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小莉爸爸开车去加油站加油.在加油过程中,小莉观察到加油机仪表显示屏上有几个量,小莉看到的某一瞬间的仪表显示屏如图5-1所示.该过程中涉及哪些量?这些量之间有怎样的关系?
答案
解：
该加油过程涉及的量有：汽油的单价、加油量（所加汽油的体积）、加油总金额。
其中汽油的单价是固定不变的常量，加油量和加油总金额是变量；加油总金额随加油量的变化而变化，满足关系：加油总金额 = 汽油单价 × 加油量，对于每一个确定的加油量，都有唯一确定的加油总金额与之对应。
该加油过程涉及的量有：汽油的单价、加油量（所加汽油的体积）、加油总金额。
其中汽油的单价是固定不变的常量，加油量和加油总金额是变量；加油总金额随加油量的变化而变化，满足关系：加油总金额 = 汽油单价 × 加油量，对于每一个确定的加油量，都有唯一确定的加油总金额与之对应。
解析
【分析】
解题时可先结合生活中加油的实际场景，梳理加油机显示的相关量；再结合常量、变量的定义（固定不变的量为常量，会发生变化的量为变量）区分各量的属性；最后根据常见的总价类数量关系推导变量间的联系，同时结合函数的概念判断变量的对应关系即可。
【解析】
第一步：梳理涉及的量
加油过程中涉及的量共3个：汽油的单价、加油量（所加汽油的体积）、加油总金额。
第二步：区分常量与变量
加油过程中汽油单价是提前设定好的、固定不变的量，属于常量；加油量会随着加油过程持续变化，加油总金额也会随之改变，二者均属于变量。
第三步：分析量之间的关系
加油总金额随加油量的变化而变化，二者满足基本数量关系：$\mathrm{加油总金额}=\mathrm{汽油单价}×\mathrm{加油量}$；且对于每一个确定的加油量，都有唯一确定的加油总金额与之对应，符合函数的对应要求。
【答案】
该加油过程涉及的量有：汽油的单价、加油量（所加汽油的体积）、加油总金额。其中汽油的单价是固定不变的常量，加油量和加油总金额是变量；加油总金额随加油量的变化而变化，满足关系：加油总金额 = 汽油单价 × 加油量，对于每一个确定的加油量，都有唯一确定的加油总金额与之对应。
【知识点】
常量与变量；函数的概念
【点评】
本题结合生活中的加油场景命题，既考查了对常量、变量的区分能力，也考查了对函数核心的“一一对应”关系的理解，引导学生学会从生活场景中抽象出数学关系。
【难度系数】
0.9
解题时可先结合生活中加油的实际场景，梳理加油机显示的相关量；再结合常量、变量的定义（固定不变的量为常量，会发生变化的量为变量）区分各量的属性；最后根据常见的总价类数量关系推导变量间的联系，同时结合函数的概念判断变量的对应关系即可。
【解析】
第一步：梳理涉及的量
加油过程中涉及的量共3个：汽油的单价、加油量（所加汽油的体积）、加油总金额。
第二步：区分常量与变量
加油过程中汽油单价是提前设定好的、固定不变的量，属于常量；加油量会随着加油过程持续变化，加油总金额也会随之改变，二者均属于变量。
第三步：分析量之间的关系
加油总金额随加油量的变化而变化，二者满足基本数量关系：$\mathrm{加油总金额}=\mathrm{汽油单价}×\mathrm{加油量}$；且对于每一个确定的加油量，都有唯一确定的加油总金额与之对应，符合函数的对应要求。
【答案】
该加油过程涉及的量有：汽油的单价、加油量（所加汽油的体积）、加油总金额。其中汽油的单价是固定不变的常量，加油量和加油总金额是变量；加油总金额随加油量的变化而变化，满足关系：加油总金额 = 汽油单价 × 加油量，对于每一个确定的加油量，都有唯一确定的加油总金额与之对应。
【知识点】
常量与变量；函数的概念
【点评】
本题结合生活中的加油场景命题，既考查了对常量、变量的区分能力，也考查了对函数核心的“一一对应”关系的理解，引导学生学会从生活场景中抽象出数学关系。
【难度系数】
0.9
请你再举出一些类似的实例，并指出其中哪些量是不变的，哪些量是变化的，是如何变化的？
图5-1
图5-1
答案
解：
实例1：小明去文具店购买单价为1.5元的签字笔，总付款金额随购买签字笔的数量变化而变化。
不变的量：签字笔的单价1.5元；
变化的量：购买签字笔的数量、总付款金额；
变化规律：购买签字笔的数量增加时，总付款金额随之同步增大。
实例2：将一杯热水静置在室温25℃的房间内，热水的温度随放置时间的变化而变化。
不变的量：房间的室温25℃；
变化的量：热水的温度、放置的时间；
变化规律：放置时间增加时，热水的温度逐渐降低，最终趋近于25℃。
实例3：已知等腰三角形的底角度数随顶角度数的变化而变化。
不变的量：三角形的内角和180°；
变化的量：等腰三角形的顶角度数、底角度数；
变化规律：等腰三角形的顶角度数增大时，底角度数随之减小。
实例1：小明去文具店购买单价为1.5元的签字笔，总付款金额随购买签字笔的数量变化而变化。
不变的量：签字笔的单价1.5元；
变化的量：购买签字笔的数量、总付款金额；
变化规律：购买签字笔的数量增加时，总付款金额随之同步增大。
实例2：将一杯热水静置在室温25℃的房间内，热水的温度随放置时间的变化而变化。
不变的量：房间的室温25℃；
变化的量：热水的温度、放置的时间；
变化规律：放置时间增加时，热水的温度逐渐降低，最终趋近于25℃。
实例3：已知等腰三角形的底角度数随顶角度数的变化而变化。
不变的量：三角形的内角和180°；
变化的量：等腰三角形的顶角度数、底角度数；
变化规律：等腰三角形的顶角度数增大时，底角度数随之减小。
解析
【分析】
解题前首先明确常量与变量的核心概念：在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量，数值会发生改变的量叫做变量。思考步骤如下：第一步，先找一个存在关联变化的实际生活或数学场景；第二步，在该场景中定位固定不变的常量，再提取两个互相关联的变化量作为变量；第三步，梳理两个变量的对应变化关系，说明一个量变化时另一个量的变化趋势即可。
【解析】
我们可以从不同场景举例分析：
实例1：小明去文具店购买单价为1.5元的签字笔，总付款金额随购买签字笔的数量变化而变化。
不变的量：签字笔的单价1.5元；
变化的量：购买签字笔的数量、总付款金额；
变化规律：购买签字笔的数量增加时，总付款金额随之同步增大。
实例2：将一杯热水静置在室温25℃的房间内，热水的温度随放置时间的变化而变化。
不变的量：房间的室温25℃；
变化的量：热水的温度、放置的时间；
变化规律：放置时间增加时，热水的温度逐渐降低，最终趋近于25℃。
实例3：已知等腰三角形的底角度数随顶角度数的变化而变化。
不变的量：三角形的内角和180°；
变化的量：等腰三角形的顶角度数、底角度数；
变化规律：等腰三角形的顶角度数增大时，底角度数随之减小。
【答案】
实例1：小明去文具店购买单价为1.5元的签字笔，总付款金额随购买签字笔的数量变化而变化。
不变的量：签字笔的单价1.5元；
变化的量：购买签字笔的数量、总付款金额；
变化规律：购买签字笔的数量增加时，总付款金额随之同步增大。
实例2：将一杯热水静置在室温25℃的房间内，热水的温度随放置时间的变化而变化。
不变的量：房间的室温25℃；
变化的量：热水的温度、放置的时间；
变化规律：放置时间增加时，热水的温度逐渐降低，最终趋近于25℃。
实例3：已知等腰三角形的底角度数随顶角度数的变化而变化。
不变的量：三角形的内角和180°；
变化的量：等腰三角形的顶角度数、底角度数；
变化规律：等腰三角形的顶角度数增大时，底角度数随之减小。
【知识点】
1. 常量与变量
2. 变量的变化关系
【点评】
本题为开放性基础题，引导学生结合生活场景与已学知识识别变化过程中的常量和变量，分析变量之间的变化关联，为后续学习函数概念奠定基础。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确常量与变量的核心概念：在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量，数值会发生改变的量叫做变量。思考步骤如下：第一步，先找一个存在关联变化的实际生活或数学场景；第二步，在该场景中定位固定不变的常量，再提取两个互相关联的变化量作为变量；第三步，梳理两个变量的对应变化关系，说明一个量变化时另一个量的变化趋势即可。
【解析】
我们可以从不同场景举例分析：
实例1：小明去文具店购买单价为1.5元的签字笔，总付款金额随购买签字笔的数量变化而变化。
不变的量：签字笔的单价1.5元；
变化的量：购买签字笔的数量、总付款金额；
变化规律：购买签字笔的数量增加时，总付款金额随之同步增大。
实例2：将一杯热水静置在室温25℃的房间内，热水的温度随放置时间的变化而变化。
不变的量：房间的室温25℃；
变化的量：热水的温度、放置的时间；
变化规律：放置时间增加时，热水的温度逐渐降低，最终趋近于25℃。
实例3：已知等腰三角形的底角度数随顶角度数的变化而变化。
不变的量：三角形的内角和180°；
变化的量：等腰三角形的顶角度数、底角度数；
变化规律：等腰三角形的顶角度数增大时，底角度数随之减小。
【答案】
实例1：小明去文具店购买单价为1.5元的签字笔，总付款金额随购买签字笔的数量变化而变化。
不变的量：签字笔的单价1.5元；
变化的量：购买签字笔的数量、总付款金额；
变化规律：购买签字笔的数量增加时，总付款金额随之同步增大。
实例2：将一杯热水静置在室温25℃的房间内，热水的温度随放置时间的变化而变化。
不变的量：房间的室温25℃；
变化的量：热水的温度、放置的时间；
变化规律：放置时间增加时，热水的温度逐渐降低，最终趋近于25℃。
实例3：已知等腰三角形的底角度数随顶角度数的变化而变化。
不变的量：三角形的内角和180°；
变化的量：等腰三角形的顶角度数、底角度数；
变化规律：等腰三角形的顶角度数增大时，底角度数随之减小。
【知识点】
1. 常量与变量
2. 变量的变化关系
【点评】
本题为开放性基础题，引导学生结合生活场景与已学知识识别变化过程中的常量和变量，分析变量之间的变化关联，为后续学习函数概念奠定基础。
【难度系数】
0.8
例 判断下列变量之间的关系是否为函数关系：
(1) 等腰三角形的周长是20，底长$y$和腰长$x$；
(2) 商店销售单价为1.2元的矿泉水，总销售额$y$元和销售量$x$瓶；
(3) 水池中有水10 L，以后每小时漏水0.05 L，水池中的水量$V$ L与时间$t$ h.
(1) 等腰三角形的周长是20，底长$y$和腰长$x$；
(2) 商店销售单价为1.2元的矿泉水，总销售额$y$元和销售量$x$瓶；
(3) 水池中有水10 L，以后每小时漏水0.05 L，水池中的水量$V$ L与时间$t$ h.
答案
解：
(1) 由题意可得底长$y$和腰长$x$满足关系式$y=20-2x$，根据三角形三边关系，自变量$x$的取值范围是$5＜x＜10$。对于该范围内任意一个$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此底长$y$和腰长$x$是函数关系。
(2) 由题意可得总销售额$y$元和销售量$x$瓶满足关系式$y=1.2x$，自变量$x$的取值范围是非负整数。对于任意一个销售量$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此总销售额$y$元和销售量$x$瓶是函数关系。
(3) 由题意可得水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$满足关系式$V=10-0.05t$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤ 200$。对于该范围内任意一个$t$的值，都有唯一确定的$V$值与之对应，因此水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$是函数关系。
(1) 由题意可得底长$y$和腰长$x$满足关系式$y=20-2x$，根据三角形三边关系，自变量$x$的取值范围是$5＜x＜10$。对于该范围内任意一个$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此底长$y$和腰长$x$是函数关系。
(2) 由题意可得总销售额$y$元和销售量$x$瓶满足关系式$y=1.2x$，自变量$x$的取值范围是非负整数。对于任意一个销售量$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此总销售额$y$元和销售量$x$瓶是函数关系。
(3) 由题意可得水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$满足关系式$V=10-0.05t$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤ 200$。对于该范围内任意一个$t$的值，都有唯一确定的$V$值与之对应，因此水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$是函数关系。
解析
【分析】
判断变量是否为函数关系的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量在其取值范围内的每一个确定值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，则二者为函数关系。解题时遵循以下步骤：①根据题目描述推导两个变量的数量关系式；②结合实际意义或数学规则确定自变量的取值范围；③验证取值范围内的任意自变量是否都对应唯一的因变量，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可得底长$y$和腰长$x$满足关系式$y=20-2x$，根据三角形三边关系，自变量$x$的取值范围是$5＜x＜10$。对于该范围内任意一个$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此底长$y$和腰长$x$是函数关系。
(2) 由题意可得总销售额$y$元和销售量$x$瓶满足关系式$y=1.2x$，自变量$x$的取值范围是非负整数。对于任意一个销售量$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此总销售额$y$元和销售量$x$瓶是函数关系。
(3) 由题意可得水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$满足关系式$V=10-0.05t$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤ 200$。对于该范围内任意一个$t$的值，都有唯一确定的$V$值与之对应，因此水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$是函数关系。
【答案】
(1) 是函数关系；(2) 是函数关系；(3) 是函数关系
【知识点】
函数的概念，自变量取值范围确定，实际问题函数关系
【点评】
本题是函数概念的基础应用类题目，解题的关键是抓住函数定义中“一个自变量对应唯一因变量”的核心特征，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略实际限制出现错误判断。
【难度系数】
0.8
判断变量是否为函数关系的核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若对于自变量在其取值范围内的每一个确定值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，则二者为函数关系。解题时遵循以下步骤：①根据题目描述推导两个变量的数量关系式；②结合实际意义或数学规则确定自变量的取值范围；③验证取值范围内的任意自变量是否都对应唯一的因变量，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可得底长$y$和腰长$x$满足关系式$y=20-2x$，根据三角形三边关系，自变量$x$的取值范围是$5＜x＜10$。对于该范围内任意一个$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此底长$y$和腰长$x$是函数关系。
(2) 由题意可得总销售额$y$元和销售量$x$瓶满足关系式$y=1.2x$，自变量$x$的取值范围是非负整数。对于任意一个销售量$x$的值，都有唯一确定的$y$值与之对应，因此总销售额$y$元和销售量$x$瓶是函数关系。
(3) 由题意可得水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$满足关系式$V=10-0.05t$，自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤ 200$。对于该范围内任意一个$t$的值，都有唯一确定的$V$值与之对应，因此水池中的水量$V\ \mathrm{L}$与时间$t\ \mathrm{h}$是函数关系。
【答案】
(1) 是函数关系；(2) 是函数关系；(3) 是函数关系
【知识点】
函数的概念，自变量取值范围确定，实际问题函数关系
【点评】
本题是函数概念的基础应用类题目，解题的关键是抓住函数定义中“一个自变量对应唯一因变量”的核心特征，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略实际限制出现错误判断。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在△ABC中，BC=8，边BC上的高x在发生变化。△ABC的面积S = 。在这个问题中，变量有 ，，其中，可以看成 的函数。
答案
解：
由三角形面积公式可得：
$S = \frac{1}{2} × 8 × x = 4x$
在这个问题中，变量有$S$，$x$，其中，$S$可以看成$x$的函数。
由三角形面积公式可得：
$S = \frac{1}{2} × 8 × x = 4x$
在这个问题中，变量有$S$，$x$，其中，$S$可以看成$x$的函数。
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步先回忆三角形面积公式，明确面积与底、高的关系，题目已经给出底BC的长度和高的表示，直接代入公式即可得到面积S的表达式；第二步识别变量，变量是变化过程中数值会发生改变的量，本题中高x可以取不同值，对应的面积S也会随之变化，所以二者都是变量；第三步结合函数的定义判断函数关系：若给定一个自变量的值，有且只有一个因变量的值和它对应，那么因变量就是自变量的函数，本题中给一个x的取值，有唯一的S对应，即可得到函数关系。
【解析】
1. 计算三角形面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知底$BC=8$，BC边上的高为$x$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×8×x=4x$
2. 识别变量与函数关系：
在面积随高变化的过程中，高$x$可以取不同的数值，面积$S$会随$x$的变化而变化，因此变量为$S$和$x$；
根据函数的定义，对于$x$的每一个确定的取值，都有唯一确定的$S$的值与之对应，因此$S$可以看成$x$的函数。
【答案】
$4x$；$S$；$x$；$S$；$x$
【知识点】
三角形面积计算；变量的概念；函数的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，结合几何面积公式考查变量与函数的基础定义，熟练掌握相关公式和概念即可快速完成解答。
【难度系数】
0.9
解题时可分三步思考：第一步先回忆三角形面积公式，明确面积与底、高的关系，题目已经给出底BC的长度和高的表示，直接代入公式即可得到面积S的表达式；第二步识别变量，变量是变化过程中数值会发生改变的量，本题中高x可以取不同值，对应的面积S也会随之变化，所以二者都是变量；第三步结合函数的定义判断函数关系：若给定一个自变量的值，有且只有一个因变量的值和它对应，那么因变量就是自变量的函数，本题中给一个x的取值，有唯一的S对应，即可得到函数关系。
【解析】
1. 计算三角形面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知底$BC=8$，BC边上的高为$x$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×8×x=4x$
2. 识别变量与函数关系：
在面积随高变化的过程中，高$x$可以取不同的数值，面积$S$会随$x$的变化而变化，因此变量为$S$和$x$；
根据函数的定义，对于$x$的每一个确定的取值，都有唯一确定的$S$的值与之对应，因此$S$可以看成$x$的函数。
【答案】
$4x$；$S$；$x$；$S$；$x$
【知识点】
三角形面积计算；变量的概念；函数的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，结合几何面积公式考查变量与函数的基础定义，熟练掌握相关公式和概念即可快速完成解答。
【难度系数】
0.9
2. 分别写出下列函数表达式，并指出其中的常量与变量.
（1）汽车油箱中有汽油 50 L，汽车平均耗油量为 0.1 L/km，如果不再加油，油箱中的油量y L与行驶路程x km之间的关系；
（2）学校图书馆有 450 本图书借给学生阅读，每人借9本，余下的图书数量y和学生人数x之间的关系.
（1）汽车油箱中有汽油 50 L，汽车平均耗油量为 0.1 L/km，如果不再加油，油箱中的油量y L与行驶路程x km之间的关系；
（2）学校图书馆有 450 本图书借给学生阅读，每人借9本，余下的图书数量y和学生人数x之间的关系.
答案
解：
(1) 函数表达式为：$y = 50 - 0.1x$
常量是50和0.1，变量是行驶路程$x$和油箱中的油量$y$。
(2) 函数表达式为：$y = 450 - 9x$
常量是450和9，变量是学生人数$x$和余下的图书数量$y$。
(1) 函数表达式为：$y = 50 - 0.1x$
常量是50和0.1，变量是行驶路程$x$和油箱中的油量$y$。
(2) 函数表达式为：$y = 450 - 9x$
常量是450和9，变量是学生人数$x$和余下的图书数量$y$。
解析
【分析】
解题时先根据实际问题中的数量关系列出函数表达式，再根据“常量是固定不变的量，变量是数值会发生变化的量”区分常量与变量即可。
针对（1）：等量关系为「油箱剩余油量=原有油量 - 行驶消耗的油量」，行驶x km的耗油量为每公里耗油量乘路程，代入等量关系就能得到y与x的表达式；
针对（2）：等量关系为「余下图书数量=图书总数量 - 已借出图书数量」，x名学生借出的图书数量为每人借书量乘学生数，代入等量关系即可得到表达式，再分别识别常量、变量。
【解析】
（1）已知油箱原有汽油50L，行驶x km的耗油量为$0.1x\ \mathrm{L}$，根据剩余油量=原有油量-耗油量，可得函数表达式：
$y = 50 - 0.1x$
其中50、0.1是固定不变的量，为常量；行驶路程x、油箱剩余油量y的数值会随行驶情况变化，为变量。
（2）已知图书馆共有450本图书，x名学生借出的图书数量为$9x$本，根据余下图书数=总图书数-借出图书数，可得函数表达式：
$y = 450 - 9x$
其中450、9是固定不变的量，为常量；学生人数x、余下图书数量y的数值会随借书人数变化，为变量。
【答案】
(1) 函数表达式为：$y = 50 - 0.1x$
常量是50和0.1，变量是行驶路程$x$和油箱中的油量$y$。
(2) 函数表达式为：$y = 450 - 9x$
常量是450和9，变量是学生人数$x$和余下的图书数量$y$。
【知识点】
1. 列实际问题的函数关系式
2. 常量与变量的识别
【点评】
本题是函数部分的基础题型，结合常见的生活场景考查函数基础概念，解题的核心是找准实际问题中的等量关系，同时明确常量和变量的区分标准，掌握相关基础概念后即可快速解答。
【难度系数】
0.85
解题时先根据实际问题中的数量关系列出函数表达式，再根据“常量是固定不变的量，变量是数值会发生变化的量”区分常量与变量即可。
针对（1）：等量关系为「油箱剩余油量=原有油量 - 行驶消耗的油量」，行驶x km的耗油量为每公里耗油量乘路程，代入等量关系就能得到y与x的表达式；
针对（2）：等量关系为「余下图书数量=图书总数量 - 已借出图书数量」，x名学生借出的图书数量为每人借书量乘学生数，代入等量关系即可得到表达式，再分别识别常量、变量。
【解析】
（1）已知油箱原有汽油50L，行驶x km的耗油量为$0.1x\ \mathrm{L}$，根据剩余油量=原有油量-耗油量，可得函数表达式：
$y = 50 - 0.1x$
其中50、0.1是固定不变的量，为常量；行驶路程x、油箱剩余油量y的数值会随行驶情况变化，为变量。
（2）已知图书馆共有450本图书，x名学生借出的图书数量为$9x$本，根据余下图书数=总图书数-借出图书数，可得函数表达式：
$y = 450 - 9x$
其中450、9是固定不变的量，为常量；学生人数x、余下图书数量y的数值会随借书人数变化，为变量。
【答案】
(1) 函数表达式为：$y = 50 - 0.1x$
常量是50和0.1，变量是行驶路程$x$和油箱中的油量$y$。
(2) 函数表达式为：$y = 450 - 9x$
常量是450和9，变量是学生人数$x$和余下的图书数量$y$。
【知识点】
1. 列实际问题的函数关系式
2. 常量与变量的识别
【点评】
本题是函数部分的基础题型，结合常见的生活场景考查函数基础概念，解题的核心是找准实际问题中的等量关系，同时明确常量和变量的区分标准，掌握相关基础概念后即可快速解答。
【难度系数】
0.85
