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10. 如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB⊥BC，垂足为B，AB＝5，BC＝4，CD＝2，以AB所在直线为轴，把四边形ABCD旋转一周得到一个几何体.求这个几何体的表面积(结果保留π).
答案
10. 四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周形成的面所围成的几何体的上部为圆锥、下部为圆柱. 如图
，过点 D 作 $DE ⊥ AB$，垂足为 E，则 $DE = BC = 4$，$BE = CD = 2$，$AE = 3$，$AD = \sqrt{DE^2 + AE^2} = 5$，所以这个几何体的表面积为 $S_{\mathrm{圆锥侧}} + S_{\mathrm{圆柱侧}} + S_{\mathrm{圆}} = 2^2 × 5π + 2^2 × 4π + 2^2 × 4π = 20π + 16π + 16π = 52π$解析
【分析】
首先判断四边形ABCD绕AB旋转后得到的几何体：因AB//DC且AB⊥BC，旋转后得到上方是圆锥、下方是圆柱的组合体。求解该几何体表面积，需先明确表面积的组成：仅计算圆锥侧面积、圆柱侧面积、圆柱下底面的圆面积，二者重合的内部面不计入表面积。接下来作辅助线DE⊥AB，利用矩形性质得到DE、BE的长度，再用勾股定理求出圆锥的母线长AD，最后代入对应面积公式求和即可。
【解析】
解：将四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体是上部为圆锥、下部为圆柱的组合体。
过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E，
∵$AB // DC$，$AB ⊥ BC$，
∴四边形BCDE为矩形，
∴$DE = BC = 4$，$BE = CD = 2$，
∴$AE = AB - BE = 5 - 2 = 3$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，即圆锥的母线长为5，圆锥和圆柱的底面半径均为4，圆柱的高为2。
根据面积公式：
圆锥侧面积$S_{\mathrm{圆锥侧}} = π r l = π × 4 × 5 = 20π$，
圆柱侧面积$S_{\mathrm{圆柱侧}} = 2π r h = 2π × 4 × 2 = 16π$，
圆柱下底面积$S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 4^2 = 16π$，
∴该几何体的总表面积$S = 20π + 16π + 16π = 52π$。
【答案】
四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周形成的面所围成的几何体的上部为圆锥、下部为圆柱. 如图，过点 D 作 $DE ⊥ AB$，垂足为 E，则 $DE = BC = 4$，$BE = CD = 2$，$AE = 3$，$AD = \sqrt{DE^2 + AE^2} = 5$，所以这个几何体的表面积为 $S_{\mathrm{圆锥侧}} + S_{\mathrm{圆柱侧}} + S_{\mathrm{圆}} = 2^2 × 5π + 2^2 × 4π + 2^2 × 4π = 20π + 16π + 16π = 52π$
【知识点】
旋转体的认识、圆柱圆锥侧面积计算、勾股定理
【点评】
本题核心是先确定旋转后组合体的构成，再明确表面积包含的面，不要漏算或者多算重合的内部面，结合勾股定理求出圆锥母线长后代入对应公式即可求解。
【难度系数】
0.6
首先判断四边形ABCD绕AB旋转后得到的几何体：因AB//DC且AB⊥BC，旋转后得到上方是圆锥、下方是圆柱的组合体。求解该几何体表面积，需先明确表面积的组成：仅计算圆锥侧面积、圆柱侧面积、圆柱下底面的圆面积，二者重合的内部面不计入表面积。接下来作辅助线DE⊥AB，利用矩形性质得到DE、BE的长度，再用勾股定理求出圆锥的母线长AD，最后代入对应面积公式求和即可。
【解析】
解：将四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体是上部为圆锥、下部为圆柱的组合体。
过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E，
∵$AB // DC$，$AB ⊥ BC$，
∴四边形BCDE为矩形，
∴$DE = BC = 4$，$BE = CD = 2$，
∴$AE = AB - BE = 5 - 2 = 3$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，即圆锥的母线长为5，圆锥和圆柱的底面半径均为4，圆柱的高为2。
根据面积公式：
圆锥侧面积$S_{\mathrm{圆锥侧}} = π r l = π × 4 × 5 = 20π$，
圆柱侧面积$S_{\mathrm{圆柱侧}} = 2π r h = 2π × 4 × 2 = 16π$，
圆柱下底面积$S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 4^2 = 16π$，
∴该几何体的总表面积$S = 20π + 16π + 16π = 52π$。
【答案】
四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周形成的面所围成的几何体的上部为圆锥、下部为圆柱. 如图
，过点 D 作 $DE ⊥ AB$，垂足为 E，则 $DE = BC = 4$，$BE = CD = 2$，$AE = 3$，$AD = \sqrt{DE^2 + AE^2} = 5$，所以这个几何体的表面积为 $S_{\mathrm{圆锥侧}} + S_{\mathrm{圆柱侧}} + S_{\mathrm{圆}} = 2^2 × 5π + 2^2 × 4π + 2^2 × 4π = 20π + 16π + 16π = 52π$【知识点】
旋转体的认识、圆柱圆锥侧面积计算、勾股定理
【点评】
本题核心是先确定旋转后组合体的构成，再明确表面积包含的面，不要漏算或者多算重合的内部面，结合勾股定理求出圆锥母线长后代入对应公式即可求解。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝9 cm，BC＝6 cm，点O在AB上，若以O为圆心画弧，与BC相切于点B，与CD相切于点E，交AD于点F，连接FO. 把扇形BOF剪下，围成一个圆锥的侧面（不计接口尺寸）.
（1）求圆锥的底面半径；
（2）求阴影部分的面积.
（1）求圆锥的底面半径；
（2）求阴影部分的面积.
答案
11. (1) 如图
，连接 OE，$\because CD$ 与 $\odot O$ 相切，$\therefore OE ⊥ CD$，且 $OE = OB = OF = BC = 6\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 在矩形 ABCD 中，$OA = AB - OB = 9 - 6 = 3(\mathrm{cm})$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$OA = 3\ \mathrm{cm}$，$OF = 6\ \mathrm{cm}$，$\therefore ∠ AOF = 60°$，$AF = \sqrt{OF^2 - OA^2} = 3\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$. $\therefore ∠ BOF = 120°$. $\therefore$ 弧长 $= \frac{120π × 6}{180} = 4π$，则圆锥的底面半径为 $\frac{4π}{2π} = 2(\mathrm{cm})$(2) $\because ∠ BOF = 120°$，$∠ EOB = 90°$，$\therefore ∠ EOF = 30°$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{矩形}AOED} - S_{△ AOF} - S_{\mathrm{扇形}EOF} = 3 × 6 - \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{3} - \frac{30π × 6^2}{360} = (18 - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3π)\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解决本题可分两部分梳理思路：（1）先利用切线的性质确定圆O的半径，再结合矩形边长求出OA的长度，在直角三角形AOF中求出扇形BOF的圆心角，计算弧BF的长度，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求解圆锥底面半径。（2）先求出扇形EOF的圆心角，将不规则的阴影部分面积转化为矩形AOED的面积减去直角三角形AOF的面积、再减去扇形EOF的面积，分别代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OE，
∵ CD与$\odot O$相切，
∴ $OE ⊥ CD$，
又
∵ 弧与BC相切于点B，四边形ABCD是矩形，
∴ $OE = OB = OF = BC = 6\ \mathrm{cm}$，
∴ $OA = AB - OB = 9 - 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△AOF$中，$OA=3\ \mathrm{cm}$，$OF=6\ \mathrm{cm}$，
$\cos∠AOF=\frac{OA}{OF}=\frac{1}{2}$，故$∠AOF=60°$，
∴ $∠BOF=180°-60°=120°$，
弧BF的长度为$\frac{120π × 6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥底面半径为r，圆锥底面周长等于弧长，即$2π r=4π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵ $OE ⊥ CD$，$AB // CD$，
∴ $OE ⊥ AB$，即$∠EOB=90°$，
∴ $∠EOF=∠BOF - ∠EOB=120°-90°=30°$。
矩形AOED的面积为$3×6=18\ \mathrm{cm^2}$，
$\mathrm{Rt}△AOF$中，$AF=\sqrt{OF^2-OA^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$S_{△AOF}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm^2}$，
扇形EOF的面积为$\frac{30π×6^2}{360}=3π\ \mathrm{cm^2}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=18 - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3π\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
11. (1) 如图，连接 OE，$\because CD$ 与 $\odot O$ 相切，$\therefore OE ⊥ CD$，且 $OE = OB = OF = BC = 6\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 在矩形 ABCD 中，$OA = AB - OB = 9 - 6 = 3(\mathrm{cm})$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$OA = 3\ \mathrm{cm}$，$OF = 6\ \mathrm{cm}$，$\therefore ∠ AOF = 60°$，$AF = \sqrt{OF^2 - OA^2} = 3\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$. $\therefore ∠ BOF = 120°$. $\therefore$ 弧长 $= \frac{120π × 6}{180} = 4π$，则圆锥的底面半径为 $\frac{4π}{2π} = 2(\mathrm{cm})$
(2) $\because ∠ BOF = 120°$，$∠ EOB = 90°$，$\therefore ∠ EOF = 30°$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{矩形}AOED} - S_{△ AOF} - S_{\mathrm{扇形}EOF} = 3 × 6 - \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{3} - \frac{30π × 6^2}{360} = (18 - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
切线的性质，圆锥计算，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的性质与图形面积计算，解题的核心是找准各几何量的数量关系，灵活运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差求解，是圆的应用类典型题型。
【难度系数】
0.6
解决本题可分两部分梳理思路：（1）先利用切线的性质确定圆O的半径，再结合矩形边长求出OA的长度，在直角三角形AOF中求出扇形BOF的圆心角，计算弧BF的长度，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求解圆锥底面半径。（2）先求出扇形EOF的圆心角，将不规则的阴影部分面积转化为矩形AOED的面积减去直角三角形AOF的面积、再减去扇形EOF的面积，分别代入对应公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OE，
∵ CD与$\odot O$相切，
∴ $OE ⊥ CD$，
又
∵ 弧与BC相切于点B，四边形ABCD是矩形，
∴ $OE = OB = OF = BC = 6\ \mathrm{cm}$，
∴ $OA = AB - OB = 9 - 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△AOF$中，$OA=3\ \mathrm{cm}$，$OF=6\ \mathrm{cm}$，
$\cos∠AOF=\frac{OA}{OF}=\frac{1}{2}$，故$∠AOF=60°$，
∴ $∠BOF=180°-60°=120°$，
弧BF的长度为$\frac{120π × 6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥底面半径为r，圆锥底面周长等于弧长，即$2π r=4π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵ $OE ⊥ CD$，$AB // CD$，
∴ $OE ⊥ AB$，即$∠EOB=90°$，
∴ $∠EOF=∠BOF - ∠EOB=120°-90°=30°$。
矩形AOED的面积为$3×6=18\ \mathrm{cm^2}$，
$\mathrm{Rt}△AOF$中，$AF=\sqrt{OF^2-OA^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$S_{△AOF}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm^2}$，
扇形EOF的面积为$\frac{30π×6^2}{360}=3π\ \mathrm{cm^2}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=18 - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3π\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
11. (1) 如图
，连接 OE，$\because CD$ 与 $\odot O$ 相切，$\therefore OE ⊥ CD$，且 $OE = OB = OF = BC = 6\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 在矩形 ABCD 中，$OA = AB - OB = 9 - 6 = 3(\mathrm{cm})$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中，$OA = 3\ \mathrm{cm}$，$OF = 6\ \mathrm{cm}$，$\therefore ∠ AOF = 60°$，$AF = \sqrt{OF^2 - OA^2} = 3\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$. $\therefore ∠ BOF = 120°$. $\therefore$ 弧长 $= \frac{120π × 6}{180} = 4π$，则圆锥的底面半径为 $\frac{4π}{2π} = 2(\mathrm{cm})$(2) $\because ∠ BOF = 120°$，$∠ EOB = 90°$，$\therefore ∠ EOF = 30°$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{矩形}AOED} - S_{△ AOF} - S_{\mathrm{扇形}EOF} = 3 × 6 - \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{3} - \frac{30π × 6^2}{360} = (18 - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
切线的性质，圆锥计算，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的性质与图形面积计算，解题的核心是找准各几何量的数量关系，灵活运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差求解，是圆的应用类典型题型。
【难度系数】
0.6
12. 在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型(尺寸大小如图①，单位：cm)，操作规则：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面. 经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案(图②)，最后发现根据方案一无法制作出相关模型. (两个方案的示意图中，两圆圆心$O_1$，$O_2$与正方形纸片$O_1BCD$的顶点$C$在同一条直线上)
(1) 请根据圆锥体模型的尺寸(图①)，求该圆锥体的表面积；(结果保留$π$)
(2) 请说明方案一不可行的理由；
(3) 兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长.
(1) 请根据圆锥体模型的尺寸(图①)，求该圆锥体的表面积；(结果保留$π$)
(2) 请说明方案一不可行的理由；
(3) 兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长.
答案
12. (1) 圆锥的表面积 $= π · 16 × 4 + π × 4^2 = 80π\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 如图
，作 $O_2F ⊥ BC$. $\because$ 扇形的弧长 $= 16 × \frac{π}{2} = 8π$，圆锥底面周长 $= 2π r$，$\therefore$ 圆的半径 $O_2E = r = 4\ \mathrm{cm}$. $\therefore △ CO_2F$ 为等腰直角三角形. $\therefore O_2C = \sqrt{2}O_2F = \sqrt{2}O_2E = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$. $\because O_1E = O_1D = 16\ \mathrm{cm}$，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 $AE + EO_2 + O_2C = 16 + 4 + 4\sqrt{2} = (20 + 4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，$\because 20 + 4\sqrt{2} ＞ 16\sqrt{2}$，$\therefore$ 方案一不可行(3) 设圆锥底面圆的半径为 $r\ \mathrm{cm}$，由题意，$2π r = \frac{90π × 16}{180}$，$\therefore r = 4\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 正方形的对角线的长 $= 16 + 4 + 4\sqrt{2} = (20 + 4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 正方形的边长为 $(10\sqrt{2} + 4)\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
(1) 圆锥表面积由侧面积和底面积两部分组成，侧面积公式为$π rl$（$l$为母线长，$r$为底面半径），底面积公式为$π r^2$，代入已知的母线长16cm、底面半径4cm计算即可。
(2) 判断方案一是否可行：先根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求出所需底面圆的半径；再结合两圆心与点$C$共线、正方形的性质，计算按方案一制作圆锥需要的正方形对角线长度，和边长为16cm的正方形实际对角线长度比较，若所需长度大于实际长度则方案不可行。
(3) 求方案二正方形边长：先由弧长等于底面周长求出底面圆半径，结合两圆心与点$C$共线的条件得出正方形对角线总长度，再根据“正方形边长=对角线长$÷\sqrt{2}$”计算边长。
【解析】
(1) 已知圆锥母线长$l=16\mathrm{cm}$，底面半径$r=4\mathrm{cm}$：
圆锥侧面积$S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×16×4=64π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$，
因此圆锥表面积$S=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=64π+16π=80π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 扇形圆心角为$90°$，半径为16cm，弧长$l_{\mathrm{弧}}=\frac{90π×16}{180}=8π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥底面圆半径为$r$，由底面周长等于扇形弧长得$2π r=8π$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
作$O_2F⊥ BC$，因$O_1$、$O_2$、$C$共线，四边形$O_1BCD$是正方形，故$△ CO_2F$为等腰直角三角形，$O_2C=\sqrt{2}O_2F=\sqrt{2}r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
制作圆锥需要的正方形对角线长为$16+4+4\sqrt{2}=(20+4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，而边长为16cm的正方形实际对角线长为$16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$20+4\sqrt{2}＞16\sqrt{2}$，因此方案一不可行。
(3) 设方案二中圆锥底面圆半径为$r\ \mathrm{cm}$，同理可得$2π r=\frac{90π×16}{180}$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
正方形对角线长为$16+4+4\sqrt{2}=(20+4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，因此正方形边长为$\frac{20+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}+4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 圆锥的表面积为$80π\ \mathrm{cm}^2$
(2) 如图，作 $O_2F ⊥ BC$. $\because$ 扇形的弧长 $= 16 × \frac{π}{2} = 8π$，圆锥底面周长 $= 2π r$，$\therefore$ 圆的半径 $O_2E = r = 4\ \mathrm{cm}$. $\therefore △ CO_2F$ 为等腰直角三角形. $\therefore O_2C = \sqrt{2}O_2F = \sqrt{2}O_2E = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$. $\because O_1E = O_1D = 16\ \mathrm{cm}$，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 $O_1E + EO_2 + O_2C = 16 + 4 + 4\sqrt{2} = (20 + 4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，$\because 20 + 4\sqrt{2} ＞ 16\sqrt{2}$，$\therefore$ 方案一不可行
(3) 方案二中正方形纸片的边长为$(10\sqrt{2} + 4)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；正方形的性质
【点评】
本题结合圆锥实际制作场景考查几何计算，既需要掌握圆锥展开图和底面的对应关系，又要结合等腰直角三角形、正方形的性质分析线段长度，能有效考查知识的综合运用能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 圆锥表面积由侧面积和底面积两部分组成，侧面积公式为$π rl$（$l$为母线长，$r$为底面半径），底面积公式为$π r^2$，代入已知的母线长16cm、底面半径4cm计算即可。
(2) 判断方案一是否可行：先根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求出所需底面圆的半径；再结合两圆心与点$C$共线、正方形的性质，计算按方案一制作圆锥需要的正方形对角线长度，和边长为16cm的正方形实际对角线长度比较，若所需长度大于实际长度则方案不可行。
(3) 求方案二正方形边长：先由弧长等于底面周长求出底面圆半径，结合两圆心与点$C$共线的条件得出正方形对角线总长度，再根据“正方形边长=对角线长$÷\sqrt{2}$”计算边长。
【解析】
(1) 已知圆锥母线长$l=16\mathrm{cm}$，底面半径$r=4\mathrm{cm}$：
圆锥侧面积$S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×16×4=64π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$，
因此圆锥表面积$S=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=64π+16π=80π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 扇形圆心角为$90°$，半径为16cm，弧长$l_{\mathrm{弧}}=\frac{90π×16}{180}=8π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥底面圆半径为$r$，由底面周长等于扇形弧长得$2π r=8π$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
作$O_2F⊥ BC$，因$O_1$、$O_2$、$C$共线，四边形$O_1BCD$是正方形，故$△ CO_2F$为等腰直角三角形，$O_2C=\sqrt{2}O_2F=\sqrt{2}r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
制作圆锥需要的正方形对角线长为$16+4+4\sqrt{2}=(20+4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，而边长为16cm的正方形实际对角线长为$16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$20+4\sqrt{2}＞16\sqrt{2}$，因此方案一不可行。
(3) 设方案二中圆锥底面圆半径为$r\ \mathrm{cm}$，同理可得$2π r=\frac{90π×16}{180}$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
正方形对角线长为$16+4+4\sqrt{2}=(20+4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，因此正方形边长为$\frac{20+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}+4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 圆锥的表面积为$80π\ \mathrm{cm}^2$
(2) 如图
，作 $O_2F ⊥ BC$. $\because$ 扇形的弧长 $= 16 × \frac{π}{2} = 8π$，圆锥底面周长 $= 2π r$，$\therefore$ 圆的半径 $O_2E = r = 4\ \mathrm{cm}$. $\therefore △ CO_2F$ 为等腰直角三角形. $\therefore O_2C = \sqrt{2}O_2F = \sqrt{2}O_2E = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$. $\because O_1E = O_1D = 16\ \mathrm{cm}$，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 $O_1E + EO_2 + O_2C = 16 + 4 + 4\sqrt{2} = (20 + 4\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，$\because 20 + 4\sqrt{2} ＞ 16\sqrt{2}$，$\therefore$ 方案一不可行(3) 方案二中正方形纸片的边长为$(10\sqrt{2} + 4)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；正方形的性质
【点评】
本题结合圆锥实际制作场景考查几何计算，既需要掌握圆锥展开图和底面的对应关系，又要结合等腰直角三角形、正方形的性质分析线段长度，能有效考查知识的综合运用能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
