登录
8.在特定的温度下,活塞式气缸内充满一定量的气体,该容器内气体的压强p(单位:kPa)是气体体积V(单位:mL)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)求压强p与气体体积V之间的函数解析式;
(2)若容器内气体的压强由500 kPa减至200 kPa,那么气体的体积增加了多少?
(1)求压强p与气体体积V之间的函数解析式;
(2)若容器内气体的压强由500 kPa减至200 kPa,那么气体的体积增加了多少?
答案
解：
(1) 设压强$p$与气体体积$V$的函数解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
将点$(30,200)$代入解析式，得：
$200=\frac{k}{30}$
解得$k=6000$。
∴压强$p$与气体体积$V$之间的函数解析式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$。
(2) 当$p=500\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{500}=12\ \mathrm{mL}$
当$p=200\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{200}=30\ \mathrm{mL}$
气体体积增加量为$30-12=18\ \mathrm{mL}$。
答：气体的体积增加了18 mL。
(1) 设压强$p$与气体体积$V$的函数解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
将点$(30,200)$代入解析式，得：
$200=\frac{k}{30}$
解得$k=6000$。
∴压强$p$与气体体积$V$之间的函数解析式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$。
(2) 当$p=500\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{500}=12\ \mathrm{mL}$
当$p=200\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{200}=30\ \mathrm{mL}$
气体体积增加量为$30-12=18\ \mathrm{mL}$。
答：气体的体积增加了18 mL。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明压强p是气体体积V的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}(k≠0)$，再将图像上已知点$(30,200)$代入解析式，即可求出待定系数k，结合实际问题中气体体积为正数，补充自变量V的取值范围，即可得到函数解析式。
(2) 要计算气体体积的增加量，需先分别求出压强为500kPa、200kPa时对应的气体体积，将两个压强值分别代入第(1)问求出的解析式，算出对应的V值后作差，即可得到体积增加量。
【解析】
(1) 设压强$p$与气体体积$V$的函数解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
将点$(30,200)$代入解析式，得：
$200=\frac{k}{30}$
解得$k=6000$。
∴压强$p$与气体体积$V$之间的函数解析式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$。
(2) 当$p=500\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{500}=12\ \mathrm{mL}$
当$p=200\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{200}=30\ \mathrm{mL}$
气体体积增加量为$30-12=18\ \mathrm{mL}$。
【答案】
(1) $p=\frac{6000}{V}(V＞0)$；(2) $18\ \mathrm{mL}$
【知识点】
待定系数法，反比例函数应用，代入求值
【点评】
本题结合物理中气体压强与体积的实际场景考查反比例函数的相关知识，重点考查学生利用反比例函数基础知识解决实际问题的能力，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明压强p是气体体积V的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}(k≠0)$，再将图像上已知点$(30,200)$代入解析式，即可求出待定系数k，结合实际问题中气体体积为正数，补充自变量V的取值范围，即可得到函数解析式。
(2) 要计算气体体积的增加量，需先分别求出压强为500kPa、200kPa时对应的气体体积，将两个压强值分别代入第(1)问求出的解析式，算出对应的V值后作差，即可得到体积增加量。
【解析】
(1) 设压强$p$与气体体积$V$的函数解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
将点$(30,200)$代入解析式，得：
$200=\frac{k}{30}$
解得$k=6000$。
∴压强$p$与气体体积$V$之间的函数解析式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$。
(2) 当$p=500\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{500}=12\ \mathrm{mL}$
当$p=200\ \mathrm{kPa}$时，代入$p=\frac{6000}{V}$，得：
$V=\frac{6000}{200}=30\ \mathrm{mL}$
气体体积增加量为$30-12=18\ \mathrm{mL}$。
【答案】
(1) $p=\frac{6000}{V}(V＞0)$；(2) $18\ \mathrm{mL}$
【知识点】
待定系数法，反比例函数应用，代入求值
【点评】
本题结合物理中气体压强与体积的实际场景考查反比例函数的相关知识，重点考查学生利用反比例函数基础知识解决实际问题的能力，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
9.某团队通过实验研究发现初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标$y$随时间$x$(单位:$\mathrm{min}$)变化的函数图象如图所示，当$0≤x＜10$和$10≤x＜20$时，图象是线段；当$20≤x≤45$时，图象是反比例函数的一部分.
(1)求点$A$对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要$17\ \mathrm{min}$，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由.
(1)求点$A$对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要$17\ \mathrm{min}$，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由.
答案
解：
(1) 当$20≤ x≤45$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(20,45)$代入得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，
即反比例函数解析式为$y=\frac{900}{x}$。
把$x=45$代入$y=\frac{900}{x}$，得$y=\frac{900}{45}=20$，
∴点$D$的坐标为$(45,20)$，
由图象可知点$A$的纵坐标与点$D$的纵坐标相等，
∴点$A$对应的指标值为20。
(2) 能，理由如下：
当$0≤ x＜10$时，设线段$AB$的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\10a+b=45\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=20\end{cases}$，
∴线段$AB$的解析式为$y=\frac{5}{2}x+20\ (0≤ x＜10)$。
令$y=36$，代入$y=\frac{5}{2}x+20$，得$\frac{5}{2}x+20=36$，解得$x=6.4$。
令$y=36$，代入$y=\frac{900}{x}$，得$36=\frac{900}{x}$，解得$x=25$。
因此注意力指标不低于36对应的时间区间为$6.4≤ x≤25$，
该区间的时长为$25-6.4=18.6\ \mathrm{min}$，
∵$18.6＞17$，
∴存在满足要求的时间安排。
答：(1) 点A对应的指标值为20；(2) 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
(1) 当$20≤ x≤45$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(20,45)$代入得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，
即反比例函数解析式为$y=\frac{900}{x}$。
把$x=45$代入$y=\frac{900}{x}$，得$y=\frac{900}{45}=20$，
∴点$D$的坐标为$(45,20)$，
由图象可知点$A$的纵坐标与点$D$的纵坐标相等，
∴点$A$对应的指标值为20。
(2) 能，理由如下：
当$0≤ x＜10$时，设线段$AB$的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\10a+b=45\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=20\end{cases}$，
∴线段$AB$的解析式为$y=\frac{5}{2}x+20\ (0≤ x＜10)$。
令$y=36$，代入$y=\frac{5}{2}x+20$，得$\frac{5}{2}x+20=36$，解得$x=6.4$。
令$y=36$，代入$y=\frac{900}{x}$，得$36=\frac{900}{x}$，解得$x=25$。
因此注意力指标不低于36对应的时间区间为$6.4≤ x≤25$，
该区间的时长为$25-6.4=18.6\ \mathrm{min}$，
∵$18.6＞17$，
∴存在满足要求的时间安排。
答：(1) 点A对应的指标值为20；(2) 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
解析
【分析】
(1) 要求点A的指标值，观察图象可知点A与点D纵坐标相等，因此先求点D的纵坐标。已知$20≤x≤45$时函数为反比例函数，且过点$C(20,45)$，先代入点C坐标求出反比例函数解析式，再将$x=45$代入解析式即可得到点D的纵坐标，也就是点A的指标值。
(2) 要判断能否安排17分钟讲解使注意力指标不低于36，需先求出注意力指标≥36对应的时间范围：先求出$0≤x＜10$时线段AB的一次函数解析式，分别令一次函数和反比例函数的函数值为36，解出对应的自变量x的值，得到符合要求的时间区间，计算区间时长后和17min比较，若时长大于17则可以安排。
【解析】
(1) 当$20≤ x≤45$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(20,45)$代入得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，
即反比例函数解析式为$y=\frac{900}{x}$。
把$x=45$代入$y=\frac{900}{x}$，得$y=\frac{900}{45}=20$，
∴点$D$的坐标为$(45,20)$，
由图象可知点$A$的纵坐标与点$D$的纵坐标相等，
∴点$A$对应的指标值为20。
(2) 能，理由如下：
当$0≤ x＜10$时，设线段$AB$的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\10a+b=45\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=20\end{cases}$，
∴线段$AB$的解析式为$y=\frac{5}{2}x+20\ (0≤ x＜10)$。
令$y=36$，代入$y=\frac{5}{2}x+20$，得$\frac{5}{2}x+20=36$，解得$x=6.4$。
令$y=36$，代入$y=\frac{900}{x}$，得$36=\frac{900}{x}$，解得$x=25$。
因此注意力指标不低于36对应的时间区间为$6.4≤ x≤25$，
该区间的时长为$25-6.4=18.6\ \mathrm{min}$，
∵$18.6＞17$，
∴存在满足要求的时间安排。
【答案】
(1) 点A对应的指标值为20；
(2) 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
【知识点】
反比例函数应用，一次函数应用，函数图象分析
【点评】
本题结合学生上课注意力变化的实际情境，考查一次函数与反比例函数的综合应用，要求学生掌握函数解析式的求解方法，能结合函数值求解对应自变量的取值范围，进而解决实际问题，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 要求点A的指标值，观察图象可知点A与点D纵坐标相等，因此先求点D的纵坐标。已知$20≤x≤45$时函数为反比例函数，且过点$C(20,45)$，先代入点C坐标求出反比例函数解析式，再将$x=45$代入解析式即可得到点D的纵坐标，也就是点A的指标值。
(2) 要判断能否安排17分钟讲解使注意力指标不低于36，需先求出注意力指标≥36对应的时间范围：先求出$0≤x＜10$时线段AB的一次函数解析式，分别令一次函数和反比例函数的函数值为36，解出对应的自变量x的值，得到符合要求的时间区间，计算区间时长后和17min比较，若时长大于17则可以安排。
【解析】
(1) 当$20≤ x≤45$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(20,45)$代入得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，
即反比例函数解析式为$y=\frac{900}{x}$。
把$x=45$代入$y=\frac{900}{x}$，得$y=\frac{900}{45}=20$，
∴点$D$的坐标为$(45,20)$，
由图象可知点$A$的纵坐标与点$D$的纵坐标相等，
∴点$A$对应的指标值为20。
(2) 能，理由如下：
当$0≤ x＜10$时，设线段$AB$的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\10a+b=45\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=20\end{cases}$，
∴线段$AB$的解析式为$y=\frac{5}{2}x+20\ (0≤ x＜10)$。
令$y=36$，代入$y=\frac{5}{2}x+20$，得$\frac{5}{2}x+20=36$，解得$x=6.4$。
令$y=36$，代入$y=\frac{900}{x}$，得$36=\frac{900}{x}$，解得$x=25$。
因此注意力指标不低于36对应的时间区间为$6.4≤ x≤25$，
该区间的时长为$25-6.4=18.6\ \mathrm{min}$，
∵$18.6＞17$，
∴存在满足要求的时间安排。
【答案】
(1) 点A对应的指标值为20；
(2) 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
【知识点】
反比例函数应用，一次函数应用，函数图象分析
【点评】
本题结合学生上课注意力变化的实际情境，考查一次函数与反比例函数的综合应用，要求学生掌握函数解析式的求解方法，能结合函数值求解对应自变量的取值范围，进而解决实际问题，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
