1. 余角和补角的概念
(1)余角:一般地,如果两个角的和等于,就说这两个角互为余角,简称这两个角;
(2)补角:如果两个角的和等于,就说这两个角互为补角,简称这两个角.
2. 余角和补角的性质
(1)同角(等角)的余角;
(2)同角(等角)的补角.

解：
1. 余角和补角的概念
(1) $90°$（直角）；互余
(2) $180°$（平角）；互补
2. 余角和补角的性质
(1) 相等
(2) 相等

【分析】
这道题是对余角、补角的基本概念与性质的直接考察，属于基础识记类题目。解题时只需结合教材中关于余角、补角的定义和性质内容，对应空缺位置填写即可：首先回忆余角、补角的定义，再回忆余角补角的相关性质，依次填入对应位置即可完成作答。
【解析】
1. 余角和补角的概念
(1) 根据余角的定义：如果两个角的和等于$90°$（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余；
(2) 根据补角的定义：如果两个角的和等于$180°$（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补。
2. 余角和补角的性质
(1) 根据余角的性质：同角（等角）的余角相等；
(2) 根据补角的性质：同角（等角）的补角相等。
【答案】
1. (1) $90°$（直角）；互余
(2) $180°$（平角）；互补
2. (1) 相等
(2) 相等
【知识点】
余角的定义，补角的定义，余角补角的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，内容全部来源于教材基础知识点，是角度相关几何学习的入门内容，熟练掌握相关概念和性质能为后续角度计算、几何证明打下良好基础。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，A,B,O三点在同一条直线上，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，下列判断：

①∠3的余角只有∠BOE；
②∠3的余角有∠BOE和∠COD；
③∠BOC是∠4的补角；
④∠BOC是∠3的补角；
⑤∠COD=∠BOE.
其中正确的是.(填序号)

解：
∵ A,B,O三点在同一条直线上，
∴ ∠AOB=180°，
又∵ ∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴ ∠AOD=180°-∠BOD=90°。
1. 由∠BOD=90°，得∠3 + ∠1 + ∠2 = 90°，即∠3 + ∠BOE = 90°，故∠BOE是∠3的余角。
由∠AOD=90°，得∠4 + ∠COD = 90°，又∵ ∠3=∠4，
∴ ∠3 + ∠COD = 90°，故∠COD是∠3的余角。
因此∠3的余角有∠BOE和∠COD，①错误，②正确。
2. ∵ ∠4 + ∠BOC = ∠AOB=180°，
∴ ∠BOC是∠4的补角，③正确。
3. ∵ ∠3=∠4，∠4 + ∠BOC=180°，
∴ ∠3 + ∠BOC=180°，
∴ ∠BOC是∠3的补角，④正确。
4. ∵ ∠3 + ∠COD=90°，∠3 + ∠BOE=90°，
∴ ∠COD=∠BOE（同角的余角相等），⑤正确。
综上，正确的是②③④⑤。

【分析】
解题时首先结合已知条件明确平角∠AOB=180°，∠AOD=∠BOD=90°，再根据余角（和为90°的两个角互余）、补角（和为180°的两个角互补）的定义，结合∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐个判断5个结论是否正确。
【解析】
∵ A,B,O三点在同一条直线上，
∴ ∠AOB=180°，
又
∵ ∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴ ∠AOD=180°-∠BOD=90°。
1. 由∠BOD=90°，得∠3 + ∠1 + ∠2 = 90°，即∠3 + ∠BOE = 90°，故∠BOE是∠3的余角；
由∠AOD=90°，得∠4 + ∠COD = 90°，又
∵ ∠3=∠4，
∴ ∠3 + ∠COD = 90°，故∠COD是∠3的余角，
因此∠3的余角有∠BOE和∠COD，①错误，②正确。
2.
∵ ∠4 + ∠BOC = ∠AOB=180°，
∴ ∠BOC是∠4的补角，③正确。
3.
∵ ∠3=∠4，∠4 + ∠BOC=180°，
∴ ∠3 + ∠BOC=180°，
∴ ∠BOC是∠3的补角，④正确。
4.
∵ ∠3 + ∠COD=90°，∠3 + ∠BOE=90°，
∴ ∠COD=∠BOE（同角的余角相等），⑤正确。
【答案】
②③④⑤
【知识点】
余角的定义，补角的定义，同角的余角相等
【点评】
本题重点考查余角、补角的判定与性质，解题时需要结合图形梳理角之间的和差关系，紧扣余角、补角的定义和相关性质逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7

【变式1】若$∠α$与$∠β$互为余角，$∠β$是$∠α$的2倍，则$∠α$的度数为（）.

A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$

B

【分析】
解题首先要明确余角的核心定义：互为余角的两个角的和为90°。我们可以结合题目给出的∠β是∠α的2倍这一数量关系，将∠β用含∠α的式子表示，再代入两角和为90°的等式中，通过简单计算就能求出∠α的度数。
【解析】
∵ ∠α与∠β互为余角，根据余角的定义可得：
$∠α + ∠β = 90°$
又
∵ ∠β是∠α的2倍
∴ $∠β = 2∠α$
将$∠β = 2∠α$代入$∠α + ∠β = 90°$中，得：
$∠α + 2∠α = 90°$
合并同类项得：$3∠α = 90°$
解得：$∠α = 30°$
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题，重点考查对余角定义的掌握，解题时注意区分余角和补角的定义，结合角的数量关系列等式计算即可得分。
【难度系数】
0.8

【例2】如图，O是直线AB上一点，$∠ BOC=∠ DOE=90°$，试说明：
(1)$∠ 1=∠ 2$；
(2)$∠ COF=∠ AOE$.

解：
(1) 因为$∠ BOC=90°$，所以$∠ 2 + ∠ COE = 90°$。
又因为$∠ DOE=90°$，所以$∠ 1 + ∠ COE = 90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ 1=∠ 2$。
(2) 因为O是直线AB上一点，所以$∠ AOE + ∠ 2 = 180°$。
又因为直线DF过点O，所以$∠ COF + ∠ 1 = 180°$。
由(1)知$∠ 1=∠ 2$，根据等角的补角相等，可得$∠ COF=∠ AOE$。

【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，先结合已知的两个直角分析角的关系：∠BOC=90°说明∠2和∠COE互余，∠DOE=90°说明∠1和∠COE互余，两个角都是同一个角的余角，根据余角的性质即可证明二者相等；
(2) 要证明∠COF=∠AOE，先根据平角的定义找互补关系：∠AOE和∠2组成平角互补，∠COF和∠1组成平角互补，再结合(1)中已经证明的∠1=∠2，根据补角的性质即可得证。
【解析】
(1) 因为$∠ BOC=90°$，所以$∠ 2 + ∠ COE = 90°$。
又因为$∠ DOE=90°$，所以$∠ 1 + ∠ COE = 90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ 1=∠ 2$。
(2) 因为O是直线AB上一点，所以$∠ AOE + ∠ 2 = 180°$。
又因为直线DF过点O，所以$∠ COF + ∠ 1 = 180°$。
由(1)知$∠ 1=∠ 2$，根据等角的补角相等，可得$∠ COF=∠ AOE$。
【答案】
(1) $∠1=∠2$；(2) $∠COF=∠AOE$
【知识点】
余角的性质，补角的性质，平角的定义
【点评】
本题是余角、补角性质的基础应用题型，解题核心是准确识别图中角的互余、互补关系，结合已知条件推导即可，熟练掌握余角和补角的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

【变式2】已知∠1和∠2互为余角，∠2和∠3互为补角，∠1=20°，则∠3=。

$\boldsymbol{110°}$

【分析】
解题时首先明确余角、补角的定义：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。已知∠1的度数，可先根据∠1和∠2的互余关系求出∠2的度数，再根据∠2和∠3的互补关系求出∠3的度数即可。
【解析】
∵ ∠1和∠2互为余角，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵ ∠1 = 20°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 20° = 70°。
∵ ∠2和∠3互为补角，
∴ ∠2 + ∠3 = 180°，
∴ ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 70° = 110°。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是余角、补角定义的基础应用题型，解题核心是牢记互余两角和为90°、互补两角和为180°，通过中间角∠2搭建已知条件和所求问题的关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.9