登录
4. 如图，AC是$\odot O$的直径，AB，DC是$\odot O$的两条弦，且$AB// DC$. 已知$∠ BAC=35°$，求$∠ AOD$的度数. 
答案
$70°$
解析
【分析】
解题时先从已知的平行条件入手，利用平行线内错角相等的性质，先求出圆周角∠C的度数；再观察∠C和待求的∠AOD的关系：二者是同一段弧AD所对的圆周角和圆心角，结合圆周角定理即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵$AB// DC$
∴$∠ C=∠ BAC=35°$（两直线平行，内错角相等）
∵$∠ C$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOD=2∠ C=2×35°=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，考查平行线性质与圆周角定理的结合应用，解题的关键是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行条件入手，利用平行线内错角相等的性质，先求出圆周角∠C的度数；再观察∠C和待求的∠AOD的关系：二者是同一段弧AD所对的圆周角和圆心角，结合圆周角定理即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵$AB// DC$
∴$∠ C=∠ BAC=35°$（两直线平行，内错角相等）
∵$∠ C$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOD=2∠ C=2×35°=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，考查平行线性质与圆周角定理的结合应用，解题的关键是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点E在$\odot O$上，B，C是$\overset{\frown}{AD}$的三等分点，$∠ BOC=46°$，求$∠ AED$的度数.
答案
$69°$
解析
【分析】
要计算∠AED的度数，首先明确∠AED是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要先求出弧AD所对的圆心角∠AOD的度数即可。已知B、C是弧AD的三等分点，根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等，可结合已知的∠BOC=46°求出∠AOD，再代入圆周角定理计算即可。
【解析】
解：
∵B、C是$\overset{\frown}{AD}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴同弧所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=46°$，
∴$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=3×46°=138°$。
又
∵$∠ AED$是$\odot O$中$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是明确等弧对等圆心角，再结合圆周角定理完成角度换算，熟练掌握圆的相关基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算∠AED的度数，首先明确∠AED是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要先求出弧AD所对的圆心角∠AOD的度数即可。已知B、C是弧AD的三等分点，根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等，可结合已知的∠BOC=46°求出∠AOD，再代入圆周角定理计算即可。
【解析】
解：
∵B、C是$\overset{\frown}{AD}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴同弧所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=46°$，
∴$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=3×46°=138°$。
又
∵$∠ AED$是$\odot O$中$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是明确等弧对等圆心角，再结合圆周角定理完成角度换算，熟练掌握圆的相关基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 已知:如图,$OA=OB=OC$,$∠AOB=2∠BOC$.
求证:$∠ACB=2∠BAC$.
求证:$∠ACB=2∠BAC$.
答案
提示:由$OA=OB=OC$,可知点A,B,C都在以点O为圆心,OA为半径的圆上,易证$\overset{\frown}{AB}=2 \overset{\frown}{BC}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件OA=OB=OC，根据圆的定义，到定点距离等于定长的点都在同一个圆上，可判断A、B、C三点在以O为圆心的同一个圆上；再结合已知的圆心角的倍数关系，利用圆心角与所对弧的度数相等的性质，得到两段弧的倍数关系；最后根据圆周角定理，即可推导出两个圆周角的倍数关系。
【解析】
证明：
∵ $OA=OB=OC$
∴ 点A、B、C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上
∴ 圆心角的度数等于它所对弧的度数
∵ $∠ AOB=2∠ BOC$
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数 = $2×\overset{\frown}{BC}$的度数，即$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$
又
∵ 圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，其中$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$的度数，$∠ BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}$的度数
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}× 2\overset{\frown}{BC}$的度数 = $\overset{\frown}{BC}$的度数 = $2×(\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}$的度数$)=2∠ BAC$
即$∠ ACB=2∠ BAC$，得证。
【答案】
$∠ ACB=2∠ BAC$，证明成立。
【知识点】
1. 共圆的判定
2. 圆心角与弧的关系
3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的突破口是根据三条等长线段判断三点共圆，再结合圆心角、弧、圆周角三者的对应关系推导角度关系，能有效考查对圆的基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件OA=OB=OC，根据圆的定义，到定点距离等于定长的点都在同一个圆上，可判断A、B、C三点在以O为圆心的同一个圆上；再结合已知的圆心角的倍数关系，利用圆心角与所对弧的度数相等的性质，得到两段弧的倍数关系；最后根据圆周角定理，即可推导出两个圆周角的倍数关系。
【解析】
证明：
∵ $OA=OB=OC$
∴ 点A、B、C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上
∴ 圆心角的度数等于它所对弧的度数
∵ $∠ AOB=2∠ BOC$
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数 = $2×\overset{\frown}{BC}$的度数，即$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$
又
∵ 圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，其中$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$的度数，$∠ BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}$的度数
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}× 2\overset{\frown}{BC}$的度数 = $\overset{\frown}{BC}$的度数 = $2×(\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}$的度数$)=2∠ BAC$
即$∠ ACB=2∠ BAC$，得证。
【答案】
$∠ ACB=2∠ BAC$，证明成立。
【知识点】
1. 共圆的判定
2. 圆心角与弧的关系
3. 圆周角定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的突破口是根据三条等长线段判断三点共圆，再结合圆心角、弧、圆周角三者的对应关系推导角度关系，能有效考查对圆的基本性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
