5. 如图,有一拱形公路桥,圆弧形桥拱的水面跨度$AB=80\ \mathrm{m}$,拱高(弧的中点到弦的距离$CD$)为$20\ \mathrm{m}$,求桥拱所在圆的半径.

50 m

【分析】
本题是利用圆的性质求半径的典型问题，解题思路如下：首先根据拱高的特征可知，CD所在直线过圆心且垂直平分AB，结合垂径定理可得到AB的一半长度；接着构造出由圆的半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，设半径为未知数，用含未知数的式子表示出弦心距；最后利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
设桥拱所在圆的圆心为$O$，半径为$R\ \mathrm{m}$。
由题意可知$O$、$D$、$C$三点共线，且$OD⊥ AB$。
根据垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×80=40\ \mathrm{m}$，
弦心距$OD=OC-CD=(R-20)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理可得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入边长得：$R^2=40^2+(R-20)^2$
展开计算：
$R^2=1600+R^2-40R+400$
化简得：$40R=2000$
解得：$R=50$
【答案】
$50\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，解题核心是结合圆的对称性构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.75

6. 老师布置的一道思考题引起了小红、小明的兴趣：“已知半径为10 cm的⊙O中有两条平行弦AB,CD，且AB=12 cm，CD=16 cm，求AB,CD间的距离.”小红得到的结果是“两平行弦之间的距离为14 cm”，小明得到的结果是“两平行弦之间的距离为2 cm”.你是如何思考的？请说明理由.

本题分两种情况讨论,图略,两弦之间的距离分别为14 cm或2 cm

【分析】
本题需要先明确圆中两条平行弦的位置存在两种可能：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，因此要分类讨论求解。解题时先过圆心作两条弦的垂线，结合垂径定理求出两条弦的半弦长，再利用勾股定理分别计算两条弦的弦心距，最后根据弦的位置关系求两弦的距离即可。
【解析】

过圆心O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理可得：
AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6 cm，CF = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×16 = 8 cm，
⊙O的半径OA=OC=10 cm，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{10^2 - 6^2}$ = 8 cm，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF = $\sqrt{OC^2 - CF^2}$ = $\sqrt{10^2 - 8^2}$ = 6 cm。
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的异侧时，两弦的距离为OE + OF = 8 + 6 = 14 cm；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，两弦的距离为OE - OF = 8 - 6 = 2 cm。
综上，两平行弦之间的距离为14 cm或2 cm。
【答案】
两平行弦AB、CD之间的距离为14 cm或2 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略两条平行弦的位置分类，仅算出其中一种结果。解题时要全面考虑弦在圆中的位置，结合垂径定理和勾股定理即可正确求解。
【难度系数】
0.6