例1 解下列方程：
(1) $x^2 - 6x + 3 = 0$；
(2) $x^2 + 2 = 2\sqrt{5}x$；
(3) $x^2 - 3x - 1 = 0$；
(4) $x^2 - \frac{8}{3}x = 1$。

(1) $x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$ (2) $x_1=\sqrt{5}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ (3) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ (4) $x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$

【分析】
这四道题均为一元二次方程求解类题目，解题思路如下：第一步先将每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，确定$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况，若$\Delta\ge0$则方程有实数根，可继续求解；第三步代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 6x + 3 = 0$，其中$a=1,b=-6,c=3$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×3=36-12=24＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{6\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{6\pm2\sqrt{6}}{2}=3\pm\sqrt{6}$
(2) 先将方程整理为一般式：$x^2-2\sqrt{5}x+2=0$，其中$a=1,b=-2\sqrt{5},c=2$
判别式$\Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×1×2=20-8=12＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{12}}{2×1}=\frac{2\sqrt{5}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{5}\pm\sqrt{3}$
(3) 对于方程$x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a=1,b=-3,c=-1$
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
(4) 先将方程两边同乘3整理为整系数一般式：$3x^2-8x-3=0$，其中$a=3,b=-8,c=-3$
判别式$\Delta=(-8)^2-4×3×(-3)=64+36=100＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{8\pm\sqrt{100}}{2×3}=\frac{8\pm10}{6}$
取正号时$x=\frac{8+10}{6}=3$，取负号时$x=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$ (2) $x_1=\sqrt{5}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ (3) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ (4) $x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程解法、求根公式应用、判别式计算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考察对求根公式的掌握程度，解题时需注意先将方程整理为标准一般式，准确识别$a、b、c$的符号，避免因符号错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7

例2 用配方法说明:不论k取何实数,多项式$k^2 -4k +5$的值必定大于零.

$k^2 -4k +5 = k^2 -4k +4 -4 +5 = (k-2)^2 +1$，$\because (k-2)^2 \ge 0$，$\therefore (k-2)^2 +1 ＞0$。
∴不论k取何实数，多项式$k^2 -4k +5$的值必定大于0。

【分析】
要证明多项式的值恒大于0，可通过配方法将多项式变形为“完全平方式+常数”的形式，再利用平方的非负性判断取值。首先观察多项式结构：二次项系数为1，一次项系数为-4，根据完全平方公式的特征，需要添加一次项系数一半的平方（即$(-4÷2)^2=4$）凑成完全平方，再将常数项5拆分为4+1即可完成配方，最后结合完全平方的非负性推导结论。
【解析】
解：对多项式进行配方：
$\begin{aligned}k^2 -4k +5 &= k^2 -4k +4 -4 +5 \\&=(k-2)^2 +1\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即对任意实数$k$，都有$(k-2)^2 \ge 0$
∴ $(k-2)^2 +1 \ge 0+1=1$，即$(k-2)^2 +1 ＞0$
∴ 不论$k$取何实数，多项式$k^2 -4k +5$的值必定大于零。
【答案】
不论k取何实数，多项式$k^2 -4k +5$的值必定大于零。
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题考查配方法在代数式取值判断中的应用，解题关键是掌握配方法的基本步骤，正确将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，结合非负数的性质即可快速判断代数式的取值范围，属于配方法的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

1. 将一元二次方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$化成$(x+a)^2 = b$（$a$，$b$为常数）的形式，则$a$，$b$的值分别是（）

A.$-1,2024$
B.$1,2025$
C.$1,2026$
D.$-1,2026$

1.D

【分析】
本题需要用配方法将给定的一元二次方程变形为指定的完全平方形式，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后对比目标形式即可求出a、b的值。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = 2025$
第二步，配方，给等号左右两边同时加上一次项系数$-2$的一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2025 + 1$
第三步，将左侧写成完全平方形式，右侧计算结果，得：
$(x - 1)^2 = 2026$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2026$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的运用，熟练掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、配成完全平方式”的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是 （）

A.$x^2 -2x -7=0$ 化为 $(x-1)^2=8$
B.$x^2 +4x -1=0$ 化为 $(x+2)^2=3$
C.$x^2 -6x +3=0$ 化为 $(x-3)^2=6$
D.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x+4)^2=7$

2.B

【分析】
要判断哪个选项配方错误，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐一验证每个选项：首先将方程移项，把常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后对比选项给出的配方结果即可找到错误项。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程，配方法步骤为：先移项得$x^2+bx=-c$，再给两边同时加$(\frac{b}{2})^2$，即可配方为$(x+\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2 - c$，逐一验证如下：
选项A：$x^2 -2x -7=0$，移项得$x^2-2x=7$，加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得$(x-1)^2=7+1=8$，配方正确，不符合题意；
选项B：$x^2 +4x -1=0$，移项得$x^2+4x=1$，加$(\frac{4}{2})^2=4$，得$(x+2)^2=1+4=5$，选项给出的结果为$(x+2)^2=3$，配方错误，符合题意；
选项C：$x^2 -6x +3=0$，移项得$x^2-6x=-3$，加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$(x-3)^2=-3+9=6$，配方正确，不符合题意；
选项D：$x^2 +8x +9=0$，移项得$x^2+8x=-9$，加$(\frac{8}{2})^2=16$，得$(x+4)^2=-9+16=7$，配方正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，易错点是计算等号右侧常数时容易忘记加上配方时补充的常数，熟练掌握配方法的步骤就能快速判断出正误。
【难度系数】
0.8

3. 在空格中填上适当的数：
(1) $x^2 - 2x +$ $= (x -$ $)^2$；
(2) $x^2 + 8x +$ $= (x +$ $)^2$；
(3) $y^2 - 5y +$ $= (y -$ $)^2$；
(4) $y^2 + \frac{1}{2}y +$ $= (y +$ $)^2$。

3. (1) 1,1 (2) 16,4 (3) $\frac{25}{4},\frac{5}{2}$ (4) $\frac{1}{16},\frac{1}{4}$

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，是配方法的基础操作。解题核心依据为完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，当二次项系数为1时，需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，等号右侧括号内的常数就是一次项系数的一半（符号与一次项符号一致）。解题时只需对每个小题先找到一次项系数，计算其一半的数值，再平方即可得到要填的常数项，一次项系数的一半就是右侧括号内的常数。
【解析】
根据完全平方公式$x^2\pm2bx+b^2=(x\pm b)^2$逐一计算：
(1) 一次项系数为-2，其一半为$-2÷2=-1$，平方为$(-1)^2=1$，因此依次填1、1；
(2) 一次项系数为8，其一半为$8÷2=4$，平方为$4^2=16$，因此依次填16、4；
(3) 一次项系数为-5，其一半为$-5÷2=-\frac{5}{2}$，平方为$(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，因此依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$；
(4) 一次项系数为$\frac{1}{2}$，其一半为$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{4}$，平方为$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，因此依次填$\frac{1}{16}$、$\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 1，1；(2) 16，4；(3) $\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$；(4) $\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础练习题，解题关键是牢记二次项系数为1时，配完全平方需添加的常数项为一次项系数一半的平方，是后续用配方法解一元二次方程的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

4. 若代数式$x^2 -6x$与$x+5$的值互为相反数，则$x$的值为________。

4. $x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$

【分析】
首先根据互为相反数的两个数的和为0的性质，列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，最后利用一元二次方程的求根公式求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵代数式$x^2 -6x$与$x+5$互为相反数
∴$x^2 -6x + (x + 5) = 0$
整理得：$x^2 -5x + 5 = 0$
其中$a=1$，$b=-5$，$c=5$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×5 = 25 - 20 = 5 ＞ 0$
由求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2×1}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础题，结合相反数的性质考查一元二次方程的求解，解题的关键是正确根据相反数的性质列方程，求解过程中注意符号运算，避免出现公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.7