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1. 下列说法正确的是
（
A.同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B.长度相等的两条弧是等弧
C.正多边形一定是轴对称图形
D.三角形的外心到三角形各边的距离相等
（
C
）A.同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B.长度相等的两条弧是等弧
C.正多边形一定是轴对称图形
D.三角形的外心到三角形各边的距离相等
答案
1. C
解析
【分析】
本题为概念辨析题，解题思路是逐个分析每个选项对应的知识点，结合相关定义判断对错：首先回忆圆中弦、等弧的定义判断A、B选项，再结合正多边形的性质判断C选项，最后根据三角形外心的定义和性质判断D选项，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 同一条弦所对的两条弧，只有当弦为直径时，两条弧都是半圆，属于等弧；若弦不是直径，所对的弧分别是优弧和劣弧，长度不相等，不是等弧，因此A错误。
B. 等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧如果所在圆的半径不同，弧度不同，无法重合，不属于等弧，因此B错误。
C. 正多边形各边相等、各内角相等，正n边形共有n条对称轴，沿任意一条对称轴折叠，图形两侧都能完全重合，因此正多边形一定是轴对称图形，C正确。
D. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等；到三角形各边距离相等的是三角形的内心（三条角平分线的交点），因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
圆的相关概念；正多边形的性质；三角形的外心
【点评】
本题侧重考查基础几何概念的辨析，需要准确记忆易混淆的定义，区分相似概念的不同性质，掌握核心定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题为概念辨析题，解题思路是逐个分析每个选项对应的知识点，结合相关定义判断对错：首先回忆圆中弦、等弧的定义判断A、B选项，再结合正多边形的性质判断C选项，最后根据三角形外心的定义和性质判断D选项，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 同一条弦所对的两条弧，只有当弦为直径时，两条弧都是半圆，属于等弧；若弦不是直径，所对的弧分别是优弧和劣弧，长度不相等，不是等弧，因此A错误。
B. 等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧如果所在圆的半径不同，弧度不同，无法重合，不属于等弧，因此B错误。
C. 正多边形各边相等、各内角相等，正n边形共有n条对称轴，沿任意一条对称轴折叠，图形两侧都能完全重合，因此正多边形一定是轴对称图形，C正确。
D. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等；到三角形各边距离相等的是三角形的内心（三条角平分线的交点），因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
圆的相关概念；正多边形的性质；三角形的外心
【点评】
本题侧重考查基础几何概念的辨析，需要准确记忆易混淆的定义，区分相似概念的不同性质，掌握核心定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 以平面直角坐标系的原点O为圆心，$\sqrt{2}$为半径作$\odot O$，则点P(-1，1)与$\odot O$的位置关系是 （
A.在$\odot O$内
B.在$\odot O$上
C.在$\odot O$外
D.不能确定
B
）A.在$\odot O$内
B.在$\odot O$上
C.在$\odot O$外
D.不能确定
答案
2. B
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，需先明确判定规则：若点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外。因此本题首先需要计算点P到圆心O的距离，再将该距离与半径√2比较大小，即可得出结论。
【解析】
已知圆心O为坐标原点(0,0)，⊙O的半径r=√2。
根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，点P(-1,1)到原点O的距离为：
$OP=\sqrt{(-1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
因为$OP=r=\sqrt{2}$，所以点P在⊙O上，故选B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定；两点间距离公式计算
【点评】
本题是点与圆位置关系相关的基础题型，解题核心是掌握点到圆心距离与圆半径的大小比较规则，结合两点间距离公式计算即可求解。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，需先明确判定规则：若点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外。因此本题首先需要计算点P到圆心O的距离，再将该距离与半径√2比较大小，即可得出结论。
【解析】
已知圆心O为坐标原点(0,0)，⊙O的半径r=√2。
根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，点P(-1,1)到原点O的距离为：
$OP=\sqrt{(-1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
因为$OP=r=\sqrt{2}$，所以点P在⊙O上，故选B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定；两点间距离公式计算
【点评】
本题是点与圆位置关系相关的基础题型，解题核心是掌握点到圆心距离与圆半径的大小比较规则，结合两点间距离公式计算即可求解。
【难度系数】
0.9
3. 如图，从$\odot O$外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长，交$\odot O$于点C，连接BC. 若$∠ A=32°$，则$∠ ACB$的度数是 （
A.$31°$
B.$30°$
C.$29°$
D.$28°$
C
）A.$31°$
B.$30°$
C.$29°$
D.$28°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，构造出直角三角形ABO，结合已知的∠A的度数求出圆心角∠AOB的度数；再根据等腰三角形的性质与外角性质（或圆周角定理），即可推导出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠A=32°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-32°=58°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，即OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB，
又
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB÷2=58°÷2=29°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题核心是掌握切线的性质，通过连接切点与圆心构造直角三角形，再结合角的关系即可快速求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，构造出直角三角形ABO，结合已知的∠A的度数求出圆心角∠AOB的度数；再根据等腰三角形的性质与外角性质（或圆周角定理），即可推导出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠A=32°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-32°=58°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，即OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB，
又
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB÷2=58°÷2=29°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题核心是掌握切线的性质，通过连接切点与圆心构造直角三角形，再结合角的关系即可快速求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$PA$，$PB$，$CD$分别切$\odot O$于点$A$，$B$，$E$，$CD$分别交$PA$，$PB$于点$C$，$D$. 有下列说法：① $PA=PB$；② $∠ ACO=∠ DCO$；③ $∠ BOE$和$∠ BDE$互补；④ $△ PCD$的周长是线段$PB$长度的2倍. 其中说法正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. D
解析
【分析】
要判断4个说法是否正确，我们结合切线相关性质逐一分析：首先回忆切线长定理（圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角）、切线的性质（切线垂直于过切点的半径）、四边形内角和为360°等知识点，逐个验证每个结论即可。
【解析】
我们逐一判断每个说法：
1. 判断①：$\because PA、PB$分别切$\odot O$于$A、B$，根据切线长定理，从圆外一点$P$引圆的两条切线，切线长相等，$\therefore PA=PB$，故①正确。
2. 判断②：$\because CA、CE$都是从点$C$引向$\odot O$的切线，根据切线长定理，$OC$平分$∠ ACD$，即$∠ ACO=∠ DCO$，故②正确。
3. 判断③：$\because CD$切$\odot O$于$E$，$PB$切$\odot O$于$B$，根据切线的性质，$\therefore OE⊥ CD$，$OB⊥ PB$，即$∠ OED=∠ OBD=90°$。在四边形$OBDE$中，内角和为$360°$，$\therefore ∠ BOE + ∠ BDE = 360° - 90° - 90° = 180°$，即$∠ BOE$和$∠ BDE$互补，故③正确。
4. 判断④：根据切线长定理可得：$CA=CE$，$DE=DB$，且$PA=PB$。$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB$，结合$PA=PB$，可得周长$=2PB$，故④正确。
综上，4个说法都正确。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，四边形内角和
【点评】
本题是切线性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线长定理和切线的性质，逐一验证结论即可，解题时要注意将三角形周长通过切线长定理转化为已知的切线长。
【难度系数】
0.7
要判断4个说法是否正确，我们结合切线相关性质逐一分析：首先回忆切线长定理（圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角）、切线的性质（切线垂直于过切点的半径）、四边形内角和为360°等知识点，逐个验证每个结论即可。
【解析】
我们逐一判断每个说法：
1. 判断①：$\because PA、PB$分别切$\odot O$于$A、B$，根据切线长定理，从圆外一点$P$引圆的两条切线，切线长相等，$\therefore PA=PB$，故①正确。
2. 判断②：$\because CA、CE$都是从点$C$引向$\odot O$的切线，根据切线长定理，$OC$平分$∠ ACD$，即$∠ ACO=∠ DCO$，故②正确。
3. 判断③：$\because CD$切$\odot O$于$E$，$PB$切$\odot O$于$B$，根据切线的性质，$\therefore OE⊥ CD$，$OB⊥ PB$，即$∠ OED=∠ OBD=90°$。在四边形$OBDE$中，内角和为$360°$，$\therefore ∠ BOE + ∠ BDE = 360° - 90° - 90° = 180°$，即$∠ BOE$和$∠ BDE$互补，故③正确。
4. 判断④：根据切线长定理可得：$CA=CE$，$DE=DB$，且$PA=PB$。$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB$，结合$PA=PB$，可得周长$=2PB$，故④正确。
综上，4个说法都正确。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，四边形内角和
【点评】
本题是切线性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线长定理和切线的性质，逐一验证结论即可，解题时要注意将三角形周长通过切线长定理转化为已知的切线长。
【难度系数】
0.7
5. 已知点O是△ABC外心，若∠BOC=80°，则∠A的度数是
40°或140°
。答案
5. 40°或140°
解析
【分析】
首先明确三角形外心是其外接圆的圆心，∠BOC是外接圆中弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角。由于点A的位置有两种可能：在优弧BC上或劣弧BC上，因此需要结合圆周角定理分情况讨论求解，避免漏解。
【解析】
已知O是△ABC的外心，即O是△ABC外接圆的圆心：
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×80° = 40°$；
② 当点A在劣弧BC上时，弧BC对应的优弧度数为$360° - 80° = 280°$，此时∠A是该优弧所对的圆周角，可得
$∠ A = \frac{1}{2}×280° = 140°$。
综上，∠A的度数为40°或140°。
【答案】
40°或140°
【知识点】
1. 三角形外心的定义
2. 圆周角定理
【点评】
本题易出现仅考虑锐角三角形场景，漏算点A在劣弧上的情况，解题时需注意结合外接圆的特征分类讨论，考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
首先明确三角形外心是其外接圆的圆心，∠BOC是外接圆中弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角。由于点A的位置有两种可能：在优弧BC上或劣弧BC上，因此需要结合圆周角定理分情况讨论求解，避免漏解。
【解析】
已知O是△ABC的外心，即O是△ABC外接圆的圆心：
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×80° = 40°$；
② 当点A在劣弧BC上时，弧BC对应的优弧度数为$360° - 80° = 280°$，此时∠A是该优弧所对的圆周角，可得
$∠ A = \frac{1}{2}×280° = 140°$。
综上，∠A的度数为40°或140°。
【答案】
40°或140°
【知识点】
1. 三角形外心的定义
2. 圆周角定理
【点评】
本题易出现仅考虑锐角三角形场景，漏算点A在劣弧上的情况，解题时需注意结合外接圆的特征分类讨论，考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，点D，C在$\odot O$上，连接AD，BD，DC，AC，如果$∠ BAD=25°$，那么$∠ C$的度数是
65°
。答案
6. 65°
解析
【分析】
解题时先观察题干条件，AB为⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得△ABD是直角三角形；已知∠BAD的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ABD的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，∠C和∠ABD对应同一段弧AD，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABD中，∠BAD=25°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-25°=65°，
又
∵∠C和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠C=∠ABD=65°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
65°
【知识点】
直径的圆周角性质、直角三角形两锐角互余、同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆的基础题型，主要考查圆的基本性质和直角三角形的角度计算，解题的核心是找到同弧对应的相等圆周角，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干条件，AB为⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得△ABD是直角三角形；已知∠BAD的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ABD的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，∠C和∠ABD对应同一段弧AD，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABD中，∠BAD=25°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-25°=65°，
又
∵∠C和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠C=∠ABD=65°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
65°
【知识点】
直径的圆周角性质、直角三角形两锐角互余、同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆的基础题型，主要考查圆的基本性质和直角三角形的角度计算，解题的核心是找到同弧对应的相等圆周角，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC交弦AB于点P，且$AB=10$，$PB=4$，$PC=2$，则OC的长为
7
。答案
7. 7
解析
【分析】
要求OC的长，OC是圆的半径，我们可以结合垂径定理和勾股定理求解：首先根据已知AB的长度，利用垂径定理得到AB一半的长度，再算出PB和AB一半的差值得到小直角三角形的一条直角边长度，设OC的长为半径r，用r表示出OP的长度，最后借助两个共直角边的直角三角形的勾股定理表达式列等式，即可求出r的值。也可以利用相交弦定理，通过延长CO构造直径，直接列等式求解。
【解析】
过点O作$OH ⊥ AB$于点H，根据垂径定理可得：
$AH=HB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 10=5$
已知$PB=4$，则$PH=HB-PB=5-4=1$
设$OC=r$，则$\odot O$的半径$OB=OC=r$，又$PC=2$，因此$OP=OC-PC=r-2$
在$Rt△ OHP$中，由勾股定理得：$OH^2=OP^2-PH^2=(r-2)^2-1^2$
在$Rt△ OHB$中，由勾股定理得：$OH^2=OB^2-HB^2=r^2-5^2$
联立两式可得：
$(r-2)^2-1=r^2-25$
展开化简：$r^2-4r+3=r^2-25$
解得$r=7$
【答案】
7
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题，核心是结合圆的性质构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要求OC的长，OC是圆的半径，我们可以结合垂径定理和勾股定理求解：首先根据已知AB的长度，利用垂径定理得到AB一半的长度，再算出PB和AB一半的差值得到小直角三角形的一条直角边长度，设OC的长为半径r，用r表示出OP的长度，最后借助两个共直角边的直角三角形的勾股定理表达式列等式，即可求出r的值。也可以利用相交弦定理，通过延长CO构造直径，直接列等式求解。
【解析】
过点O作$OH ⊥ AB$于点H，根据垂径定理可得：
$AH=HB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 10=5$
已知$PB=4$，则$PH=HB-PB=5-4=1$
设$OC=r$，则$\odot O$的半径$OB=OC=r$，又$PC=2$，因此$OP=OC-PC=r-2$
在$Rt△ OHP$中，由勾股定理得：$OH^2=OP^2-PH^2=(r-2)^2-1^2$
在$Rt△ OHB$中，由勾股定理得：$OH^2=OB^2-HB^2=r^2-5^2$
联立两式可得：
$(r-2)^2-1=r^2-25$
展开化简：$r^2-4r+3=r^2-25$
解得$r=7$
【答案】
7
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题，核心是结合圆的性质构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
