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4. 如图,在长方形ABCD中,已知$AB=6,AD=4$,在长方形ABCD外画$△ ABE$,使得$AE=BE=5$,请建立适当的平面直角坐标系,并写出各顶点的坐标.
答案
解：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=6，AD=4，
∴ DC=AB=6，BC=AD=4，
可得：$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$。
∵ $AE=BE=5$，
∴ $△ ABE$是等腰三角形，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，由等腰三角形三线合一可知F为AB中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵ 点E在长方形ABCD外，位于AB上方，
∴ 点E的横坐标为3，纵坐标为$4+4=8$，即$E(3,8)$。
（注：坐标系建立方式不唯一，上述为符合要求的一种建法及对应坐标）
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=6，AD=4，
∴ DC=AB=6，BC=AD=4，
可得：$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$。
∵ $AE=BE=5$，
∴ $△ ABE$是等腰三角形，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，由等腰三角形三线合一可知F为AB中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵ 点E在长方形ABCD外，位于AB上方，
∴ 点E的横坐标为3，纵坐标为$4+4=8$，即$E(3,8)$。
（注：坐标系建立方式不唯一，上述为符合要求的一种建法及对应坐标）
解析
【分析】
解决本题首先要选择合适的位置建立平面直角坐标系，通常选择图形的顶点作为原点、相邻边作为坐标轴可以简化坐标计算。第一步先根据长方形对边相等的性质，确定长方形四个顶点的坐标；第二步因为△ABE是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质作出AB边上的高，再通过勾股定理计算高的长度，最后结合E点在长方形外的位置要求，确定E点的坐标即可。
【解析】
以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=6，AD=4，
∴ DC=AB=6，BC=AD=4，
可得：$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$。
∵ $AE=BE=5$，
∴ $△ ABE$是等腰三角形，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，由等腰三角形三线合一可知F为AB中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵ 点E在长方形ABCD外，位于AB上方，
∴ 点E的横坐标为3，纵坐标为$4+4=8$，即$E(3,8)$。
（坐标系建立方式不唯一，上述为符合要求的一种建法及对应坐标）
【答案】
以D为原点，DC为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系时，各点坐标为$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$，$E(3,8)$（建系方式不唯一，合理即可）。
【知识点】
平面直角坐标系的建立；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查平面直角坐标系的灵活应用，解题时要注意坐标系建立的合理性，结合图形的性质简化坐标计算，同时要注意题目中“三角形在长方形外”的限定条件，避免写错点的坐标。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要选择合适的位置建立平面直角坐标系，通常选择图形的顶点作为原点、相邻边作为坐标轴可以简化坐标计算。第一步先根据长方形对边相等的性质，确定长方形四个顶点的坐标；第二步因为△ABE是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质作出AB边上的高，再通过勾股定理计算高的长度，最后结合E点在长方形外的位置要求，确定E点的坐标即可。
【解析】
以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=6，AD=4，
∴ DC=AB=6，BC=AD=4，
可得：$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$。
∵ $AE=BE=5$，
∴ $△ ABE$是等腰三角形，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，由等腰三角形三线合一可知F为AB中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵ 点E在长方形ABCD外，位于AB上方，
∴ 点E的横坐标为3，纵坐标为$4+4=8$，即$E(3,8)$。
（坐标系建立方式不唯一，上述为符合要求的一种建法及对应坐标）
【答案】
以D为原点，DC为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系时，各点坐标为$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$，$E(3,8)$（建系方式不唯一，合理即可）。
【知识点】
平面直角坐标系的建立；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查平面直角坐标系的灵活应用，解题时要注意坐标系建立的合理性，结合图形的性质简化坐标计算，同时要注意题目中“三角形在长方形外”的限定条件，避免写错点的坐标。
【难度系数】
0.8
5. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,5),B(-5,2),C(-1,3).
(1) ① △A₀B₀C₀与△ABC关于y轴对称，在图①中画出△A₀B₀C₀，并写出△A₀B₀C₀三个顶点的坐标；
② 观察图中对应点坐标之间的关系，写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标：.
(2) ① 直线l₁经过点(1,0)，并且与y轴平行，△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l₁对称，在图②中画出△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标.
② 比较图②中△A₁B₁C₁与图①中△A₀B₀C₀的位置关系，你发现了什么？
③ 写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于直线l₁的对称点的坐标：.
(3) 如果要继续探究，你还能提出哪些问题？针对你提出的问题，请分别写出你的结论.
(1) ① △A₀B₀C₀与△ABC关于y轴对称，在图①中画出△A₀B₀C₀，并写出△A₀B₀C₀三个顶点的坐标；
② 观察图中对应点坐标之间的关系，写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标：.
(2) ① 直线l₁经过点(1,0)，并且与y轴平行，△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l₁对称，在图②中画出△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标.
② 比较图②中△A₁B₁C₁与图①中△A₀B₀C₀的位置关系，你发现了什么？
③ 写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于直线l₁的对称点的坐标：.
(3) 如果要继续探究，你还能提出哪些问题？针对你提出的问题，请分别写出你的结论.
答案
解：
(1) ① 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，依次连接得到△A₀B₀C₀。
△A₀B₀C₀三个顶点的坐标为：$A_0(4,5)$，$B_0(5,2)$，$C_0(1,3)$。
② $(-a,b)$
(2) ① 分别作出点A、B、C关于直线$l_1$（直线$x=1$）的对称点，依次连接得到△A₁B₁C₁。
△A₁B₁C₁三个顶点的坐标为：$A_1(6,5)$，$B_1(7,2)$，$C_1(3,3)$。
② 发现：$△ A_1B_1C_1$可由$△ A_0B_0C_0$沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到。
③ $(2-a,b)$
(3) 示例探究问题与结论：
问题1：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于x轴的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(a,-b)$。
问题2：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于平行于y轴的直线$x=m$的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(2m-a,b)$。
问题3：将△ABC先关于y轴对称，再向右平移2个单位得到的图形，与△ABC的对称轴是哪条直线？
结论：两个图形关于直线$x=1$对称。
(1) ① 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，依次连接得到△A₀B₀C₀。
△A₀B₀C₀三个顶点的坐标为：$A_0(4,5)$，$B_0(5,2)$，$C_0(1,3)$。
② $(-a,b)$
(2) ① 分别作出点A、B、C关于直线$l_1$（直线$x=1$）的对称点，依次连接得到△A₁B₁C₁。
△A₁B₁C₁三个顶点的坐标为：$A_1(6,5)$，$B_1(7,2)$，$C_1(3,3)$。
② 发现：$△ A_1B_1C_1$可由$△ A_0B_0C_0$沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到。
③ $(2-a,b)$
(3) 示例探究问题与结论：
问题1：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于x轴的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(a,-b)$。
问题2：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于平行于y轴的直线$x=m$的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(2m-a,b)$。
问题3：将△ABC先关于y轴对称，再向右平移2个单位得到的图形，与△ABC的对称轴是哪条直线？
结论：两个图形关于直线$x=1$对称。
解析
【分析】
（1）解决关于y轴对称的图形问题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数。①先根据这个规律求出A、B、C三点关于y轴的对称点坐标，描点后依次连接即可得到△A₀B₀C₀；②将特殊点的对称规律推广到任意点P(a,b)，即可得到其关于y轴的对称点坐标。
（2）首先确定直线l₁的解析式为x=1，关于平行于y轴的直线x=m对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于m。①据此求出A、B、C三点关于直线x=1的对称点坐标，描点连线得到△A₁B₁C₁；②对比△A₁B₁C₁和△A₀B₀C₀各点坐标，横坐标的变化规律对应平移的方向和距离；③将特殊点的对称规律推广到任意点P(a,b)，即可得到其关于直线l₁的对称点坐标。
（3）可结合已学的x轴对称、关于任意平行于y轴的直线对称等知识提出探究问题，再推导对应结论即可。
【解析】
(1) ① 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此A(-4,5)的对称点A₀横坐标为4，纵坐标为5，即A₀(4,5)；B(-5,2)的对称点B₀(5,2)；C(-1,3)的对称点C₀(1,3)。在图①中描出A₀、B₀、C₀三点，依次连接即可得到△A₀B₀C₀。
② 由①的坐标规律可得，任意点P(a,b)关于y轴的对称点，纵坐标b不变，横坐标变为-a，即坐标为(-a,b)。
(2) ① 直线l₁过(1,0)且与y轴平行，故l₁为直线x=1。关于x=1对称的点纵坐标不变，两点横坐标的平均值为1：设点P(a,b)对称点横坐标为x，则$\frac{a+x}{2}=1$，得$x=2-a$。代入三点坐标：A(-4,5)的对称点A₁横坐标为$2-(-4)=6$，即A₁(6,5)；B(-5,2)的对称点B₁横坐标为$2-(-5)=7$，即B₁(7,2)；C(-1,3)的对称点C₁横坐标为$2-(-1)=3$，即C₁(3,3)。在图②中描出A₁、B₁、C₁三点，依次连接即可得到△A₁B₁C₁。
② 对比△A₁B₁C₁与△A₀B₀C₀的坐标：A₀(4,5)→A₁(6,5)，B₀(5,2)→B₁(7,2)，C₀(1,3)→C₁(3,3)，所有点横坐标加2，纵坐标不变，故△A₁B₁C₁可由△A₀B₀C₀沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到。
③ 由①的推导可得，任意点P(a,b)关于直线l₁的对称点坐标为(2-a,b)。
(3) 示例探究问题与结论：
问题1：平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标是什么？
结论：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，故对称点坐标为$(a,-b)$。
问题2：平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于平行于y轴的直线$x=m$的对称点的坐标是什么？
结论：两点横坐标的平均值为m，故对称点横坐标为$2m-a$，纵坐标不变，即坐标为$(2m-a,b)$。
问题3：将△ABC先关于y轴对称，再向右平移2个单位得到的图形，与△ABC的对称轴是哪条直线？
结论：两次变换后与△ABC关于直线$x=1$对称。
【答案】
(1) ① 画图略，$A_0(4,5)$，$B_0(5,2)$，$C_0(1,3)$；② $\boldsymbol{(-a,b)}$
(2) ① 画图略，$A_1(6,5)$，$B_1(7,2)$，$C_1(3,3)$；② $\boldsymbol{△ A_1B_1C_1}$可由$\boldsymbol{△ A_0B_0C_0}$沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到；③ $\boldsymbol{(2-a,b)}$
(3) 答案不唯一，合理即可，可参考解析示例
【知识点】
坐标轴对称的坐标特征；平行于y轴的直线对称的坐标特征；图形的平移变换
【点评】
本题以平面直角坐标系为载体，考查对称、平移的坐标变换规律，引导学生从特殊图形的变换推导一般点的变换规律，有助于培养从特殊到一般的归纳思维，是坐标变换类的基础题，核心是掌握对称点坐标的推导方法。
【难度系数】
0.8
（1）解决关于y轴对称的图形问题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数。①先根据这个规律求出A、B、C三点关于y轴的对称点坐标，描点后依次连接即可得到△A₀B₀C₀；②将特殊点的对称规律推广到任意点P(a,b)，即可得到其关于y轴的对称点坐标。
（2）首先确定直线l₁的解析式为x=1，关于平行于y轴的直线x=m对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于m。①据此求出A、B、C三点关于直线x=1的对称点坐标，描点连线得到△A₁B₁C₁；②对比△A₁B₁C₁和△A₀B₀C₀各点坐标，横坐标的变化规律对应平移的方向和距离；③将特殊点的对称规律推广到任意点P(a,b)，即可得到其关于直线l₁的对称点坐标。
（3）可结合已学的x轴对称、关于任意平行于y轴的直线对称等知识提出探究问题，再推导对应结论即可。
【解析】
(1) ① 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此A(-4,5)的对称点A₀横坐标为4，纵坐标为5，即A₀(4,5)；B(-5,2)的对称点B₀(5,2)；C(-1,3)的对称点C₀(1,3)。在图①中描出A₀、B₀、C₀三点，依次连接即可得到△A₀B₀C₀。
② 由①的坐标规律可得，任意点P(a,b)关于y轴的对称点，纵坐标b不变，横坐标变为-a，即坐标为(-a,b)。
(2) ① 直线l₁过(1,0)且与y轴平行，故l₁为直线x=1。关于x=1对称的点纵坐标不变，两点横坐标的平均值为1：设点P(a,b)对称点横坐标为x，则$\frac{a+x}{2}=1$，得$x=2-a$。代入三点坐标：A(-4,5)的对称点A₁横坐标为$2-(-4)=6$，即A₁(6,5)；B(-5,2)的对称点B₁横坐标为$2-(-5)=7$，即B₁(7,2)；C(-1,3)的对称点C₁横坐标为$2-(-1)=3$，即C₁(3,3)。在图②中描出A₁、B₁、C₁三点，依次连接即可得到△A₁B₁C₁。
② 对比△A₁B₁C₁与△A₀B₀C₀的坐标：A₀(4,5)→A₁(6,5)，B₀(5,2)→B₁(7,2)，C₀(1,3)→C₁(3,3)，所有点横坐标加2，纵坐标不变，故△A₁B₁C₁可由△A₀B₀C₀沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到。
③ 由①的推导可得，任意点P(a,b)关于直线l₁的对称点坐标为(2-a,b)。
(3) 示例探究问题与结论：
问题1：平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标是什么？
结论：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，故对称点坐标为$(a,-b)$。
问题2：平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于平行于y轴的直线$x=m$的对称点的坐标是什么？
结论：两点横坐标的平均值为m，故对称点横坐标为$2m-a$，纵坐标不变，即坐标为$(2m-a,b)$。
问题3：将△ABC先关于y轴对称，再向右平移2个单位得到的图形，与△ABC的对称轴是哪条直线？
结论：两次变换后与△ABC关于直线$x=1$对称。
【答案】
(1) ① 画图略，$A_0(4,5)$，$B_0(5,2)$，$C_0(1,3)$；② $\boldsymbol{(-a,b)}$
(2) ① 画图略，$A_1(6,5)$，$B_1(7,2)$，$C_1(3,3)$；② $\boldsymbol{△ A_1B_1C_1}$可由$\boldsymbol{△ A_0B_0C_0}$沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到；③ $\boldsymbol{(2-a,b)}$
(3) 答案不唯一，合理即可，可参考解析示例
【知识点】
坐标轴对称的坐标特征；平行于y轴的直线对称的坐标特征；图形的平移变换
【点评】
本题以平面直角坐标系为载体，考查对称、平移的坐标变换规律，引导学生从特殊图形的变换推导一般点的变换规律，有助于培养从特殊到一般的归纳思维，是坐标变换类的基础题，核心是掌握对称点坐标的推导方法。
【难度系数】
0.8
