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3.当温度不变时,某气球内的气压$P$(单位:kPa)与气体体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压$P＞120$ kPa时,气球将会爆炸,为了安全起见,气球的体积$V$应()
A.不大于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
B.大于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
C.不小于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
D.小于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
A.不大于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
B.大于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
C.不小于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
D.小于$\frac{4}{5}$ $\mathrm{m}^3$
答案
C
解析
【分析】
温度不变时，气球内气压P与体积V成反比例关系，解题步骤如下：第一步，设反比例函数解析式$P=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$；第二步，将图像上已知点$(1.6,60)$代入解析式，求出常数k，得到P与V的函数关系；第三步，根据安全要求$P≤120\mathrm{kPa}$，代入解析式解不等式，结合反比例函数在第一象限P随V增大而减小的性质，即可得到体积V的安全范围。
【解析】
设P与V的函数解析式为$P=\frac{k}{V}$（$k≠0$，且$V＞0$）。
将$V=1.6\mathrm{m}^3$，$P=60\mathrm{kPa}$代入解析式，得：
$60=\frac{k}{1.6}$，解得$k=60×1.6=96$，
因此函数解析式为$P=\frac{96}{V}(V＞0)$。
根据题意，气球安全的条件为$P≤120\mathrm{kPa}$，代入解析式得：
$\frac{96}{V}≤120$，
由于体积$V＞0$，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，得：
$96≤120V$，
解得$V≥\frac{96}{120}=\frac{4}{5}\mathrm{m}^3$，即气球体积不小于$\frac{4}{5}\mathrm{m}^3$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活安全场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再结合限制条件求解变量的取值范围，解题时需注意实际问题中变量的取值为正数，避免解不等式时出错。
【难度系数】
0.7
温度不变时，气球内气压P与体积V成反比例关系，解题步骤如下：第一步，设反比例函数解析式$P=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$；第二步，将图像上已知点$(1.6,60)$代入解析式，求出常数k，得到P与V的函数关系；第三步，根据安全要求$P≤120\mathrm{kPa}$，代入解析式解不等式，结合反比例函数在第一象限P随V增大而减小的性质，即可得到体积V的安全范围。
【解析】
设P与V的函数解析式为$P=\frac{k}{V}$（$k≠0$，且$V＞0$）。
将$V=1.6\mathrm{m}^3$，$P=60\mathrm{kPa}$代入解析式，得：
$60=\frac{k}{1.6}$，解得$k=60×1.6=96$，
因此函数解析式为$P=\frac{96}{V}(V＞0)$。
根据题意，气球安全的条件为$P≤120\mathrm{kPa}$，代入解析式得：
$\frac{96}{V}≤120$，
由于体积$V＞0$，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，得：
$96≤120V$，
解得$V≥\frac{96}{120}=\frac{4}{5}\mathrm{m}^3$，即气球体积不小于$\frac{4}{5}\mathrm{m}^3$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活安全场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再结合限制条件求解变量的取值范围，解题时需注意实际问题中变量的取值为正数，避免解不等式时出错。
【难度系数】
0.7
4.图为某公园“水上滑梯”的侧面图，点A在y轴上，点D在x轴上，BC段可看成是一段双曲线，过点B作BE⊥x轴于点E，其中OA=5 m，入口处AB//OD，且AB=2 m，出口处C距水面的距离CD为1 m，则B，C之间的水平距离DE的长度为（）
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
答案
D
解析
【分析】
要计算DE的长度，我们可以先确定BC段对应的反比例函数解析式，再结合C点的纵坐标求出C点的横坐标，最后用C点的横坐标减去B点的横坐标即可得到DE的长。首先根据已知的OA、AB长度确定点B的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式，接着根据CD的长度得到C点纵坐标，代入解析式求出C点横坐标，最后作差得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AB//OD，OA=5m，AB=2m，BE⊥x轴，
∴四边形OABE是矩形，
∴OE=AB=2m，BE=OA=5m，即点B的坐标为$(2,5)$。
设BC段双曲线对应的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$k≠0$），
将$B(2,5)$代入解析式得：$5=\frac{k}{2}$，解得$k=10$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
由题意知出口C距水面距离CD=1m，即C点的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\frac{10}{x}$得：$1=\frac{10}{x}$，解得$x=10$，即OD=10m，
∴$DE=OD-OE=10-2=8(\mathrm{m})$。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题的关键是从实际图形中提取有效坐标信息，求出函数解析式后再代入对应值求解，属于基础应用类题目，需要熟练掌握反比例函数的基本性质和待定系数法的用法。
【难度系数】
0.7
要计算DE的长度，我们可以先确定BC段对应的反比例函数解析式，再结合C点的纵坐标求出C点的横坐标，最后用C点的横坐标减去B点的横坐标即可得到DE的长。首先根据已知的OA、AB长度确定点B的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式，接着根据CD的长度得到C点纵坐标，代入解析式求出C点横坐标，最后作差得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AB//OD，OA=5m，AB=2m，BE⊥x轴，
∴四边形OABE是矩形，
∴OE=AB=2m，BE=OA=5m，即点B的坐标为$(2,5)$。
设BC段双曲线对应的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$k≠0$），
将$B(2,5)$代入解析式得：$5=\frac{k}{2}$，解得$k=10$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
由题意知出口C距水面距离CD=1m，即C点的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\frac{10}{x}$得：$1=\frac{10}{x}$，解得$x=10$，即OD=10m，
∴$DE=OD-OE=10-2=8(\mathrm{m})$。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题的关键是从实际图形中提取有效坐标信息，求出函数解析式后再代入对应值求解，属于基础应用类题目，需要熟练掌握反比例函数的基本性质和待定系数法的用法。
【难度系数】
0.7
5.九年级甲、乙、丙、丁四个班级举行了知识竞赛，如图，在平面直角坐标系中，x轴表示班级参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该班级优秀人数与该班级参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则关于这四个班级在知识竞赛中成绩优秀人数的比较，正确的是（）
A.甲＞乙＞丙＞丁
B.丙＞甲=丁＞乙
C.甲=丁＞乙＞丙
D.乙＞甲=丁＞丙
A.甲＞乙＞丙＞丁
B.丙＞甲=丁＞乙
C.甲=丁＞乙＞丙
D.乙＞甲=丁＞丙
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确优秀人数的计算方式：优秀人数=班级参赛人数×竞赛优秀率，对应坐标系中就是每个点的横坐标x与纵坐标y的乘积xy。已知甲、丁在同一反比例函数图象上，根据反比例函数性质，反比例函数$y=\frac{k}{x}$上任意点的横纵坐标乘积为定值k，可先得出甲、丁优秀人数相等。再观察乙、丙的位置：在反比例函数图象上方的点，横纵坐标乘积大于k；在图象下方的点，横纵坐标乘积小于k，依此就能排出四个班级优秀人数的大小顺序。
【解析】
解：设甲、丁两点所在的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k＞0 $，参赛人数x、优秀率y均为正数）。
根据反比例函数性质，图象上任意点(x,y)都满足$ xy=k $：
1. 甲、丁在该反比例函数图象上，因此$ x_甲y_甲=k $，$ x_丁y_丁=k $，即甲、丁两班优秀人数相等，均为k。
2. 乙点在反比例函数图象上方：对乙的横坐标$ x_乙 $，对应反比例函数上的点的纵坐标为$ \frac{k}{x_乙} $，由图可知$ y_乙＞\frac{k}{x_乙} $，两边同时乘正数$ x_乙 $得$ x_乙y_乙＞k $，即乙班优秀人数大于k。
3. 丙点在反比例函数图象下方：对丙的横坐标$ x_丙 $，对应反比例函数上的点的纵坐标为$ \frac{k}{x_丙} $，由图可知$ y_丙＜\frac{k}{x_丙} $，两边同时乘正数$ x_丙 $得$ x_丙y_丙＜k $，即丙班优秀人数小于k。
综上，四个班级优秀人数的大小关系为：乙＞甲=丁＞丙，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质；反比例函数应用；函数图象含义
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是将优秀人数转化为点的横纵坐标乘积，结合反比例函数$k=xy$的性质即可快速求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确优秀人数的计算方式：优秀人数=班级参赛人数×竞赛优秀率，对应坐标系中就是每个点的横坐标x与纵坐标y的乘积xy。已知甲、丁在同一反比例函数图象上，根据反比例函数性质，反比例函数$y=\frac{k}{x}$上任意点的横纵坐标乘积为定值k，可先得出甲、丁优秀人数相等。再观察乙、丙的位置：在反比例函数图象上方的点，横纵坐标乘积大于k；在图象下方的点，横纵坐标乘积小于k，依此就能排出四个班级优秀人数的大小顺序。
【解析】
解：设甲、丁两点所在的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k＞0 $，参赛人数x、优秀率y均为正数）。
根据反比例函数性质，图象上任意点(x,y)都满足$ xy=k $：
1. 甲、丁在该反比例函数图象上，因此$ x_甲y_甲=k $，$ x_丁y_丁=k $，即甲、丁两班优秀人数相等，均为k。
2. 乙点在反比例函数图象上方：对乙的横坐标$ x_乙 $，对应反比例函数上的点的纵坐标为$ \frac{k}{x_乙} $，由图可知$ y_乙＞\frac{k}{x_乙} $，两边同时乘正数$ x_乙 $得$ x_乙y_乙＞k $，即乙班优秀人数大于k。
3. 丙点在反比例函数图象下方：对丙的横坐标$ x_丙 $，对应反比例函数上的点的纵坐标为$ \frac{k}{x_丙} $，由图可知$ y_丙＜\frac{k}{x_丙} $，两边同时乘正数$ x_丙 $得$ x_丙y_丙＜k $，即丙班优秀人数小于k。
综上，四个班级优秀人数的大小关系为：乙＞甲=丁＞丙，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质；反比例函数应用；函数图象含义
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是将优秀人数转化为点的横纵坐标乘积，结合反比例函数$k=xy$的性质即可快速求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
6.某工厂自1月开始限产进行治污改造，其月利润y(单位：万元)与月份x之间的函数关系如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列说法错误的是()
A.4月份的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D.9月份该厂利润达到200万元
A.4月份的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D.9月份该厂利润达到200万元
答案
C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需先求出两个阶段的函数解析式：首先治污完成前（1≤x≤4）为反比例函数，已知过点(1,200)，用待定系数法求出反比例解析式，可得4月份的利润；再结合4月和(6,110)两点求出治污完成后（x≥4）的一次函数解析式，最后结合两个解析式逐一验证选项即可。
【解析】
1. 求治污完成前的反比例函数解析式
设反比例函数为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，将点(1,200)代入得：
$ 200=\frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即反比例解析式为$ y=\frac{200}{x}(1≤ x≤4) $。
当$ x=4 $时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，即4月份利润为50万元，A选项正确。
2. 求治污完成后的一次函数解析式
设一次函数为$ y=ax+b(a≠0) $，将(4,50)、(6,110)代入得：
$\begin{cases}4a+b=50 \\6a+b=110\end{cases}$
两式相减得$ 2a=60 $，解得$ a=30 $，代入得$ b=-70 $，即一次函数解析式为$ y=30x-70(x≥4) $。
一次函数斜率为30，说明改造完成后每月利润比前一个月增加30万元，B选项正确。
3. 验证C选项
先看反比例阶段：令$ y＜100 $，即$ \frac{200}{x}＜100 $，解得$ x＞2 $，x为正整数且1≤x≤4，故x=3、4时利润低于100万；
再看一次函数阶段：令$ y＜100 $，即$ 30x-70＜100 $，解得$ x＜\frac{17}{3}\approx5.67 $，x为正整数且x≥4，故x=5时利润低于100万。
综上，利润低于100万的月份为3月、4月、5月，共3个月，C选项错误。
4. 验证D选项
当x=9时，代入一次函数得$ y=30×9-70=200 $，即9月份利润达到200万元，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生产实际考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题核心是通过待定系数法求出对应阶段的函数解析式，再结合函数性质分析数值，需注意x代表月份为正整数的实际限制。
【难度系数】
0.65
要判断各选项的正误，需先求出两个阶段的函数解析式：首先治污完成前（1≤x≤4）为反比例函数，已知过点(1,200)，用待定系数法求出反比例解析式，可得4月份的利润；再结合4月和(6,110)两点求出治污完成后（x≥4）的一次函数解析式，最后结合两个解析式逐一验证选项即可。
【解析】
1. 求治污完成前的反比例函数解析式
设反比例函数为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，将点(1,200)代入得：
$ 200=\frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即反比例解析式为$ y=\frac{200}{x}(1≤ x≤4) $。
当$ x=4 $时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，即4月份利润为50万元，A选项正确。
2. 求治污完成后的一次函数解析式
设一次函数为$ y=ax+b(a≠0) $，将(4,50)、(6,110)代入得：
$\begin{cases}4a+b=50 \\6a+b=110\end{cases}$
两式相减得$ 2a=60 $，解得$ a=30 $，代入得$ b=-70 $，即一次函数解析式为$ y=30x-70(x≥4) $。
一次函数斜率为30，说明改造完成后每月利润比前一个月增加30万元，B选项正确。
3. 验证C选项
先看反比例阶段：令$ y＜100 $，即$ \frac{200}{x}＜100 $，解得$ x＞2 $，x为正整数且1≤x≤4，故x=3、4时利润低于100万；
再看一次函数阶段：令$ y＜100 $，即$ 30x-70＜100 $，解得$ x＜\frac{17}{3}\approx5.67 $，x为正整数且x≥4，故x=5时利润低于100万。
综上，利润低于100万的月份为3月、4月、5月，共3个月，C选项错误。
4. 验证D选项
当x=9时，代入一次函数得$ y=30×9-70=200 $，即9月份利润达到200万元，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生产实际考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题核心是通过待定系数法求出对应阶段的函数解析式，再结合函数性质分析数值，需注意x代表月份为正整数的实际限制。
【难度系数】
0.65
7.某厂冬天储存了一定数量的煤,每天所用煤的吨数$y$(单位:t)与所用的天数$x$(单位:天)满足函数关系式$y=\frac{k}{x}$,如图,其图象是一段曲线,且端点为$A(100,0.5),B(m,0.25)$.
(1)求$k,m$的值;
(2)若储存的煤所用的时间不超过160天,求每天最少要用多少吨煤?
(1)求$k,m$的值;
(2)若储存的煤所用的时间不超过160天,求每天最少要用多少吨煤?
答案
解：
(1) 将点$A(100, 0.5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$0.5 = \frac{k}{100}$，
解得$k=50$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{50}{x}$。
将点$B(m, 0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得
$0.25 = \frac{50}{m}$，
解得$m=200$。
(2) 由题意得$x ≤ 160$，
∵在$y=\frac{50}{x}$中，$k=50＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=160$时，$y$取得最小值，
将$x=160$代入$y=\frac{50}{x}$，得$y=\frac{50}{160}=0.3125$。
答：(1)$k$的值为50，$m$的值为200；(2)每天最少要用0.3125吨煤。
(1) 将点$A(100, 0.5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$0.5 = \frac{k}{100}$，
解得$k=50$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{50}{x}$。
将点$B(m, 0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得
$0.25 = \frac{50}{m}$，
解得$m=200$。
(2) 由题意得$x ≤ 160$，
∵在$y=\frac{50}{x}$中，$k=50＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=160$时，$y$取得最小值，
将$x=160$代入$y=\frac{50}{x}$，得$y=\frac{50}{160}=0.3125$。
答：(1)$k$的值为50，$m$的值为200；(2)每天最少要用0.3125吨煤。
解析
【分析】
(1) 若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此先将点A的坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值，得到完整的反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入函数表达式，就能求出m的值。
(2) 题目要求储存的煤所用时间不超过160天，即自变量$x≤160$。结合反比例函数的增减性，当$k＞0$时，$x＞0$区间内y随x的增大而减小，因此当x取最大值160时，y取得最小值，代入函数计算即可得到每天最少用煤量。
【解析】
(1) 将点$A(100, 0.5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$0.5 = \frac{k}{100}$
解得$k=50$，因此反比例函数的解析式为$y=\frac{50}{x}$。
将点$B(m, 0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得：
$0.25 = \frac{50}{m}$
解得$m=200$。
(2) 由题意得所用天数满足$x ≤ 160$，
在反比例函数$y=\frac{50}{x}$中，$k=50＞0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
则当$x$取最大值160时，$y$取得最小值，将$x=160$代入$y=\frac{50}{x}$得：
$y=\frac{50}{160}=0.3125$。
【答案】
(1)$k$的值为50，$m$的值为200；(2)每天最少要用0.3125吨煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活储煤场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式，同时能结合反比例函数的增减性求解最值，解题时要注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
(1) 若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此先将点A的坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值，得到完整的反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入函数表达式，就能求出m的值。
(2) 题目要求储存的煤所用时间不超过160天，即自变量$x≤160$。结合反比例函数的增减性，当$k＞0$时，$x＞0$区间内y随x的增大而减小，因此当x取最大值160时，y取得最小值，代入函数计算即可得到每天最少用煤量。
【解析】
(1) 将点$A(100, 0.5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$0.5 = \frac{k}{100}$
解得$k=50$，因此反比例函数的解析式为$y=\frac{50}{x}$。
将点$B(m, 0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得：
$0.25 = \frac{50}{m}$
解得$m=200$。
(2) 由题意得所用天数满足$x ≤ 160$，
在反比例函数$y=\frac{50}{x}$中，$k=50＞0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
则当$x$取最大值160时，$y$取得最小值，将$x=160$代入$y=\frac{50}{x}$得：
$y=\frac{50}{160}=0.3125$。
【答案】
(1)$k$的值为50，$m$的值为200；(2)每天最少要用0.3125吨煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活储煤场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式，同时能结合反比例函数的增减性求解最值，解题时要注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
