性质的掌握和运用待定系数法求解函数解析式的能力，体现了数学知识在跨学科场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：(1) 题目明确说明h是ρ的反比例函数，首先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k≠0,\rho＞0$），再将已知的$\rho=1$、$h=20$代入表达式，即可求出常数k的值，进而得到h关于ρ的函数解析式；(2) 第二问已知h的值求ρ，直接将$h=25$代入第一问求出的函数解析式，解关于ρ的方程即可得到液体的密度。
【解析】
(1) 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}\ (k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1}$，
解得$k=20$。
所以$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$。
(2) 将$h=25\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得：
$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $h=\frac{20}{\rho}\ (\rho＞0)$；(2) $0.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法，代入求值
【点评】
本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的相关知识，重点考查学生对反比例函数基本性质的掌握和运用待定系数法求解函数解析式的能力，体现了数学知识在跨学科场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
9.某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗3 t，可用80 h.由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量.设现在每小时消耗原料x(单位:t)，库存的原料可使用的时间为y(单位:h).
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)若恰好经过40 h才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)若恰好经过40 h才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？
答案
解：
(1) 库存原料总质量为 $3×80=240\ \mathrm{t}$，
由题意得 $xy=240$，
结合实际条件每小时消耗原料量大于计划的3 t，可得y关于x的函数解析式为：
$y=\frac{240}{x}\quad (x＞3)$
(2) 为了使机器不停止运转，需满足库存原料可使用时间 $y\ge40$，
即 $\frac{240}{x}\ge40$，
$\because x＞3＞0$，不等式两边同乘x，不等号方向不变，
得 $240\ge40x$，
解得 $x\le6$，
结合 $x＞3$，可得 $3＜x\le6$。
答：x应控制在大于3 t且不大于6 t的范围内。
(1) 库存原料总质量为 $3×80=240\ \mathrm{t}$，
由题意得 $xy=240$，
结合实际条件每小时消耗原料量大于计划的3 t，可得y关于x的函数解析式为：
$y=\frac{240}{x}\quad (x＞3)$
(2) 为了使机器不停止运转，需满足库存原料可使用时间 $y\ge40$，
即 $\frac{240}{x}\ge40$，
$\because x＞3＞0$，不等式两边同乘x，不等号方向不变，
得 $240\ge40x$，
解得 $x\le6$，
结合 $x＞3$，可得 $3＜x\le6$。
答：x应控制在大于3 t且不大于6 t的范围内。
解析
【分析】
解决第(1)问：首先根据原计划的消耗速度和可使用时长算出库存原料总质量，再依据“每小时消耗原料量×可使用时间=原料总质量”的等量关系变形得到y与x的函数关系，结合“实际每小时消耗量大于计划的3t”的条件确定自变量x的取值范围。
解决第(2)问：要让机器不停止运转，说明原料可使用时间至少为40h，即y≥40，将函数解析式代入得到关于x的不等式，结合x＞3的前提解不等式，即可得到x的控制范围。
【解析】
(1) 计算库存原料总质量：$3×80=240\ \mathrm{t}$
根据总质量不变的等量关系可得 $xy=240$，变形为 $y=\frac{240}{x}$
由题意知实际每小时消耗原料量大于计划值，即$x＞3$，因此y关于x的函数解析式为：
$y=\frac{240}{x}\quad (x＞3)$
(2) 机器不停止运转需满足原料可使用时间$y\ge40$，代入解析式得：
$\frac{240}{x}\ge40$
$\because x＞3＞0$，不等式两边同时乘正数x，不等号方向不变，可得：
$240\ge40x$
解得$x\le6$，结合$x＞3$的条件，最终得$3＜x\le6$
【答案】
(1) $y=\frac{240}{x}\quad (x＞3)$
(2) x应控制在大于3t且不大于6t的范围内（或$3＜x\le6$）
【知识点】
反比例函数实际应用，解一元一次不等式，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生产场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住原料总质量不变的不变量建立函数关系，求解范围时要注意结合实际意义确定自变量的取值限制，避免忽略前提条件导致解集错误。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问：首先根据原计划的消耗速度和可使用时长算出库存原料总质量，再依据“每小时消耗原料量×可使用时间=原料总质量”的等量关系变形得到y与x的函数关系，结合“实际每小时消耗量大于计划的3t”的条件确定自变量x的取值范围。
解决第(2)问：要让机器不停止运转，说明原料可使用时间至少为40h，即y≥40，将函数解析式代入得到关于x的不等式，结合x＞3的前提解不等式，即可得到x的控制范围。
【解析】
(1) 计算库存原料总质量：$3×80=240\ \mathrm{t}$
根据总质量不变的等量关系可得 $xy=240$，变形为 $y=\frac{240}{x}$
由题意知实际每小时消耗原料量大于计划值，即$x＞3$，因此y关于x的函数解析式为：
$y=\frac{240}{x}\quad (x＞3)$
(2) 机器不停止运转需满足原料可使用时间$y\ge40$，代入解析式得：
$\frac{240}{x}\ge40$
$\because x＞3＞0$，不等式两边同时乘正数x，不等号方向不变，可得：
$240\ge40x$
解得$x\le6$，结合$x＞3$的条件，最终得$3＜x\le6$
【答案】
(1) $y=\frac{240}{x}\quad (x＞3)$
(2) x应控制在大于3t且不大于6t的范围内（或$3＜x\le6$）
【知识点】
反比例函数实际应用，解一元一次不等式，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生产场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住原料总质量不变的不变量建立函数关系，求解范围时要注意结合实际意义确定自变量的取值限制，避免忽略前提条件导致解集错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图,王先生想要用撬棍撬动一块大石头,已知阻力为1 600 N,阻力臂长为0.5 m.设动力为 y(单位:N),动力臂长为 x(单位:m).(杠杆平衡时,动力×动力臂=阻力×阻力臂,图中撬棍本身所受的重力略去不计)
(1)求 y 关于 x 的函数解析式;
(2)当动力臂长为 2 m 时,撬动石头至少需要多大的力?
(3)王先生若想使动力不超过 310 N,在动力臂最大为 2.5 m 的条件下,他能否撬动这块石头?请说明理由.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式;
(2)当动力臂长为 2 m 时,撬动石头至少需要多大的力?
(3)王先生若想使动力不超过 310 N,在动力臂最大为 2.5 m 的条件下,他能否撬动这块石头?请说明理由.
答案
解：
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂，可得
$ xy = 1600 × 0.5 = 800 $，
因此y关于x的函数解析式为 $ y = \frac{800}{x} \ (x＞0) $。
(2) 把 $ x=2 $ 代入 $ y = \frac{800}{x} $，得
$ y = \frac{800}{2} = 400 $。
即当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要400 N的力。
(3) 他不能撬动这块石头，理由如下：
当动力臂长取最大值2.5 m时，代入 $ y = \frac{800}{x} $，得
$ y = \frac{800}{2.5} = 320 \, \mathrm{N} $。
因为320 N ＞ 310 N，说明在动力臂最大为2.5 m的条件下，撬动石头最小需要320 N的力，超过了310 N，所以他不能撬动这块石头。
答：(1) y关于x的函数解析式为 $ y=\frac{800}{x}(x＞0) $；(2) 撬动石头至少需要400 N的力；(3) 他不能撬动这块石头。
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂，可得
$ xy = 1600 × 0.5 = 800 $，
因此y关于x的函数解析式为 $ y = \frac{800}{x} \ (x＞0) $。
(2) 把 $ x=2 $ 代入 $ y = \frac{800}{x} $，得
$ y = \frac{800}{2} = 400 $。
即当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要400 N的力。
(3) 他不能撬动这块石头，理由如下：
当动力臂长取最大值2.5 m时，代入 $ y = \frac{800}{x} $，得
$ y = \frac{800}{2.5} = 320 \, \mathrm{N} $。
因为320 N ＞ 310 N，说明在动力臂最大为2.5 m的条件下，撬动石头最小需要320 N的力，超过了310 N，所以他不能撬动这块石头。
答：(1) y关于x的函数解析式为 $ y=\frac{800}{x}(x＞0) $；(2) 撬动石头至少需要400 N的力；(3) 他不能撬动这块石头。
解析
【分析】
本题结合杠杆平衡原理考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
1. 第一问求函数解析式，直接利用杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，代入已知的阻力、阻力臂数值，整理即可得到y与x的函数关系式，注意动力臂长度为正数，要标注自变量的取值范围。
2. 第二问已知动力臂长度求动力，只需将x=2代入第一问得到的函数解析式，计算对应的y值即可。
3. 第三问判断能否撬动石头，先将最大动力臂x=2.5代入解析式，算出此时需要的最小动力，再和310N比较大小：若计算出的动力大于310N则不能撬动，反之则可以。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂，代入已知阻力1600N、阻力臂0.5m，可得：
$ xy = 1600 × 0.5 = 800 $
因此y关于x的函数解析式为 $ y = \frac{800}{x} \ (x＞0) $。
(2) 把 $ x=2 $ 代入 $ y = \frac{800}{x} $，得：
$ y = \frac{800}{2} = 400 $
即当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要400 N的力。
(3) 他不能撬动这块石头，理由如下：
当动力臂长取最大值2.5 m时，代入 $ y = \frac{800}{x} $，得：
$ y = \frac{800}{2.5} = 320 \, \mathrm{N} $
因为$ 320 \, \mathrm{N} ＞ 310 \, \mathrm{N} $，说明在动力臂最大为2.5 m的条件下，撬动石头最小需要320 N的力，超过了310 N，所以他不能撬动这块石头。
【答案】
(1) $ y=\frac{800}{x}(x＞0) $；
(2) 400 N；
(3) 不能撬动这块石头。
【知识点】
反比例函数应用，函数代入求值，数值比较
【点评】
本题结合生活实际场景，跨学科结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的应用，属于基础应用题，解题核心是准确根据等量关系列出函数解析式，结合题意代入数值计算分析即可。
【难度系数】
0.8
本题结合杠杆平衡原理考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
1. 第一问求函数解析式，直接利用杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，代入已知的阻力、阻力臂数值，整理即可得到y与x的函数关系式，注意动力臂长度为正数，要标注自变量的取值范围。
2. 第二问已知动力臂长度求动力，只需将x=2代入第一问得到的函数解析式，计算对应的y值即可。
3. 第三问判断能否撬动石头，先将最大动力臂x=2.5代入解析式，算出此时需要的最小动力，再和310N比较大小：若计算出的动力大于310N则不能撬动，反之则可以。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂，代入已知阻力1600N、阻力臂0.5m，可得：
$ xy = 1600 × 0.5 = 800 $
因此y关于x的函数解析式为 $ y = \frac{800}{x} \ (x＞0) $。
(2) 把 $ x=2 $ 代入 $ y = \frac{800}{x} $，得：
$ y = \frac{800}{2} = 400 $
即当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要400 N的力。
(3) 他不能撬动这块石头，理由如下：
当动力臂长取最大值2.5 m时，代入 $ y = \frac{800}{x} $，得：
$ y = \frac{800}{2.5} = 320 \, \mathrm{N} $
因为$ 320 \, \mathrm{N} ＞ 310 \, \mathrm{N} $，说明在动力臂最大为2.5 m的条件下，撬动石头最小需要320 N的力，超过了310 N，所以他不能撬动这块石头。
【答案】
(1) $ y=\frac{800}{x}(x＞0) $；
(2) 400 N；
(3) 不能撬动这块石头。
【知识点】
反比例函数应用，函数代入求值，数值比较
【点评】
本题结合生活实际场景，跨学科结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的应用，属于基础应用题，解题核心是准确根据等量关系列出函数解析式，结合题意代入数值计算分析即可。
【难度系数】
0.8
