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9. [2025 渭南富平期中]如图,在$□ ABCD$中,BD为对角线,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,且$EF// BD$,AE,AF分别交BD于点G,H.
(1)求证:$HF· AG=GE· AH$.
(2)若$\frac{AH}{FH}=3$,求$\frac{DG}{BG}$的值.
(1)求证:$HF· AG=GE· AH$.
(2)若$\frac{AH}{FH}=3$,求$\frac{DG}{BG}$的值.
答案
(1)证明:$\because EF// BD,\therefore \frac{HF}{AH}=\frac{GE}{AG},\therefore HF· AG=GE· AH.$
(2)解:$\because \frac{FH}{AH}=\frac{GE}{AG},\frac{AH}{FH}=3,\therefore \frac{AG}{GE}=3.$
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore BC// AD,\therefore \frac{DG}{BG}=\frac{AG}{GE}=3.$
(2)解:$\because \frac{FH}{AH}=\frac{GE}{AG},\frac{AH}{FH}=3,\therefore \frac{AG}{GE}=3.$
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore BC// AD,\therefore \frac{DG}{BG}=\frac{AG}{GE}=3.$
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$HF· AG=GE· AH$，可先将其转化为比例式$\frac{HF}{AH}=\frac{GE}{AG}$，结合已知$EF// BD$，利用平行线分线段成比例定理即可得到该比例关系，交叉相乘即可完成证明。
(2) 首先借助(1)得到的比例关系，结合$\frac{AH}{FH}=3$可推出$\frac{AG}{GE}$的值，再根据平行四边形对边平行的性质得到$BC// AD$，再次利用平行线分线段成比例定理即可求出$\frac{DG}{BG}$的值。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// BD$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例定理，在$△ AEF$中可得$\frac{HF}{AH}=\frac{GE}{AG}$，
交叉相乘得$HF· AG=GE· AH$，原式得证。
(2) 解：
由(1)可知$\frac{FH}{AH}=\frac{GE}{AG}$，
已知$\frac{AH}{FH}=3$，即$\frac{FH}{AH}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{GE}{AG}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AG}{GE}=3$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BC// AD$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例定理可得$\frac{DG}{BG}=\frac{AG}{GE}=3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{DG}{BG}=3$
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的性质
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题核心是将等积式转化为比例式，结合图形中的平行线找到对应成比例的线段，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明等积式$HF· AG=GE· AH$，可先将其转化为比例式$\frac{HF}{AH}=\frac{GE}{AG}$，结合已知$EF// BD$，利用平行线分线段成比例定理即可得到该比例关系，交叉相乘即可完成证明。
(2) 首先借助(1)得到的比例关系，结合$\frac{AH}{FH}=3$可推出$\frac{AG}{GE}$的值，再根据平行四边形对边平行的性质得到$BC// AD$，再次利用平行线分线段成比例定理即可求出$\frac{DG}{BG}$的值。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// BD$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例定理，在$△ AEF$中可得$\frac{HF}{AH}=\frac{GE}{AG}$，
交叉相乘得$HF· AG=GE· AH$，原式得证。
(2) 解：
由(1)可知$\frac{FH}{AH}=\frac{GE}{AG}$，
已知$\frac{AH}{FH}=3$，即$\frac{FH}{AH}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{GE}{AG}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AG}{GE}=3$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BC// AD$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例定理可得$\frac{DG}{BG}=\frac{AG}{GE}=3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{DG}{BG}=3$
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的性质
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题核心是将等积式转化为比例式，结合图形中的平行线找到对应成比例的线段，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
10.［2026衡阳南岳区期末］【阅读材料】
角平分线分线段成比例定理:如图1,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是该定理的部分证明过程:
如图2,过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E……
【新知探究】
(1)请按照上面的证明思路,写出剩余部分的证明；
【新知运用】
(2)如图3,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB = 3,BC = 4,∠ B = 90°,AD$平分$∠ BAC$,请运用上述定理,求$△ ABD$的周长.
角平分线分线段成比例定理:如图1,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是该定理的部分证明过程:
如图2,过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E……
【新知探究】
(1)请按照上面的证明思路,写出剩余部分的证明；
【新知运用】
(2)如图3,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB = 3,BC = 4,∠ B = 90°,AD$平分$∠ BAC$,请运用上述定理,求$△ ABD$的周长.
答案
(1)证明:如题图2,过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E,$\therefore CE// DA,\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ 2.$
$\because CE// DA,\therefore ∠ 1=∠ E,∠ 2=∠ ACE$,
$\therefore ∠ E=∠ ACE,\therefore AC=AE,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$
(2)解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3,BC=4$,
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$(角平分线分线段成比例),
$\therefore \frac{5}{3}=\frac{CD}{BD},\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{3}{8},\therefore BD=\frac{3}{8}×4=\frac{3}{2}.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB=3,BD=\frac{3}{2}$,
由勾股定理得$AD=\sqrt{BD^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore △ ABD$的周长为$BD+AB+AD=\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ 2.$
$\because CE// DA,\therefore ∠ 1=∠ E,∠ 2=∠ ACE$,
$\therefore ∠ E=∠ ACE,\therefore AC=AE,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$
(2)解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3,BC=4$,
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$(角平分线分线段成比例),
$\therefore \frac{5}{3}=\frac{CD}{BD},\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{3}{8},\therefore BD=\frac{3}{8}×4=\frac{3}{2}.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB=3,BD=\frac{3}{2}$,
由勾股定理得$AD=\sqrt{BD^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore △ ABD$的周长为$BD+AB+AD=\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}.$
解析
【分析】
(1) 要完成角平分线分线段成比例定理的证明，首先利用所作平行线CE//AD，结合平行线分线段成比例得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$；再结合角平分线的定义和平行线的性质，推导得到∠E=∠ACE，由等角对等边得出AC=AE，将比例中的AE替换为AC即可得到最终结论。
(2) 求解△ABD的周长，第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步利用角平分线分线段成比例定理，结合BC的总长度求出BD的长；第三步在Rt△ABD中用勾股定理算出AD的长度；最后将△ABD三边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：如题图2，过点C作$CE// DA$，交BA的延长线于点E，
$\because CE// DA$，$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\because CE// DA$，$\therefore ∠ 1=∠ E$，$∠ 2=∠ ACE$，
$\therefore ∠ E=∠ ACE$，$\therefore AC=AE$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ B=90°$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，
$\therefore \frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$，则$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，
$\therefore BD=\frac{3}{8}×4=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BD=\frac{3}{2}$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{BD^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore △ ABD$的周长为$BD+AB+AD=\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 证明如上，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$成立；
(2) $\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题围绕角平分线分线段成比例定理设置问题，既考查了定理的推导逻辑，又考查了定理的实际应用，同时结合了勾股定理的计算，要求学生能熟练运用平行线性质、等腰三角形判定等基础知识，并且能将新学定理灵活运用到几何计算中。
【难度系数】
0.7
(1) 要完成角平分线分线段成比例定理的证明，首先利用所作平行线CE//AD，结合平行线分线段成比例得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$；再结合角平分线的定义和平行线的性质，推导得到∠E=∠ACE，由等角对等边得出AC=AE，将比例中的AE替换为AC即可得到最终结论。
(2) 求解△ABD的周长，第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步利用角平分线分线段成比例定理，结合BC的总长度求出BD的长；第三步在Rt△ABD中用勾股定理算出AD的长度；最后将△ABD三边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：如题图2，过点C作$CE// DA$，交BA的延长线于点E，
$\because CE// DA$，$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\because CE// DA$，$\therefore ∠ 1=∠ E$，$∠ 2=∠ ACE$，
$\therefore ∠ E=∠ ACE$，$\therefore AC=AE$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ B=90°$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，
$\therefore \frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$，则$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，
$\therefore BD=\frac{3}{8}×4=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BD=\frac{3}{2}$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{BD^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore △ ABD$的周长为$BD+AB+AD=\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 证明如上，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$成立；
(2) $\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题围绕角平分线分线段成比例定理设置问题，既考查了定理的推导逻辑，又考查了定理的实际应用，同时结合了勾股定理的计算，要求学生能熟练运用平行线性质、等腰三角形判定等基础知识，并且能将新学定理灵活运用到几何计算中。
【难度系数】
0.7
11. 推理能力 [2026合肥三十八中期中] 在$△ ABC$中，点D在BC上，点E在AC上，AD与BE交于点F.
(1)如图1，D是BC的中点，F是AD的中点，$DG// BE$交AC于点G，求证：$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$.
(2)如图2，若$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$，$\frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，求$\frac{AE}{EC}$的值.
(1)如图1，D是BC的中点，F是AD的中点，$DG// BE$交AC于点G，求证：$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$.
(2)如图2，若$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$，$\frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，求$\frac{AE}{EC}$的值.
答案
(1)证明:$\because D$是$BC$的中点,$\therefore CD=BD.$
$\because DG// BE,\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1,\therefore CG=EG.$
$\because F$是$AD$的中点,$\therefore AF=DF.$
$\because DG// BE,\therefore \frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD}=1,\therefore AE=EG$,
$\therefore AE=EG=CG,\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EG+CG}=\frac{1}{2}.$
(2)解:如图,过点$D$作$DH// BE$交$AC$于点H.
$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},DH// BE,\therefore \frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},\therefore CH=4HE.$
$\because \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2},DH// BE,\therefore \frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2},\therefore AE=\frac{3}{2}HE.$
$\because EC=HE+CH,\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{2}HE}{HE+4HE}=\frac{3}{10}.$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：
(1) 题中给出平行线$DG// BE$和两个中点条件，先结合D是BC中点的条件，利用平行线分线段成比例得到$EG=CG$；再结合F是AD中点的条件，利用平行线分线段成比例得到$AE=EG$，即可推出三段线段相等，进而求出所求比值。
(2) 没有可直接使用的平行线，因此类比第一问的思路，过D作$DH// BE$构造符合定理的图形。先根据$\frac{BD}{DC}$的比值，结合平行线分线段成比例得到HE和CH的数量关系；再根据$\frac{AF}{FD}$的比值，得到AE和HE的数量关系，最后将EC用HE表示后代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore CD=BD$。
$\because DG// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$，$\therefore CG=EG$。
$\because F$是$AD$的中点，$\therefore AF=DF$。
$\because DG// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD}=1$，$\therefore AE=EG$。
$\therefore AE=EG=CG$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EG+CG}=\frac{1}{2}$。
(2) 解：
如图，过点$D$作$DH// BE$交$AC$于点H。
$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$，$DH// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$，$\therefore CH=4HE$。
$\because \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，$DH// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2}$，$\therefore AE=\frac{3}{2}HE$。
$\because EC=HE+CH$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{2}HE}{HE+4HE}=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1) $\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，证明如上；
(2) $\frac{AE}{EC}=\frac{3}{10}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算，辅助线构造
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的典型应用题型，第一问为定理的基础应用，第二问需要类比第一问的思路构造平行线，掌握“见线段比例作平行线”的辅助线技巧，即可快速解决此类线段比例求解问题。
【难度系数】
0.6
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：
(1) 题中给出平行线$DG// BE$和两个中点条件，先结合D是BC中点的条件，利用平行线分线段成比例得到$EG=CG$；再结合F是AD中点的条件，利用平行线分线段成比例得到$AE=EG$，即可推出三段线段相等，进而求出所求比值。
(2) 没有可直接使用的平行线，因此类比第一问的思路，过D作$DH// BE$构造符合定理的图形。先根据$\frac{BD}{DC}$的比值，结合平行线分线段成比例得到HE和CH的数量关系；再根据$\frac{AF}{FD}$的比值，得到AE和HE的数量关系，最后将EC用HE表示后代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore CD=BD$。
$\because DG// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$，$\therefore CG=EG$。
$\because F$是$AD$的中点，$\therefore AF=DF$。
$\because DG// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD}=1$，$\therefore AE=EG$。
$\therefore AE=EG=CG$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EG+CG}=\frac{1}{2}$。
(2) 解：
如图，过点$D$作$DH// BE$交$AC$于点H。
$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$，$DH// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$，$\therefore CH=4HE$。
$\because \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$，$DH// BE$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2}$，$\therefore AE=\frac{3}{2}HE$。
$\because EC=HE+CH$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{2}HE}{HE+4HE}=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1) $\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，证明如上；
(2) $\frac{AE}{EC}=\frac{3}{10}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算，辅助线构造
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的典型应用题型，第一问为定理的基础应用，第二问需要类比第一问的思路构造平行线，掌握“见线段比例作平行线”的辅助线技巧，即可快速解决此类线段比例求解问题。
【难度系数】
0.6
