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5. 解下列方程：
(1) $x^2 - 4x = 6$；
(2) $x^2 + 12x = -9$；
(3) $x^2 - 6x - 7 = 0$；
(4) $y^2 + 5y - 24 = 0$。
(1) $x^2 - 4x = 6$；
(2) $x^2 + 12x = -9$；
(3) $x^2 - 6x - 7 = 0$；
(4) $y^2 + 5y - 24 = 0$。
答案
5. (1) $x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$ (2) $x_1=-6+3\sqrt{3},x_2=-6-3\sqrt{3}$ (3) $x_1=7,x_2=-1$ (4) $y_1=3,y_2=-8$
解析
【分析】
这四道均为一元二次方程，解题时可根据方程特征选择简便方法：（1）（2）题右边为常数项，左边二次项系数为1、一次项系数为偶数，优先选择配方法求解，步骤为：先给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，再通过直接开平方求解；（3）（4）题左边的二次三项式可通过十字相乘法因式分解为两个一次式的乘积，优先选择因式分解法求解，步骤为：将方程左边因式分解，根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x = 6$配方，方程两边同时加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 =6+4$
整理得$(x-2)^2=10$
开平方得$x-2=\pm\sqrt{10}$
解得$x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(2) 对$x^2+12x=-9$配方，方程两边同时加$(\frac{12}{2})^2=36$，得：
$x^2+12x+36=-9+36$
整理得$(x+6)^2=27$
开平方得$x+6=\pm3\sqrt{3}$
解得$x_1=-6+3\sqrt{3},x_2=-6-3\sqrt{3}$
(3) 对$x^2-6x-7=0$用十字相乘法因式分解，得：
$(x-7)(x+1)=0$
则$x-7=0$或$x+1=0$
解得$x_1=7,x_2=-1$
(4) 对$y^2+5y-24=0$用十字相乘法因式分解，得：
$(y+8)(y-3)=0$
则$y+8=0$或$y-3=0$
解得$y_1=3,y_2=-8$
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$ (2) $x_1=-6+3\sqrt{3},x_2=-6-3\sqrt{3}$ (3) $x_1=7,x_2=-1$ (4) $y_1=3,y_2=-8$
【知识点】
配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础训练题，可帮助学生熟练掌握不同解法的适用条件，学会根据方程特征选择最优解法，降低计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
这四道均为一元二次方程，解题时可根据方程特征选择简便方法：（1）（2）题右边为常数项，左边二次项系数为1、一次项系数为偶数，优先选择配方法求解，步骤为：先给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，再通过直接开平方求解；（3）（4）题左边的二次三项式可通过十字相乘法因式分解为两个一次式的乘积，优先选择因式分解法求解，步骤为：将方程左边因式分解，根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x = 6$配方，方程两边同时加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 =6+4$
整理得$(x-2)^2=10$
开平方得$x-2=\pm\sqrt{10}$
解得$x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$
(2) 对$x^2+12x=-9$配方，方程两边同时加$(\frac{12}{2})^2=36$，得：
$x^2+12x+36=-9+36$
整理得$(x+6)^2=27$
开平方得$x+6=\pm3\sqrt{3}$
解得$x_1=-6+3\sqrt{3},x_2=-6-3\sqrt{3}$
(3) 对$x^2-6x-7=0$用十字相乘法因式分解，得：
$(x-7)(x+1)=0$
则$x-7=0$或$x+1=0$
解得$x_1=7,x_2=-1$
(4) 对$y^2+5y-24=0$用十字相乘法因式分解，得：
$(y+8)(y-3)=0$
则$y+8=0$或$y-3=0$
解得$y_1=3,y_2=-8$
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{10},x_2=2-\sqrt{10}$ (2) $x_1=-6+3\sqrt{3},x_2=-6-3\sqrt{3}$ (3) $x_1=7,x_2=-1$ (4) $y_1=3,y_2=-8$
【知识点】
配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础训练题，可帮助学生熟练掌握不同解法的适用条件，学会根据方程特征选择最优解法，降低计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
6. 用配方法求 $x^2 + 2x - 3$ 的最小值.
答案
6. $x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x+1)^2 - 4$。$\because (x+1)^2 \ge 0$，$\therefore (x+1)^2 - 4 \ge -4$。$\therefore x^2 + 2x - 3$ 的最小值为-4。
解析
【分析】
要求二次三项式的最小值，我们可以利用配方法将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方数的非负性求解。具体思考步骤：首先观察原式，二次项系数为1，一次项系数为2，因此我们只需加上一次项系数一半的平方（即$1^2=1$），为了保证代数式的值不变，还要同时减去1，再把原式整理为完全平方加常数的形式，最后根据任何实数的平方都大于等于0，即可推出原式的最小值。
【解析】
解：对$x^2 + 2x - 3$进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + 2x - 3 &= x^2 + 2x + 1 - 1 - 3 \\&= (x+1)^2 - 4\end{aligned}$
$\because$ 无论$x$取何实数，都有$(x+1)^2 \ge 0$，
$\therefore (x+1)^2 - 4 \ge 0 - 4$，即$(x+1)^2 - 4 \ge -4$，
因此$x^2 + 2x - 3$的最小值为$-4$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
配方法；非负数的性质；二次式最值求解
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握配方法的操作步骤，结合平方的非负性即可快速求出二次三项式的最值，熟练掌握配方技巧是后续解一元二次方程、求二次函数最值的基础。
【难度系数】
0.8
要求二次三项式的最小值，我们可以利用配方法将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方数的非负性求解。具体思考步骤：首先观察原式，二次项系数为1，一次项系数为2，因此我们只需加上一次项系数一半的平方（即$1^2=1$），为了保证代数式的值不变，还要同时减去1，再把原式整理为完全平方加常数的形式，最后根据任何实数的平方都大于等于0，即可推出原式的最小值。
【解析】
解：对$x^2 + 2x - 3$进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + 2x - 3 &= x^2 + 2x + 1 - 1 - 3 \\&= (x+1)^2 - 4\end{aligned}$
$\because$ 无论$x$取何实数，都有$(x+1)^2 \ge 0$，
$\therefore (x+1)^2 - 4 \ge 0 - 4$，即$(x+1)^2 - 4 \ge -4$，
因此$x^2 + 2x - 3$的最小值为$-4$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
配方法；非负数的性质；二次式最值求解
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握配方法的操作步骤，结合平方的非负性即可快速求出二次三项式的最值，熟练掌握配方技巧是后续解一元二次方程、求二次函数最值的基础。
【难度系数】
0.8
7. 已知$△ ABC$的两边分别为3和4，第三边是方程$x^2 -8x +15=0$的一个根，请画出所有情况的示意图并且求出该三角形的面积.
答案
7. 解方程$x^2 -8x +15=0$，得$x_1=3$，$x_2=5$。当第三边长是3时，如图①，AB=AC=3，BC=4。作AD⊥BC，垂足为D，
∴$BD=\frac{1}{2} BC = 2$。在Rt△ABD中，$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} BC · AD=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$。当第三边是5时，如图②，$\because 5^2=3^2+4^2$，$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$。
∴△ABC是直角三角形。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AC · BC=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$
解析
【分析】
解题可按三步思路展开：①先求解一元二次方程，得到第三边的可能取值；②结合三角形三边关系验证所得根是否能构成三角形，确定第三边的所有合法值；③分情况计算三角形面积：若第三边为3，三角形为等腰三角形，作底边上的高，借助勾股定理求高后计算面积；若第三边为5，先用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再用直角边乘积的一半计算面积。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -8x +15=0$因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
验证三边关系：3、3、4满足三角形三边要求，3、4、5也满足三角形三边要求，因此分两种情况计算：
2. 当第三边长为3时：
此时$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC=3$，$BC=4$，对应图①。
过$A$作$AD⊥ BC$于$D$，由等腰三角形三线合一性质得$BD=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$。
因此三角形面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
3. 当第三边长为5时：
此时$△ ABC$三边长为3、4、5，$\because 3^2+4^2=25=5^2$，满足勾股定理逆定理，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，直角边长为3和4，对应图②。
因此三角形面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
【答案】
当第三边长为3时，三角形面积为$2\sqrt{5}$；当第三边长为5时，三角形面积为6。
【知识点】
一元二次方程求解，勾股定理及逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题综合了方程求解与三角形相关知识，解题时需具备分类讨论意识，注意对边长取值进行合理性验证，避免漏解或错解，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思路展开：①先求解一元二次方程，得到第三边的可能取值；②结合三角形三边关系验证所得根是否能构成三角形，确定第三边的所有合法值；③分情况计算三角形面积：若第三边为3，三角形为等腰三角形，作底边上的高，借助勾股定理求高后计算面积；若第三边为5，先用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再用直角边乘积的一半计算面积。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -8x +15=0$因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
验证三边关系：3、3、4满足三角形三边要求，3、4、5也满足三角形三边要求，因此分两种情况计算：
2. 当第三边长为3时：
此时$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC=3$，$BC=4$，对应图①。
过$A$作$AD⊥ BC$于$D$，由等腰三角形三线合一性质得$BD=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$。
因此三角形面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
3. 当第三边长为5时：
此时$△ ABC$三边长为3、4、5，$\because 3^2+4^2=25=5^2$，满足勾股定理逆定理，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，直角边长为3和4，对应图②。
因此三角形面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
【答案】
当第三边长为3时，三角形面积为$2\sqrt{5}$；当第三边长为5时，三角形面积为6。
【知识点】
一元二次方程求解，勾股定理及逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题综合了方程求解与三角形相关知识，解题时需具备分类讨论意识，注意对边长取值进行合理性验证，避免漏解或错解，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在矩形ABCD中,BC比AB长2,点E在边CD上,将△BCE沿BE翻折,点C的对应点F恰好落在边AD上,且DF=1,求AB和CE的长.
答案
8. 设AB=x，则BC=x+2，AF=x+1，由翻折可得BF=BC=x+2。在Rt△ABF中，$AB^2 + AF^2 = BF^2$，
∴$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$。
∴$x_1=3$或$x_2=-1$(不合题意，舍去)。
∴AB=3。
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3。设CE=y，则DE=3−y。由翻折可得EF=CE=y。在Rt△DEF中，$DF^2 + DE^2 = EF^2$，即$1^2 + (3-y)^2 = y^2$，解得$y=\frac{5}{3}$。
∴$AB=3,CE=\frac{5}{3}$
∴$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$。
∴$x_1=3$或$x_2=-1$(不合题意，舍去)。
∴AB=3。
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3。设CE=y，则DE=3−y。由翻折可得EF=CE=y。在Rt△DEF中，$DF^2 + DE^2 = EF^2$，即$1^2 + (3-y)^2 = y^2$，解得$y=\frac{5}{3}$。
∴$AB=3,CE=\frac{5}{3}$
解析
【分析】
本题是矩形背景下的翻折问题，可结合方程思想与勾股定理求解：第一步先求AB的长度，翻折前后对应边相等，故BF=BC，已知BC比AB长2，可设AB=x，表示出BC、BF的长度，再结合AD=BC、DF=1，表示出AF的长度，在Rt△ABF中利用勾股定理列一元二次方程，求解得到AB的长（舍去不合题意的负根）；第二步求CE的长度，同样利用翻折的性质得EF=CE，设CE=y，表示出DE的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设AB=x，由BC比AB长2可得BC=x+2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x+2，
∵DF=1，
∴AF=AD-DF=(x+2)-1=x+1，
由翻折的性质可得：BF=BC=x+2，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得$AB^2 + AF^2 = BF^2$，
代入得：$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（边长不能为负，舍去），
∴AB=3。
∵矩形ABCD中CD=AB=3，设CE=y，则DE=CD-CE=3-y，
由翻折的性质可得：EF=CE=y，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得$DF^2 + DE^2 = EF^2$，
代入得：$1^2 + (3-y)^2 = y^2$，
解得$y=\frac{5}{3}$，即CE=$\frac{5}{3}$。
【答案】
$AB=3$，$CE=\frac{5}{3}$
【知识点】
矩形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，将图形变换的性质和勾股定理结合，通过设未知数列方程求解，既考查了对图形性质的理解，也考查了方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
本题是矩形背景下的翻折问题，可结合方程思想与勾股定理求解：第一步先求AB的长度，翻折前后对应边相等，故BF=BC，已知BC比AB长2，可设AB=x，表示出BC、BF的长度，再结合AD=BC、DF=1，表示出AF的长度，在Rt△ABF中利用勾股定理列一元二次方程，求解得到AB的长（舍去不合题意的负根）；第二步求CE的长度，同样利用翻折的性质得EF=CE，设CE=y，表示出DE的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设AB=x，由BC比AB长2可得BC=x+2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x+2，
∵DF=1，
∴AF=AD-DF=(x+2)-1=x+1，
由翻折的性质可得：BF=BC=x+2，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得$AB^2 + AF^2 = BF^2$，
代入得：$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（边长不能为负，舍去），
∴AB=3。
∵矩形ABCD中CD=AB=3，设CE=y，则DE=CD-CE=3-y，
由翻折的性质可得：EF=CE=y，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得$DF^2 + DE^2 = EF^2$，
代入得：$1^2 + (3-y)^2 = y^2$，
解得$y=\frac{5}{3}$，即CE=$\frac{5}{3}$。
【答案】
$AB=3$，$CE=\frac{5}{3}$
【知识点】
矩形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，将图形变换的性质和勾股定理结合，通过设未知数列方程求解，既考查了对图形性质的理解，也考查了方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
