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如图3-12，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是$65°$.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装多少台这样的监视器？
答案
3台
解析
【分析】
解题时首先将监视器的监控角转化为数学中的圆周角，根据圆周角定理求出该圆周角所对弧的圆心角度数，即单台监视器可覆盖的对应圆弧的度数，再用圆周总度数除以单台覆盖的弧度数，结合实际情况取整数，即可得到最少需要的监视器台数。
【解析】
解：根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。
已知监视器的监控角度为65°（圆周角），则它所对的弧对应的圆心角为：
$2×65°=130°$，即1台监视器最多可监控对应圆心角为130°的圆弧范围。
整个圆周的圆心角为$360°$，计算所需台数：$360°÷130°\approx2.77$。
由于监视器台数为正整数，2台监视器最多可覆盖$2×130°=260°＜360°$，无法覆盖整个展厅，因此最少需要3台。
【答案】
3台
【知识点】
圆周角定理、实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查圆周角定理的应用，解题核心是将实际监控范围转化为对应的圆弧度数，需要注意结果需符合实际需求，不能直接四舍五入，要采用进一法得到符合要求的整数解。
【难度系数】
0.7
解题时首先将监视器的监控角转化为数学中的圆周角，根据圆周角定理求出该圆周角所对弧的圆心角度数，即单台监视器可覆盖的对应圆弧的度数，再用圆周总度数除以单台覆盖的弧度数，结合实际情况取整数，即可得到最少需要的监视器台数。
【解析】
解：根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。
已知监视器的监控角度为65°（圆周角），则它所对的弧对应的圆心角为：
$2×65°=130°$，即1台监视器最多可监控对应圆心角为130°的圆弧范围。
整个圆周的圆心角为$360°$，计算所需台数：$360°÷130°\approx2.77$。
由于监视器台数为正整数，2台监视器最多可覆盖$2×130°=260°＜360°$，无法覆盖整个展厅，因此最少需要3台。
【答案】
3台
【知识点】
圆周角定理、实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查圆周角定理的应用，解题核心是将实际监控范围转化为对应的圆弧度数，需要注意结果需符合实际需求，不能直接四舍五入，要采用进一法得到符合要求的整数解。
【难度系数】
0.7
例1 如图3-13，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，∠ACO=40°，求∠B的度数.
答案
解 $\because OC=OA,\therefore ∠ CAO=∠ ACO=40°.\therefore ∠ AOC=180°-2×40°=100°.\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC=50°$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，OC、OA均为⊙O的半径，因此两条线段长度相等，可推出△OAC为等腰三角形，结合已知∠ACO=40°，利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理可求出圆心角∠AOC的度数；再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠B和∠AOC都对应弧AC，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ OC、OA都是⊙O的半径，
∴ OC=OA，
∴ ∠CAO=∠ACO=40°，
在△AOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ AOC=180°-∠ CAO-∠ ACO=180°-2×40°=100°$，
又
∵ ∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是先利用半径相等得到等腰三角形，求出对应圆心角的度数，再结合圆周角定理得到圆周角的度数，熟练掌握同弧所对圆周角和圆心角的数量关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，OC、OA均为⊙O的半径，因此两条线段长度相等，可推出△OAC为等腰三角形，结合已知∠ACO=40°，利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理可求出圆心角∠AOC的度数；再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠B和∠AOC都对应弧AC，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ OC、OA都是⊙O的半径，
∴ OC=OA，
∴ ∠CAO=∠ACO=40°，
在△AOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ AOC=180°-∠ CAO-∠ ACO=180°-2×40°=100°$，
又
∵ ∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是先利用半径相等得到等腰三角形，求出对应圆心角的度数，再结合圆周角定理得到圆周角的度数，熟练掌握同弧所对圆周角和圆心角的数量关系是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
例2 如图3-14，在$\odot O$中，弦AB，CD的延长线相交于点P，且$DA=DP$. 求证：$BC=BP$.
图3-14
图3-14
答案
证明 $\because DA=DP,\therefore ∠ A=∠ P.$ 又 $\because ∠ A=∠ C,\therefore ∠ P=∠ C. \therefore BC=BP$
解析
【分析】要证$BC=BP$，可根据等腰三角形“等角对等边”的判定，先证$∠P=∠C$。首先由已知$DA=DP$，利用等腰三角形“等边对等角”的性质可得$∠A=∠P$；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得同对弧$BD$的圆周角$∠A=∠C$；通过等量代换得到$∠P=∠C$，即可推出$BC=BP$。
【解析】
证明：
$\because DA=DP$，
$\therefore ∠A=∠P$（等边对等角），
$\because ∠A$和$∠C$都是$\odot O$中弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠A=∠C$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠P=∠C$（等量代换），
$\therefore BC=BP$（等角对等边）。
【答案】
证明：$\because DA=DP,\therefore ∠A=∠P$，又$\because ∠A=∠C,\therefore ∠P=∠C,\therefore BC=BP$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；圆周角定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，解题核心是利用圆周角定理完成角的等量代换，再结合等腰三角形的性质和判定即可得证，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
【解析】
证明：
$\because DA=DP$，
$\therefore ∠A=∠P$（等边对等角），
$\because ∠A$和$∠C$都是$\odot O$中弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠A=∠C$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠P=∠C$（等量代换），
$\therefore BC=BP$（等角对等边）。
【答案】
证明：$\because DA=DP,\therefore ∠A=∠P$，又$\because ∠A=∠C,\therefore ∠P=∠C,\therefore BC=BP$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；圆周角定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，解题核心是利用圆周角定理完成角的等量代换，再结合等腰三角形的性质和判定即可得证，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
1. 填空题：
（1）如图，点A,B,C,D在$\odot O$上，点E在$\odot O$内，点F在$\odot O$外，写出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角：
（2）如图，在$\odot O$中，AB是$\odot O$的直径，$∠ AOC=120°$，则$∠ D=$
（3）如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ B=65°$，则$∠ A=$
（1）如图，点A,B,C,D在$\odot O$上，点E在$\odot O$内，点F在$\odot O$外，写出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角：
$∠ C,∠ D$
；（2）如图，在$\odot O$中，AB是$\odot O$的直径，$∠ AOC=120°$，则$∠ D=$
30
°；（3）如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ B=65°$，则$∠ A=$
50
°；答案
(1) $∠ C,∠ D$ (2) 30 (3) 50
解析
【分析】
（1）解题前先回忆圆周角的定义：顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角。要找$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，只要找顶点在$\odot O$上，两条边分别经过A、B两点的角即可。
（2）本题可以先根据平角的性质求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ D$的度数。
（3）首先根据“同圆中相等的弧所对的圆周角相等”，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可得$∠ C=∠ B$，再结合三角形内角和为180°，就能计算出$∠ A$的度数。
【解析】
（1）根据圆周角的定义，顶点在圆上、两边与圆相交且对着$\overset{\frown}{AB}$的角为$∠ C$和$∠ D$，因此$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是$∠ C,∠D$。
（2）
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
已知$∠ AOC=120°$，
∴$∠ BOC=180°-120°=60°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
（3）
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角相等，即$∠ C=∠ B=65°$，
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
∴$∠ A=180°-65°-65°=50°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠C,∠D}$；（2）$\boldsymbol{30}$；（3）$\boldsymbol{50}$
【知识点】
圆周角定义；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，侧重考查对基础概念和定理的理解应用，解题时只需结合对应性质逐步推导即可，掌握圆周角和圆心角的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）解题前先回忆圆周角的定义：顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角。要找$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，只要找顶点在$\odot O$上，两条边分别经过A、B两点的角即可。
（2）本题可以先根据平角的性质求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ D$的度数。
（3）首先根据“同圆中相等的弧所对的圆周角相等”，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可得$∠ C=∠ B$，再结合三角形内角和为180°，就能计算出$∠ A$的度数。
【解析】
（1）根据圆周角的定义，顶点在圆上、两边与圆相交且对着$\overset{\frown}{AB}$的角为$∠ C$和$∠ D$，因此$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是$∠ C,∠D$。
（2）
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
已知$∠ AOC=120°$，
∴$∠ BOC=180°-120°=60°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
（3）
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角相等，即$∠ C=∠ B=65°$，
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
∴$∠ A=180°-65°-65°=50°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠C,∠D}$；（2）$\boldsymbol{30}$；（3）$\boldsymbol{50}$
【知识点】
圆周角定义；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，侧重考查对基础概念和定理的理解应用，解题时只需结合对应性质逐步推导即可，掌握圆周角和圆心角的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
