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(1) 如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A,B,O是小正方形的顶点,$\odot O$的半径为1,P是$\odot O$上的点,且位于右上方的小正方形内,则$∠ APB$等于(
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
[第2(1)题]
[第2(2)题]
[第2(3)题]
B
).A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
[第2(1)题]
[第2(2)题]
[第2(3)题]
答案
B
解析
【分析】
遇到圆中求角度的问题，首先考虑圆周角定理的应用。第一步先确定∠APB是圆周角，找到它所对的弧AB；第二步找弧AB对应的圆心角，也就是∠AOB；第三步结合小正方形的性质求出∠AOB的度数，最后利用圆周角定理计算∠APB的度数即可。
【解析】
解：
∵A、B、O是小正方形的顶点，小正方形的内角为直角，
∴∠AOB = 90°。
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠APB是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠APB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 正方形的性质
【点评】
本题解题核心是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，结合正方形的内角性质求出圆心角度数，再套用圆周角定理即可求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
遇到圆中求角度的问题，首先考虑圆周角定理的应用。第一步先确定∠APB是圆周角，找到它所对的弧AB；第二步找弧AB对应的圆心角，也就是∠AOB；第三步结合小正方形的性质求出∠AOB的度数，最后利用圆周角定理计算∠APB的度数即可。
【解析】
解：
∵A、B、O是小正方形的顶点，小正方形的内角为直角，
∴∠AOB = 90°。
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠APB是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠APB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 正方形的性质
【点评】
本题解题核心是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，结合正方形的内角性质求出圆心角度数，再套用圆周角定理即可求解，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
（2）如图，$△ ABC$的顶点都在$\odot O$上.已知$∠ BOC=120°$，则$∠ BAC$等于（
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）.A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。首先明确已知的∠BOC是劣弧BC对应的圆心角，所求的∠BAC是优弧BC对应的圆周角，因此先计算优弧BC对应的圆心角度数，再代入圆周角定理即可求解，注意不要直接用劣弧的圆心角计算，避免错选。
【解析】
∵ 周角的度数为360°，劣弧BC对应的圆心角∠BOC=120°
∴ 优弧BC对应的圆心角度数为：360° - 120° = 240°
又
∵ ∠BAC是优弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$ × 240° = 120°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，周角的定义
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是找准圆周角对应的弧，不要混淆所对的圆心角，否则容易误选A选项。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。首先明确已知的∠BOC是劣弧BC对应的圆心角，所求的∠BAC是优弧BC对应的圆周角，因此先计算优弧BC对应的圆心角度数，再代入圆周角定理即可求解，注意不要直接用劣弧的圆心角计算，避免错选。
【解析】
∵ 周角的度数为360°，劣弧BC对应的圆心角∠BOC=120°
∴ 优弧BC对应的圆心角度数为：360° - 120° = 240°
又
∵ ∠BAC是优弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$ × 240° = 120°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，周角的定义
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是找准圆周角对应的弧，不要混淆所对的圆心角，否则容易误选A选项。
【难度系数】
0.6
(3) 如图，AB，AC是$\odot O$的弦，延长CA到点D，使$AD=AB$. 已知$∠ D=20°$，则$∠ BOC$等于(
A.$20°$
B.$40°$
C.$80°$
D.$120°$
C
).A.$20°$
B.$40°$
C.$80°$
D.$120°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件AD=AB入手，首先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质求出圆周角∠BAC的度数，最后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍这一圆周角定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵AD=AB，∠D=20°
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD=∠D=20°
∵∠BAC是△ABD的外角
∴∠BAC=∠D+∠ABD=20°+20°=40°
又
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是先通过等腰三角形和外角性质求出对应圆周角的度数，再结合圆周角与圆心角的关系计算圆心角，属于圆的性质相关考点的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AD=AB入手，首先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质求出圆周角∠BAC的度数，最后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍这一圆周角定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵AD=AB，∠D=20°
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD=∠D=20°
∵∠BAC是△ABD的外角
∴∠BAC=∠D+∠ABD=20°+20°=40°
又
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是先通过等腰三角形和外角性质求出对应圆周角的度数，再结合圆周角与圆心角的关系计算圆心角，属于圆的性质相关考点的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AD//BC,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?
答案
$∠ 1=∠ 4=∠ 5=∠ 8,∠ 2=∠ 7,∠ 3=∠ 6$
解析
【分析】
解题需结合两个核心知识点推导：①同弧所对的圆周角相等；②两直线平行，内错角相等。第一步先找出图中各段弧对应的圆周角，用圆周角定理得到第一组相等的角；第二步利用AD平行于BC的条件得到内错角相等；第三步通过等量代换整合所有相等的角即可。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等：
弧AB所对的圆周角为∠3和∠6，因此$\boldsymbol{∠3=∠6}$；
弧CD所对的圆周角为∠2和∠7，因此$\boldsymbol{∠2=∠7}$；
弧BC所对的圆周角为∠1和∠8，因此$\boldsymbol{∠1=∠8}$；
弧AD所对的圆周角为∠4和∠5，因此$\boldsymbol{∠4=∠5}$。
2. 已知$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”可得：$\boldsymbol{∠1=∠4}$，$\boldsymbol{∠8=∠5}$。
3. 结合上述结论等量代换，可得$\boldsymbol{∠1=∠4=∠5=∠8}$。
【答案】
$∠ 1=∠ 4=∠ 5=∠ 8,∠ 2=∠ 7,∠ 3=∠ 6$
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题是基础几何题，重点考查圆周角性质和平行线性质的综合应用，解题时注意不要漏找同弧对应的圆周角，结合平行线的性质串联相等的角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题需结合两个核心知识点推导：①同弧所对的圆周角相等；②两直线平行，内错角相等。第一步先找出图中各段弧对应的圆周角，用圆周角定理得到第一组相等的角；第二步利用AD平行于BC的条件得到内错角相等；第三步通过等量代换整合所有相等的角即可。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等：
弧AB所对的圆周角为∠3和∠6，因此$\boldsymbol{∠3=∠6}$；
弧CD所对的圆周角为∠2和∠7，因此$\boldsymbol{∠2=∠7}$；
弧BC所对的圆周角为∠1和∠8，因此$\boldsymbol{∠1=∠8}$；
弧AD所对的圆周角为∠4和∠5，因此$\boldsymbol{∠4=∠5}$。
2. 已知$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”可得：$\boldsymbol{∠1=∠4}$，$\boldsymbol{∠8=∠5}$。
3. 结合上述结论等量代换，可得$\boldsymbol{∠1=∠4=∠5=∠8}$。
【答案】
$∠ 1=∠ 4=∠ 5=∠ 8,∠ 2=∠ 7,∠ 3=∠ 6$
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题是基础几何题，重点考查圆周角性质和平行线性质的综合应用，解题时注意不要漏找同弧对应的圆周角，结合平行线的性质串联相等的角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
