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(2) 在直径为 20 cm 的圆中,圆心到某条弦的距离是 6 cm,该弦长是
16
cm. 答案
(2) 16
解析
【分析】
解这道题首先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，因此半弦长、弦心距、圆的半径可构成直角三角形，其中半径为斜边。解题步骤可分为三步：第一步先根据直径求出圆的半径；第二步将半径、弦心距代入勾股定理，求出半弦长；第三步将半弦长乘2得到整条弦的长度。
【解析】
解：已知圆的直径为20cm，因此圆的半径$r = 20÷2 = 10\mathrm{cm}$，圆心到弦的距离即弦心距$d=6\mathrm{cm}$。
设弦长为$l$，根据垂径定理，半弦长、弦心距、半径满足勾股定理：
$(\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2$
代入数值：
$(\frac{l}{2})^2 + 6^2 = 10^2$
计算得：$(\frac{l}{2})^2 = 100 - 36 = 64$
因为长度为正数，所以$\frac{l}{2}=8$，因此$l=16\mathrm{cm}$。
【答案】
16
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
这道题是圆中弦长计算的常规基础题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，将弦长问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握“半径、弦心距、半弦长”组成的直角三角形模型就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解这道题首先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，因此半弦长、弦心距、圆的半径可构成直角三角形，其中半径为斜边。解题步骤可分为三步：第一步先根据直径求出圆的半径；第二步将半径、弦心距代入勾股定理，求出半弦长；第三步将半弦长乘2得到整条弦的长度。
【解析】
解：已知圆的直径为20cm，因此圆的半径$r = 20÷2 = 10\mathrm{cm}$，圆心到弦的距离即弦心距$d=6\mathrm{cm}$。
设弦长为$l$，根据垂径定理，半弦长、弦心距、半径满足勾股定理：
$(\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2$
代入数值：
$(\frac{l}{2})^2 + 6^2 = 10^2$
计算得：$(\frac{l}{2})^2 = 100 - 36 = 64$
因为长度为正数，所以$\frac{l}{2}=8$，因此$l=16\mathrm{cm}$。
【答案】
16
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
这道题是圆中弦长计算的常规基础题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，将弦长问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握“半径、弦心距、半弦长”组成的直角三角形模型就能快速解题。
【难度系数】
0.8
（3）如图，在$\odot O$中，弦$AB⊥ AC$，$OM⊥ AB$，$ON⊥ AC$，垂足分别为$A$，$M$，$N$。已知$OM=2$，$ON=3$，则$AB=$
6
，$AC=$4
，$OA=$$\sqrt{13}$
。答案
（3）$6,4,\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：①OM是圆心O到弦AB的垂线，ON是圆心O到弦AC的垂线，可直接运用垂径定理得到M是AB中点、N是AC中点，即弦长是对应半弦长的2倍；②已知AB⊥AC，结合OM⊥AB、ON⊥AC，可推出四边形OMAN的三个内角都是直角，判定该四边形为矩形，利用矩形对边相等即可求出半弦长AM、AN的长度，进而求出AB、AC的长度；最后OA是Rt△OMA的斜边，用勾股定理即可求出OA的长度。
【解析】
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。
∵OM⊥AB，
∴M为AB中点，即$AB=2AM$；
∵ON⊥AC，
∴N为AC中点，即$AC=2AN$。
2. 判定四边形OMAN的形状：
∵AB⊥AC，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴$∠ MAN=∠ OMA=∠ ONA=90°$，
∴四边形OMAN是矩形。
3. 利用矩形性质求边长：
矩形对边相等，因此$AM=ON=3$，$AN=OM=2$。
4. 计算弦长：
$AB=2AM=2×3=6$，$AC=2AN=2×2=4$。
5. 求半径OA：
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OM^2+AM^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$6$，$4$，$\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，解题的关键是结合已知垂直条件判断出四边形OMAN为矩形，再结合垂径定理建立弦长与矩形边长的关系，计算量小，思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：①OM是圆心O到弦AB的垂线，ON是圆心O到弦AC的垂线，可直接运用垂径定理得到M是AB中点、N是AC中点，即弦长是对应半弦长的2倍；②已知AB⊥AC，结合OM⊥AB、ON⊥AC，可推出四边形OMAN的三个内角都是直角，判定该四边形为矩形，利用矩形对边相等即可求出半弦长AM、AN的长度，进而求出AB、AC的长度；最后OA是Rt△OMA的斜边，用勾股定理即可求出OA的长度。
【解析】
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。
∵OM⊥AB，
∴M为AB中点，即$AB=2AM$；
∵ON⊥AC，
∴N为AC中点，即$AC=2AN$。
2. 判定四边形OMAN的形状：
∵AB⊥AC，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴$∠ MAN=∠ OMA=∠ ONA=90°$，
∴四边形OMAN是矩形。
3. 利用矩形性质求边长：
矩形对边相等，因此$AM=ON=3$，$AN=OM=2$。
4. 计算弦长：
$AB=2AM=2×3=6$，$AC=2AN=2×2=4$。
5. 求半径OA：
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OM^2+AM^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$6$，$4$，$\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，解题的关键是结合已知垂直条件判断出四边形OMAN为矩形，再结合垂径定理建立弦长与矩形边长的关系，计算量小，思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴有（
A.1条
B.2条
C.4条
D.无数条
D
）。A.1条
B.2条
C.4条
D.无数条
答案
（1）D
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形及对称轴的定义，再结合圆的性质分析：轴对称图形的对称轴是使图形对折后两边完全重合的直线，圆只要沿过圆心的直线对折，两侧都能完全重合，接下来判断过圆心的直线的数量，即可得出结论。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是该图形的对称轴。
对于圆而言，任意一条经过圆心的直线都可以作为折痕，将圆沿这条直线折叠时，直线两侧的部分能够完全重合，因此所有过圆心的直线都是圆的对称轴。
由于过圆心可以画出无数条直线，因此圆的对称轴有无数条，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.轴对称图形的概念
2.圆的轴对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是明确圆的对称轴是过圆心的直线，注意不要将对称轴和直径（线段）混淆，熟练掌握圆的对称性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称图形及对称轴的定义，再结合圆的性质分析：轴对称图形的对称轴是使图形对折后两边完全重合的直线，圆只要沿过圆心的直线对折，两侧都能完全重合，接下来判断过圆心的直线的数量，即可得出结论。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是该图形的对称轴。
对于圆而言，任意一条经过圆心的直线都可以作为折痕，将圆沿这条直线折叠时，直线两侧的部分能够完全重合，因此所有过圆心的直线都是圆的对称轴。
由于过圆心可以画出无数条直线，因此圆的对称轴有无数条，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.轴对称图形的概念
2.圆的轴对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是明确圆的对称轴是过圆心的直线，注意不要将对称轴和直径（线段）混淆，熟练掌握圆的对称性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
（2）如图，AB是$\odot O$的弦，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC交AB于点D.若$AB=8\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的直径为(
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
[第2(2)题]
「第2(3)题」
D
).A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
[第2(2)题]
「第2(3)题」
答案
（2）D
解析
【分析】
解题首先结合已知条件“C是$\overset{\frown}{AB}$的中点”，根据垂径定理的推论可得到OC垂直平分AB，从而得到直角三角形与半弦长；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的另一条直角边OD的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解半径，再乘2即可得到圆的直径。
【解析】
连接OA，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理推论可得：$OC⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OA=r\ \mathrm{cm}$，$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$，
移项化简得：$4r=20$，解得$r=5$，
∴$\odot O$的直径为$2r=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题型，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，需要掌握“设未知数列方程”的几何解题思路，熟练运用垂径定理的相关推论。
【难度系数】
0.7
解题首先结合已知条件“C是$\overset{\frown}{AB}$的中点”，根据垂径定理的推论可得到OC垂直平分AB，从而得到直角三角形与半弦长；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的另一条直角边OD的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解半径，再乘2即可得到圆的直径。
【解析】
连接OA，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理推论可得：$OC⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OA=r\ \mathrm{cm}$，$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$，
移项化简得：$4r=20$，解得$r=5$，
∴$\odot O$的直径为$2r=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题型，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，需要掌握“设未知数列方程”的几何解题思路，熟练运用垂径定理的相关推论。
【难度系数】
0.7
（3）一种花边是由如图的弓形组成的，$\overset{\frown}{ACB}$的所在圆的半径为5，弦$AB=8$，则弓形的高（弧的中点到弦的距离）CD的为（
A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\frac{16}{3}$
A
）。A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\frac{16}{3}$
答案
（3）A
解析
【解析】
解：设$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心为$O$，连接$OA$、$OD$。
根据垂径定理，$OD ⊥ AB$，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$。
已知圆的半径$OA=5$，在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
因此弓形的高$CD=OC-OD=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际花边场景考查垂径定理的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将弓形高的计算转化为半径与弦心距的差值，属于圆的基础计算题型。
【难度系数】
0.7
解：设$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心为$O$，连接$OA$、$OD$。
根据垂径定理，$OD ⊥ AB$，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$。
已知圆的半径$OA=5$，在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
因此弓形的高$CD=OC-OD=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际花边场景考查垂径定理的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将弓形高的计算转化为半径与弦心距的差值，属于圆的基础计算题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$的半径$OC=6$，弦$AB$垂直平分$OC$.求弦$AB$的长. 
（第3题）
（第3题）答案
$AB=6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：1. 先由“AB垂直平分OC”得出OD的长度，同时得到△ADO是直角三角形；2. 明确OA为圆的半径，长度与OC相等；3. 利用勾股定理计算直角边AD的长度；4. 结合垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可知AB=2AD，即可求出弦AB的总长。
【解析】
解：
∵弦AB垂直平分OC，OC=6
∴$OD=\frac{1}{2}OC=3$，$∠ ADO=90°$
∵OA是$\odot O$的半径
∴$OA=OC=6$
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
又
∵OC过圆心O，且$OC⊥ AB$，根据垂径定理：
$AB=2AD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，需要熟练掌握垂径定理的应用，通过构造直角三角形结合勾股定理求解线段长度，是圆部分的高频考点。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤梳理：1. 先由“AB垂直平分OC”得出OD的长度，同时得到△ADO是直角三角形；2. 明确OA为圆的半径，长度与OC相等；3. 利用勾股定理计算直角边AD的长度；4. 结合垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可知AB=2AD，即可求出弦AB的总长。
【解析】
解：
∵弦AB垂直平分OC，OC=6
∴$OD=\frac{1}{2}OC=3$，$∠ ADO=90°$
∵OA是$\odot O$的半径
∴$OA=OC=6$
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
又
∵OC过圆心O，且$OC⊥ AB$，根据垂径定理：
$AB=2AD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，需要熟练掌握垂径定理的应用，通过构造直角三角形结合勾股定理求解线段长度，是圆部分的高频考点。
【难度系数】
0.7
4. 如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm. 求直尺的宽.
答案
3 cm
解析
【分析】
要计算直尺的宽度，首先需要明确直尺的宽度就是圆心O到弦DE的垂线段的长度。解题思路如下：第一步，过圆心O作DE的垂线，垂足为F，根据“平行线间的距离处处相等”，OF的长度就是直尺的宽；第二步，利用垂径定理得到DE一半的长度；第三步，在直角三角形中结合已知的半径长度，用勾股定理计算OF的长度即可。
【解析】
过点O作$OF⊥ DE$于点F，则$∠ OFD=90°$，OF的长度即为直尺的宽度。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$DF=\frac{1}{2}DE$
已知$DE=8\mathrm{cm}$，代入得$DF=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$。
因为OD是半圆的半径，所以$OD=OC=5\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$可得：
$OF=\sqrt{OD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$
【答案】
3 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的实际应用题目，解题核心是将实际问题中的“直尺宽度”转化为几何中“圆心到弦的距离”，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算直尺的宽度，首先需要明确直尺的宽度就是圆心O到弦DE的垂线段的长度。解题思路如下：第一步，过圆心O作DE的垂线，垂足为F，根据“平行线间的距离处处相等”，OF的长度就是直尺的宽；第二步，利用垂径定理得到DE一半的长度；第三步，在直角三角形中结合已知的半径长度，用勾股定理计算OF的长度即可。
【解析】
过点O作$OF⊥ DE$于点F，则$∠ OFD=90°$，OF的长度即为直尺的宽度。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$DF=\frac{1}{2}DE$
已知$DE=8\mathrm{cm}$，代入得$DF=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$。
因为OD是半圆的半径，所以$OD=OC=5\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$可得：
$OF=\sqrt{OD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$
【答案】
3 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的实际应用题目，解题核心是将实际问题中的“直尺宽度”转化为几何中“圆心到弦的距离”，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
