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1. 下列方程是一元一次方程的是(
A.$x^2 + 2 = 6$
B.$x = 3$
C.$x + y = 6$
D.$\frac{2}{x} + 3 = 8$
B
)。A.$x^2 + 2 = 6$
B.$x = 3$
C.$x + y = 6$
D.$\frac{2}{x} + 3 = 8$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的三个核心判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式，即分母中不含未知数。解题时对照这三个要点逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义逐一分析选项：
A选项：方程中未知数$x$的次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不属于一元一次方程；
B选项：方程只含有1个未知数$x$，$x$的次数为1，且等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义；
C选项：方程中含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不属于一元一次方程；
D选项：方程的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不属于一元一次方程。
综上，只有B选项符合一元一次方程的定义。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对一元一次方程判定条件的掌握，牢记三个判定要点就能快速准确解题，注意区分整式方程和分式方程、一元方程和多元方程、一次方程和高次方程的差异。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的三个核心判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式，即分母中不含未知数。解题时对照这三个要点逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义逐一分析选项：
A选项：方程中未知数$x$的次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不属于一元一次方程；
B选项：方程只含有1个未知数$x$，$x$的次数为1，且等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义；
C选项：方程中含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不属于一元一次方程；
D选项：方程的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不属于一元一次方程。
综上，只有B选项符合一元一次方程的定义。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对一元一次方程判定条件的掌握，牢记三个判定要点就能快速准确解题，注意区分整式方程和分式方程、一元方程和多元方程、一次方程和高次方程的差异。
【难度系数】
0.9
2. 若一元一次方程$mx - n = 0$的解是$x = -1$，则$m,n$的关系为（
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.互为负倒数
B
）。A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.互为负倒数
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路为：第一步把已知的解x=-1代入原方程，第二步对代入后的等式进行整理变形，第三步结合相反数、倒数等相关概念判断m和n的关系即可。
【解析】
已知x=-1是一元一次方程$mx - n = 0$的解，将x=-1代入原方程，可得：
$m×(-1) - n = 0$
整理得：$-m -n =0$，移项后得$m + n = 0$。
根据相反数的定义：若两个数的和为0，则这两个数互为相反数，因此m和n互为相反数，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；相反数的定义
【点评】
本题考查方程解的基本应用，解题核心是将方程的解代入原式得到参数的关系式，再结合相关概念判断即可，是方程部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路为：第一步把已知的解x=-1代入原方程，第二步对代入后的等式进行整理变形，第三步结合相反数、倒数等相关概念判断m和n的关系即可。
【解析】
已知x=-1是一元一次方程$mx - n = 0$的解，将x=-1代入原方程，可得：
$m×(-1) - n = 0$
整理得：$-m -n =0$，移项后得$m + n = 0$。
根据相反数的定义：若两个数的和为0，则这两个数互为相反数，因此m和n互为相反数，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；相反数的定义
【点评】
本题考查方程解的基本应用，解题核心是将方程的解代入原式得到参数的关系式，再结合相关概念判断即可，是方程部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 已知方程$3x^{m-2}+5=8$是关于$x$的一元一次方程，则$m=$
3
。答案
3.3
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定规则：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程。本题中方程是关于$x$的一元一次方程，说明$x$的指数必须等于1，我们可以据此列出关于$m$的等式，再计算就能得到$m$的取值。
【解析】
解：
∵ 方程$3x^{m-2}+5=8$是关于$x$的一元一次方程
根据一元一次方程的定义，未知数$x$的次数为1，可得：
$m-2=1$
移项计算得：$m=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的定义；解简单一元一次方程
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查对一元一次方程定义的理解，只要抓住“未知数最高次数为1”这个判定条件即可快速求解，是方程模块的入门考点题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定规则：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程。本题中方程是关于$x$的一元一次方程，说明$x$的指数必须等于1，我们可以据此列出关于$m$的等式，再计算就能得到$m$的取值。
【解析】
解：
∵ 方程$3x^{m-2}+5=8$是关于$x$的一元一次方程
根据一元一次方程的定义，未知数$x$的次数为1，可得：
$m-2=1$
移项计算得：$m=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的定义；解简单一元一次方程
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查对一元一次方程定义的理解，只要抓住“未知数最高次数为1”这个判定条件即可快速求解，是方程模块的入门考点题型。
【难度系数】
0.9
4. 若$x=-1$为方程$x^2 - m = 0$的一个根，则$m$的值为
1
。答案
4.1
解析
【分析】
解题时首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知x=-1是方程的根，说明把x=-1代入原方程后，等式一定成立，代入后原方程就会转化为只含有m的一元一次方程，接下来解这个一元一次方程就能求出m的值，计算时要注意负数的偶次幂是正数，避免符号出错。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$x^2 - m = 0$的一个根
∴将x=-1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}(-1)^2 - m &= 0 \\1 - m &= 0 \\m &= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
方程的根的定义；有理数乘方运算；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查方程根的定义的应用，解题核心是将已知根代入原方程，转化为关于未知参数的方程求解，计算时注意负数平方的符号问题即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知x=-1是方程的根，说明把x=-1代入原方程后，等式一定成立，代入后原方程就会转化为只含有m的一元一次方程，接下来解这个一元一次方程就能求出m的值，计算时要注意负数的偶次幂是正数，避免符号出错。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$x^2 - m = 0$的一个根
∴将x=-1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}(-1)^2 - m &= 0 \\1 - m &= 0 \\m &= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
方程的根的定义；有理数乘方运算；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查方程根的定义的应用，解题核心是将已知根代入原方程，转化为关于未知参数的方程求解，计算时注意负数平方的符号问题即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
5. 湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”。
李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元。设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，可列出的方程是
李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元。设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，可列出的方程是
$8x+38=50$
。答案
5.$8x+38=50$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要从题目中提取对应的等量关系。首先明确各个量的含义：每个莲蓬价格为x元，买8个莲蓬的总花费就是单价乘数量，即8x元；李红总共付了50元，最后找回38元，对应的核心等量关系是“买莲蓬的总花费+找回的钱=付出的总钱数”，找到该等量关系后，把对应数值和未知数代入即可列出方程。
【解析】
1. 先表示8个莲蓬的总花费：已知每个莲蓬x元，根据“总价=单价×数量”，8个莲蓬的总价为$8x$元。
2. 梳理等量关系：付出的总金额 = 购买莲蓬的总花费 + 找回的金额。
3. 代入数值和表达式：总付款为50元，找回金额为38元，代入等量关系可得方程$8x + 38 = 50$。
【答案】
$8x+38=50$
【知识点】
列一元一次方程；找等量关系
【点评】
本题是结合生活消费场景的基础方程题型，核心考查学生从实际场景中梳理数量关系、列方程的能力，属于基础必会题，理清付款、消费、找零三者的关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要从题目中提取对应的等量关系。首先明确各个量的含义：每个莲蓬价格为x元，买8个莲蓬的总花费就是单价乘数量，即8x元；李红总共付了50元，最后找回38元，对应的核心等量关系是“买莲蓬的总花费+找回的钱=付出的总钱数”，找到该等量关系后，把对应数值和未知数代入即可列出方程。
【解析】
1. 先表示8个莲蓬的总花费：已知每个莲蓬x元，根据“总价=单价×数量”，8个莲蓬的总价为$8x$元。
2. 梳理等量关系：付出的总金额 = 购买莲蓬的总花费 + 找回的金额。
3. 代入数值和表达式：总付款为50元，找回金额为38元，代入等量关系可得方程$8x + 38 = 50$。
【答案】
$8x+38=50$
【知识点】
列一元一次方程；找等量关系
【点评】
本题是结合生活消费场景的基础方程题型，核心考查学生从实际场景中梳理数量关系、列方程的能力，属于基础必会题，理清付款、消费、找零三者的关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹。每人六竿多十四，每人八竿恰齐足。”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿。每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完。”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为
$6x+14=8x$
。答案
6.$6x+14=8x$
解析
【分析】
解题的核心是找到题目中的不变量，本题中竹竿的总数量是固定不变的。我们可以分两步用含牧童人数x的式子表示竹竿总数：首先，每人6竿多14竿时，总竿数为6乘人数加多出的14竿；其次，每人8竿恰好用完时，总竿数为8乘人数；最后根据两种分配方式下竹竿总数相等，即可列出方程。
【解析】
设牧童有x人：
1. 按“每人6竿多14竿”计算，竹竿总数量为：$6x + 14$；
2. 按“每人8竿恰齐足”计算，竹竿总数量为：$8x$；
因为竹竿总数量不变，所以可列方程：$6x + 14 = 8x$。
【答案】
$6x+14=8x$
【知识点】
列一元一次方程、等量关系分析、实际问题建模
【点评】
本题依托古代数学著作的趣味问题考查列方程的能力，解题关键是抓住不变量建立等量关系，贴合生活情境，侧重考查读题理解和基础应用能力。
【难度系数】
0.85
解题的核心是找到题目中的不变量，本题中竹竿的总数量是固定不变的。我们可以分两步用含牧童人数x的式子表示竹竿总数：首先，每人6竿多14竿时，总竿数为6乘人数加多出的14竿；其次，每人8竿恰好用完时，总竿数为8乘人数；最后根据两种分配方式下竹竿总数相等，即可列出方程。
【解析】
设牧童有x人：
1. 按“每人6竿多14竿”计算，竹竿总数量为：$6x + 14$；
2. 按“每人8竿恰齐足”计算，竹竿总数量为：$8x$；
因为竹竿总数量不变，所以可列方程：$6x + 14 = 8x$。
【答案】
$6x+14=8x$
【知识点】
列一元一次方程、等量关系分析、实际问题建模
【点评】
本题依托古代数学著作的趣味问题考查列方程的能力，解题关键是抓住不变量建立等量关系，贴合生活情境，侧重考查读题理解和基础应用能力。
【难度系数】
0.85
7. 课堂上，老师写出了一个等式：$3×4=5×4-8$。
（1）请判断$x=4$是不是方程$3x=5x-8$的解，并说明理由；
（2）观察上面的等式和方程，你有什么发现？
请用自己的话写一写。
（1）请判断$x=4$是不是方程$3x=5x-8$的解，并说明理由；
（2）观察上面的等式和方程，你有什么发现？
请用自己的话写一写。
答案
7. 解:(1)是,理由:当$x=4$时,方程左边$=3×4=12$,右边$=5×4-8=20-8=12$,左边$=$右边,所以$x=4$是方程$3x=5x-8$的解。
(2)发现:原等式$3×4=5×4-8$实际上就是方程$3x=5x-8$当$x=4$时的具体形式。也就是说,如果用一个字母$x$代替等式中的数字4,就得到了一个方程,而原来的数字4恰好是这个方程的解。
(2)发现:原等式$3×4=5×4-8$实际上就是方程$3x=5x-8$当$x=4$时的具体形式。也就是说,如果用一个字母$x$代替等式中的数字4,就得到了一个方程,而原来的数字4恰好是这个方程的解。
解析
【分析】
（1）判断一个数是不是方程的解，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将x=4分别代入方程的左右两边计算结果，比较两边结果是否相等即可得出结论。
（2）对比数字等式和方程的结构，可发现二者运算规则完全一致，仅等式中的数字4在方程中替换为了未知数x，再结合第一问的结论，就能归纳出二者的内在联系。
【解析】
(1) 按照方程解的检验步骤操作：
将$x=4$代入方程$3x=5x-8$，
左边$=3×4=12$，
右边$=5×4-8=20-8=12$，
左边与右边的计算结果相等，因此$x=4$是该方程的解。
(2) 观察两个式子的联系：数字等式是方程取特定未知数取值时的具体形式，将等式中重复出现的数字4替换为未知数x就得到了对应的方程，且这个数字4刚好是所得方程的解。
【答案】
(1) 是，理由：当$x=4$时，方程左边$=3×4=12$，右边$=5×4-8=20-8=12$，左边$=$右边，所以$x=4$是方程$3x=5x-8$的解。
(2) 原等式$3×4=5×4-8$实际上就是方程$3x=5x-8$当$x=4$时的具体形式。也就是说，如果用一个字母$x$代替等式中的数字4，就得到了一个方程，而原来的数字4恰好是这个方程的解。
【知识点】
方程的解的检验；方程与等式的联系
【点评】
本题属于基础类题目，既考查了检验方程解的基础技能，又引导学生建立具体等式和抽象方程之间的关联，有助于理解方程的本质，解题的关键是熟练掌握方程解的判定方法。
【难度系数】
0.8
（1）判断一个数是不是方程的解，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将x=4分别代入方程的左右两边计算结果，比较两边结果是否相等即可得出结论。
（2）对比数字等式和方程的结构，可发现二者运算规则完全一致，仅等式中的数字4在方程中替换为了未知数x，再结合第一问的结论，就能归纳出二者的内在联系。
【解析】
(1) 按照方程解的检验步骤操作：
将$x=4$代入方程$3x=5x-8$，
左边$=3×4=12$，
右边$=5×4-8=20-8=12$，
左边与右边的计算结果相等，因此$x=4$是该方程的解。
(2) 观察两个式子的联系：数字等式是方程取特定未知数取值时的具体形式，将等式中重复出现的数字4替换为未知数x就得到了对应的方程，且这个数字4刚好是所得方程的解。
【答案】
(1) 是，理由：当$x=4$时，方程左边$=3×4=12$，右边$=5×4-8=20-8=12$，左边$=$右边，所以$x=4$是方程$3x=5x-8$的解。
(2) 原等式$3×4=5×4-8$实际上就是方程$3x=5x-8$当$x=4$时的具体形式。也就是说，如果用一个字母$x$代替等式中的数字4，就得到了一个方程，而原来的数字4恰好是这个方程的解。
【知识点】
方程的解的检验；方程与等式的联系
【点评】
本题属于基础类题目，既考查了检验方程解的基础技能，又引导学生建立具体等式和抽象方程之间的关联，有助于理解方程的本质，解题的关键是熟练掌握方程解的判定方法。
【难度系数】
0.8
8. 学校的“旧书换绿植”活动：3本旧书换1盆绿植，2本旧书换1包种子。小明用36本旧书换来的绿植盆数比种子包数多2。设换种子x包，请你列出一个关于x的方程。（不需要求解）
答案
8. 解:已知换种子$x$包,则换绿植$(x+2)$盆,
$2x+3(x+2)=36$。
$2x+3(x+2)=36$。
解析
【分析】
解题时首先明确题目的已知条件和设出的未知量：已知设换种子x包，首先根据“绿植盆数比种子包数多2”，可以用含x的式子表示出绿植的盆数；再分别计算换种子、换绿植所用的旧书数量，最后根据“换两种物品所用的旧书总数量为36本”这个等量关系，就能列出对应的方程。
【解析】
解：设换种子x包，因为换来的绿植盆数比种子包数多2，所以换绿植的盆数为$(x+2)$盆。
换x包种子需要的旧书数量为$2x$本，换$(x+2)$盆绿植需要的旧书数量为$3(x+2)$本。
已知小明一共有36本旧书，即换种子的旧书总数+换绿植的旧书总数=36本，据此列方程得：
$2x + 3(x+2) = 36$
【答案】
$2x+3(x+2)=36$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 等量关系分析
3. 用字母表示数
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是先根据数量关系用含未知数的式子表示出各个相关量，再找准总旧书数这个不变的等量关系即可列出方程，考查基础的方程建模能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的已知条件和设出的未知量：已知设换种子x包，首先根据“绿植盆数比种子包数多2”，可以用含x的式子表示出绿植的盆数；再分别计算换种子、换绿植所用的旧书数量，最后根据“换两种物品所用的旧书总数量为36本”这个等量关系，就能列出对应的方程。
【解析】
解：设换种子x包，因为换来的绿植盆数比种子包数多2，所以换绿植的盆数为$(x+2)$盆。
换x包种子需要的旧书数量为$2x$本，换$(x+2)$盆绿植需要的旧书数量为$3(x+2)$本。
已知小明一共有36本旧书，即换种子的旧书总数+换绿植的旧书总数=36本，据此列方程得：
$2x + 3(x+2) = 36$
【答案】
$2x+3(x+2)=36$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 等量关系分析
3. 用字母表示数
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是先根据数量关系用含未知数的式子表示出各个相关量，再找准总旧书数这个不变的等量关系即可列出方程，考查基础的方程建模能力。
【难度系数】
0.8
9. 请用自己的年龄编一道数学题，并列出方程。
答案
解：
编题：我今年12岁，爸爸今年36岁，请问多少年后爸爸的年龄是我年龄的2倍？
设x年后爸爸的年龄是我年龄的2倍，
根据题意列方程：$2(12+x)=36+x$
编题：我今年12岁，爸爸今年36岁，请问多少年后爸爸的年龄是我年龄的2倍？
设x年后爸爸的年龄是我年龄的2倍，
根据题意列方程：$2(12+x)=36+x$
解析
【分析】
这是一道开放性的方程应用题，解题可按以下思路思考：①先确定两个有明确年龄差的相关人物的当前年龄，比如自己和长辈、同龄亲属的年龄；②结合年龄的变化特点（每过1年所有人年龄均增加1岁）设定问题，通常可以设置“几年后/几年前某一方年龄是另一方的几倍”这类简单明确的问题；③设所求年份为未知数，分别表示出几年后/前两个人的年龄，再根据题目设定的倍数等量关系列出方程即可。
【解析】
我们可以结合实际生活中自己和家人的年龄，构建合理的等量关系编题列方程：
编题示例：我今年12岁，爸爸今年36岁，请问多少年后爸爸的年龄是我年龄的2倍？
设x年后爸爸的年龄是我年龄的2倍，
x年后我的年龄为$(12+x)$岁，爸爸的年龄为$(36+x)$岁，根据“x年后爸爸年龄=我年龄的2倍”的等量关系，
可列方程：$2(12+x)=36+x$
（编题不唯一，符合实际、等量关系合理即可）
【答案】
编题：我今年12岁，爸爸今年36岁，请问多少年后爸爸的年龄是我年龄的2倍？
设x年后爸爸的年龄是我年龄的2倍，根据题意列方程：$2(12+x)=36+x$（答案不唯一）
【知识点】
列一元一次方程，年龄问题建模
【点评】
本题属于开放性题型，贴近生活实际，主要考查将实际问题转化为数学方程的建模能力，解题的关键是抓住年龄增长的一致性和题目中的等量关系，出题灵活，能很好地锻炼知识应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性的方程应用题，解题可按以下思路思考：①先确定两个有明确年龄差的相关人物的当前年龄，比如自己和长辈、同龄亲属的年龄；②结合年龄的变化特点（每过1年所有人年龄均增加1岁）设定问题，通常可以设置“几年后/几年前某一方年龄是另一方的几倍”这类简单明确的问题；③设所求年份为未知数，分别表示出几年后/前两个人的年龄，再根据题目设定的倍数等量关系列出方程即可。
【解析】
我们可以结合实际生活中自己和家人的年龄，构建合理的等量关系编题列方程：
编题示例：我今年12岁，爸爸今年36岁，请问多少年后爸爸的年龄是我年龄的2倍？
设x年后爸爸的年龄是我年龄的2倍，
x年后我的年龄为$(12+x)$岁，爸爸的年龄为$(36+x)$岁，根据“x年后爸爸年龄=我年龄的2倍”的等量关系，
可列方程：$2(12+x)=36+x$
（编题不唯一，符合实际、等量关系合理即可）
【答案】
编题：我今年12岁，爸爸今年36岁，请问多少年后爸爸的年龄是我年龄的2倍？
设x年后爸爸的年龄是我年龄的2倍，根据题意列方程：$2(12+x)=36+x$（答案不唯一）
【知识点】
列一元一次方程，年龄问题建模
【点评】
本题属于开放性题型，贴近生活实际，主要考查将实际问题转化为数学方程的建模能力，解题的关键是抓住年龄增长的一致性和题目中的等量关系，出题灵活，能很好地锻炼知识应用能力。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 小明的手机电量显示剩余20％，他准备充电。手机充电速度保持不变，每5 min可以充电8％。
(1)设还需要充电x min，手机电量刚好达到80％。请列出关于x的方程。
(2)小明认为充电30 min就能达到80％，他的想法正确吗？请通过计算说明理由。
(3)如果小明想在电量达到85％时出门，那么他需要充电多少分钟？请列出方程（不需要求解）。
11. 我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质。
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在表5-1-1中。
表5-1-1
【解决问题】
(1)将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
(2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量。
10. 小明的手机电量显示剩余20％，他准备充电。手机充电速度保持不变，每5 min可以充电8％。
(1)设还需要充电x min，手机电量刚好达到80％。请列出关于x的方程。
(2)小明认为充电30 min就能达到80％，他的想法正确吗？请通过计算说明理由。
(3)如果小明想在电量达到85％时出门，那么他需要充电多少分钟？请列出方程（不需要求解）。
11. 我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质。
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在表5-1-1中。
表5-1-1
【解决问题】
(1)将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；
(2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量。
答案
10. 解:(1)每5 min可以充电8%,即每分钟充电$8\% ÷ 5=1.6\%$。
设还需要充电$x$ min,则充电量为$1.6\% × x$,
列方程为$1.6\%x=80\%-20\%$。
(2)他的想法不正确,理由:当$x=30$时,方程左边$=1.6\% × 30=48\%$,
右边$=60\%$,左边$≠$右边,
所以充电30 min只能充48%,电量达到$20\%+48\%=68\%$,未达到80%。
因此他的想法不正确。
(3)设他需要充电$y$ min,则$1.6\%y=85\%-20\%$。
11. 解:(1)$4x+10\quad 3x-10$
(2)由题意得$4x+10=13(3x-10)$,
解得$x=4$,所以$3x-10=2$(克)。
所以一个乒乓球的质量为4克,一个一次性纸杯的质量为2克。
设还需要充电$x$ min,则充电量为$1.6\% × x$,
列方程为$1.6\%x=80\%-20\%$。
(2)他的想法不正确,理由:当$x=30$时,方程左边$=1.6\% × 30=48\%$,
右边$=60\%$,左边$≠$右边,
所以充电30 min只能充48%,电量达到$20\%+48\%=68\%$,未达到80%。
因此他的想法不正确。
(3)设他需要充电$y$ min,则$1.6\%y=85\%-20\%$。
11. 解:(1)$4x+10\quad 3x-10$
(2)由题意得$4x+10=13(3x-10)$,
解得$x=4$,所以$3x-10=2$(克)。
所以一个乒乓球的质量为4克,一个一次性纸杯的质量为2克。
解析
【分析】
第10题属于百分率类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先根据已知的充电时长和充电量算出每分钟的充电速度，再根据“总充电量=充电速度×充电时间”，结合需要补充的电量（目标电量减初始电量）列方程；验证想法是否正确时，将给定时间代入计算实际充电量，加上初始电量后和目标电量比较即可；第三问和第一问思路一致，替换目标电量列方程即可。
第11题是结合天平平衡原理的方程应用题，天平平衡意味着左右两边总质量相等：(1) 记录一左边是4个乒乓球加10克砝码，总质量用含x的代数式表示即可，该质量和右边13个纸杯的总质量相等；记录二左边是3个乒乓球，右边是1个纸杯加10克砝码，变形即可得到单个纸杯的质量表达式。(2) 结合“13个纸杯总质量=13×单个纸杯质量”，和记录一的等量关系联立列方程，求解后即可得到乒乓球和纸杯的质量。
【解析】
第10题解答：
(1) 每分钟充电量为$8\% ÷ 5 = 1.6\%$，电量从20%升到80%需要补充的电量为$80\% - 20\%$，设还需充电$x$ min，充入电量为$1.6\% x$，据此列方程。
(2) 将$x=30$代入充入电量表达式得$1.6\%×30=48\%$，总电量为$20\%+48\%=68\%＜80\%$，因此想法不正确。
(3) 目标电量为85%，需要补充的电量为$85\%-20\%$，设充电时长为$y$ min，仿照第一问列方程即可。
第11题解答：
(1) 记录一左边总质量为4个乒乓球质量加10克砝码，即$4x+10$，也就是13个一次性纸杯的总质量；
记录二天平平衡，因此3个乒乓球总质量=1个纸杯质量+10克，变形得单个纸杯质量为$3x-10$。
(2) 根据13个纸杯总质量等于记录一左边总质量列方程求解：
$\begin{aligned}4x+10 &= 13(3x-10) \\4x+10 &= 39x - 130 \\35x &= 140 \\x &= 4\end{aligned}$
将$x=4$代入$3x-10$，得单个纸杯质量为$3×4 - 10 = 2$克。
【答案】
10. (1) $\boldsymbol{1.6\%x=80\%-20\%}$
(2) 他的想法不正确，充电30 min后总电量仅为68%，未达到80%
(3) $\boldsymbol{1.6\%y=85\%-20\%}$（设充电时长为$y$ min）
11. (1) 两个空白依次为$\boldsymbol{4x+10}$、$\boldsymbol{3x-10}$
(2) 一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克
【知识点】
一元一次方程应用、列代数式、一元一次方程求解
【点评】
题目结合生活充电场景和天平实验场景考察方程相关知识，解题核心是准确提取题目中的等量关系，贴合实际场景，能很好锻炼学生分析问题、用数学工具解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
第10题属于百分率类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先根据已知的充电时长和充电量算出每分钟的充电速度，再根据“总充电量=充电速度×充电时间”，结合需要补充的电量（目标电量减初始电量）列方程；验证想法是否正确时，将给定时间代入计算实际充电量，加上初始电量后和目标电量比较即可；第三问和第一问思路一致，替换目标电量列方程即可。
第11题是结合天平平衡原理的方程应用题，天平平衡意味着左右两边总质量相等：(1) 记录一左边是4个乒乓球加10克砝码，总质量用含x的代数式表示即可，该质量和右边13个纸杯的总质量相等；记录二左边是3个乒乓球，右边是1个纸杯加10克砝码，变形即可得到单个纸杯的质量表达式。(2) 结合“13个纸杯总质量=13×单个纸杯质量”，和记录一的等量关系联立列方程，求解后即可得到乒乓球和纸杯的质量。
【解析】
第10题解答：
(1) 每分钟充电量为$8\% ÷ 5 = 1.6\%$，电量从20%升到80%需要补充的电量为$80\% - 20\%$，设还需充电$x$ min，充入电量为$1.6\% x$，据此列方程。
(2) 将$x=30$代入充入电量表达式得$1.6\%×30=48\%$，总电量为$20\%+48\%=68\%＜80\%$，因此想法不正确。
(3) 目标电量为85%，需要补充的电量为$85\%-20\%$，设充电时长为$y$ min，仿照第一问列方程即可。
第11题解答：
(1) 记录一左边总质量为4个乒乓球质量加10克砝码，即$4x+10$，也就是13个一次性纸杯的总质量；
记录二天平平衡，因此3个乒乓球总质量=1个纸杯质量+10克，变形得单个纸杯质量为$3x-10$。
(2) 根据13个纸杯总质量等于记录一左边总质量列方程求解：
$\begin{aligned}4x+10 &= 13(3x-10) \\4x+10 &= 39x - 130 \\35x &= 140 \\x &= 4\end{aligned}$
将$x=4$代入$3x-10$，得单个纸杯质量为$3×4 - 10 = 2$克。
【答案】
10. (1) $\boldsymbol{1.6\%x=80\%-20\%}$
(2) 他的想法不正确，充电30 min后总电量仅为68%，未达到80%
(3) $\boldsymbol{1.6\%y=85\%-20\%}$（设充电时长为$y$ min）
11. (1) 两个空白依次为$\boldsymbol{4x+10}$、$\boldsymbol{3x-10}$
(2) 一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克
【知识点】
一元一次方程应用、列代数式、一元一次方程求解
【点评】
题目结合生活充电场景和天平实验场景考察方程相关知识，解题核心是准确提取题目中的等量关系，贴合实际场景，能很好锻炼学生分析问题、用数学工具解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
