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5. 已知$\frac{a-3}{5}=\frac{b+2}{3}$。
（1）判断$3a$与$5b+19$是否相等，并说明理由；
（2）当$a=3x+5$，$b=2x-1$，求$x$的值。
（1）判断$3a$与$5b+19$是否相等，并说明理由；
（2）当$a=3x+5$，$b=2x-1$，求$x$的值。
答案
5. (1) $3a=5b+19$.理由如下：
$\because \frac{a-3}{5}=\frac{b+2}{3}$, $\therefore 15×\frac{a-3}{5}=15×\frac{b+2}{3}$, $\therefore 3(a-3)=5(b+2)$, $\therefore 3a-9=5b+10$, $\therefore 3a=5b+10+9$, $\therefore 3a=5b+19$.
(2) 解:把$a=3x+5$,$b=2x-1$代入$3a=5b+19$,得$3(3x+5)=5(2x-1)+19$, $\therefore 9x+15=10x-5+19$, $\therefore 9x-10x=-5+19-15$, $\therefore -x=-1$, $\therefore x=1$.
$\because \frac{a-3}{5}=\frac{b+2}{3}$, $\therefore 15×\frac{a-3}{5}=15×\frac{b+2}{3}$, $\therefore 3(a-3)=5(b+2)$, $\therefore 3a-9=5b+10$, $\therefore 3a=5b+10+9$, $\therefore 3a=5b+19$.
(2) 解:把$a=3x+5$,$b=2x-1$代入$3a=5b+19$,得$3(3x+5)=5(2x-1)+19$, $\therefore 9x+15=10x-5+19$, $\therefore 9x-10x=-5+19-15$, $\therefore -x=-1$, $\therefore x=1$.
解析
【分析】
（1）要判断3a与5b+19是否相等，可先对已知比例式消去分母：两个分母分别是5和3，最小公倍数为15，根据等式的性质，给等式两边同时乘15即可消去分母，再经过去括号、移项整理，就能得到3a的表达式，和5b+19对比即可得出结论。
（2）已知a、b均为含x的整式，可直接将a、b的表达式代入第（1）问推导得到的等量关系中，即可得到关于x的一元一次方程，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出x的值。
【解析】
（1）$3a=5b+19$，理由如下：
$\because \frac{a-3}{5}=\frac{b+2}{3}$，
$\therefore$ 等式两边同时乘15得：$15×\frac{a-3}{5}=15×\frac{b+2}{3}$，
化简得：$3(a-3)=5(b+2)$，
去括号得：$3a-9=5b+10$，
移项得：$3a=5b+10+9$，
合并同类项得：$3a=5b+19$，故二者相等。
（2）解：把$a=3x+5$，$b=2x-1$代入$3a=5b+19$，得：
$3(3x+5)=5(2x-1)+19$，
去括号得：$9x+15=10x-5+19$，
移项得：$9x-10x=-5+19-15$，
合并同类项得：$-x=-1$，
系数化为1得：$x=1$。
【答案】
（1）$3a$与$5b+19$相等；（2）$x=1$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程；比例式变形
【点评】
本题侧重基础运算能力的考查，第一问需要熟练运用等式的性质对比例式变形，第二问通过代入法将问题转化为一元一次方程求解，是方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）要判断3a与5b+19是否相等，可先对已知比例式消去分母：两个分母分别是5和3，最小公倍数为15，根据等式的性质，给等式两边同时乘15即可消去分母，再经过去括号、移项整理，就能得到3a的表达式，和5b+19对比即可得出结论。
（2）已知a、b均为含x的整式，可直接将a、b的表达式代入第（1）问推导得到的等量关系中，即可得到关于x的一元一次方程，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出x的值。
【解析】
（1）$3a=5b+19$，理由如下：
$\because \frac{a-3}{5}=\frac{b+2}{3}$，
$\therefore$ 等式两边同时乘15得：$15×\frac{a-3}{5}=15×\frac{b+2}{3}$，
化简得：$3(a-3)=5(b+2)$，
去括号得：$3a-9=5b+10$，
移项得：$3a=5b+10+9$，
合并同类项得：$3a=5b+19$，故二者相等。
（2）解：把$a=3x+5$，$b=2x-1$代入$3a=5b+19$，得：
$3(3x+5)=5(2x-1)+19$，
去括号得：$9x+15=10x-5+19$，
移项得：$9x-10x=-5+19-15$，
合并同类项得：$-x=-1$，
系数化为1得：$x=1$。
【答案】
（1）$3a$与$5b+19$相等；（2）$x=1$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程；比例式变形
【点评】
本题侧重基础运算能力的考查，第一问需要熟练运用等式的性质对比例式变形，第二问通过代入法将问题转化为一元一次方程求解，是方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 已知$x=-10$是方程$\frac{x - m}{2} - 2 = \frac{3x}{4}$的解.
（1）求$m$的值；
（2）求代数式$\frac{1}{4}(-4m^2 + 2m - 8) - (\frac{1}{2}m - 1)$的值.
（1）求$m$的值；
（2）求代数式$\frac{1}{4}(-4m^2 + 2m - 8) - (\frac{1}{2}m - 1)$的值.
答案
6. (1) $m=1$；(2) 原式$=-1-1=-2$
解析
【分析】
（1）根据方程解的定义，方程的解代入原方程可使左右两边相等，因此将$x=-10$代入已知方程，即可得到关于$m$的一元一次方程，解这个方程就能求出$m$的值；
（2）先对代数式进行去括号、合并同类项的化简操作，再将第（1）问求出的$m$值代入化简后的式子计算，比直接代入原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
（1）$\because x=-10$是方程$\frac{x - m}{2} - 2 = \frac{3x}{4}$的解
$\therefore$将$x=-10$代入方程得：
$\frac{-10 - m}{2} - 2 = \frac{3×(-10)}{4}$
两边同时乘4消去分母得：
$2(-10 - m) - 8 = -30$
去括号得：
$-20 - 2m - 8 = -30$
合并同类项得：
$-28 - 2m = -30$
移项得：
$-2m = -30 + 28$
$-2m = -2$
系数化为1得：
$m = 1$
（2）先化简代数式$\frac{1}{4}(-4m^2 + 2m - 8) - (\frac{1}{2}m - 1)$
去括号得：
$-m^2 + \frac{1}{2}m - 2 - \frac{1}{2}m + 1$
合并同类项得：
$-m^2 - 1$
将$m=1$代入化简后的式子得：
原式$=-1^2 - 1 = -1 -1 = -2$
【答案】
（1）$m=1$；（2）$-2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；整式的化简求值；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查方程解的应用和整式运算的基本法则，解题时先化简代数式再代入求值可有效简化计算过程，需要熟练掌握去括号、移项、合并同类项等基础运算技能。
【难度系数】
0.8
（1）根据方程解的定义，方程的解代入原方程可使左右两边相等，因此将$x=-10$代入已知方程，即可得到关于$m$的一元一次方程，解这个方程就能求出$m$的值；
（2）先对代数式进行去括号、合并同类项的化简操作，再将第（1）问求出的$m$值代入化简后的式子计算，比直接代入原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
（1）$\because x=-10$是方程$\frac{x - m}{2} - 2 = \frac{3x}{4}$的解
$\therefore$将$x=-10$代入方程得：
$\frac{-10 - m}{2} - 2 = \frac{3×(-10)}{4}$
两边同时乘4消去分母得：
$2(-10 - m) - 8 = -30$
去括号得：
$-20 - 2m - 8 = -30$
合并同类项得：
$-28 - 2m = -30$
移项得：
$-2m = -30 + 28$
$-2m = -2$
系数化为1得：
$m = 1$
（2）先化简代数式$\frac{1}{4}(-4m^2 + 2m - 8) - (\frac{1}{2}m - 1)$
去括号得：
$-m^2 + \frac{1}{2}m - 2 - \frac{1}{2}m + 1$
合并同类项得：
$-m^2 - 1$
将$m=1$代入化简后的式子得：
原式$=-1^2 - 1 = -1 -1 = -2$
【答案】
（1）$m=1$；（2）$-2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；整式的化简求值；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查方程解的应用和整式运算的基本法则，解题时先化简代数式再代入求值可有效简化计算过程，需要熟练掌握去括号、移项、合并同类项等基础运算技能。
【难度系数】
0.8
已知关于$x$的一元一次方程$\frac{mx}{6} - 3 = \frac{x - 8}{3}$（其中$m$为常数）.
（1）佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的－3乘6，最终解得$x=1$，求这个方程正确的解.
（2）若该方程的解为整数，且$m$为整数，求$m$的值.
（1）佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的－3乘6，最终解得$x=1$，求这个方程正确的解.
（2）若该方程的解为整数，且$m$为整数，求$m$的值.
答案
(1) 由条件可得$m-3=2×(1-8)$,解得$m=-11$,将$m=-11$代入$\frac{mx}{6}-3=\frac{x-8}{3}$,得$\frac{-11x}{6}-3=\frac{x-8}{3}$,解得$x=-\frac{2}{13}$；
(2) 原方程去分母,得$mx-18=2(x-8)$,去括号,得$mx-18=2x-16$,移项、合并同类项,得$(m-2)x=2$,系数化为1,得$x=\frac{2}{m-2}$$(m≠2)$. $\because$该方程的解为整数,且$m$为整数,$\therefore m-2$的值可能为$-2,-1,1,2$,$\therefore m$的值可能为$0,1,3,4$.
(2) 原方程去分母,得$mx-18=2(x-8)$,去括号,得$mx-18=2x-16$,移项、合并同类项,得$(m-2)x=2$,系数化为1,得$x=\frac{2}{m-2}$$(m≠2)$. $\because$该方程的解为整数,且$m$为整数,$\therefore m-2$的值可能为$-2,-1,1,2$,$\therefore m$的值可能为$0,1,3,4$.
解析
【分析】
（1）第一问的解题思路：佳佳去分母时漏乘左边的$-3$，因此$x=1$是她错误操作得到的方程的解，而非原方程的解。先根据她的错误去分母方式写出错误方程，将$x=1$代入错误方程求出$m$的值，再把$m$代入原方程，按正确步骤解一元一次方程即可得到正确解。
（2）第二问的解题思路：先把$m$看作常数，按解一元一次方程的常规步骤求出$x$关于$m$的表达式，结合“解为整数、$m$为整数”的条件，可知分母$m-2$是$2$的所有整数因数（含正负），同时注意$m≠2$（分母不能为0），分类计算即可得到所有符合条件的$m$值。
【解析】
（1）佳佳去分母时忘记给左边的$-3$乘6，得到的错误方程为：
$mx - 3 = 2(x - 8)$
将$x=1$代入上述错误方程得：
$m×1 - 3 = 2×(1 - 8)$
解得$m = -11$
把$m=-11$代入原方程$\frac{mx}{6} - 3 = \frac{x - 8}{3}$得：
$\frac{-11x}{6} - 3 = \frac{x - 8}{3}$
正确去分母，两边同乘6：$-11x - 18 = 2(x - 8)$
去括号：$-11x - 18 = 2x - 16$
移项：$-11x - 2x = -16 + 18$
合并同类项：$-13x = 2$
系数化为1：$x = -\frac{2}{13}$
（2）求解原方程：
去分母，两边同乘6：$mx - 18 = 2(x - 8)$
去括号：$mx - 18 = 2x - 16$
移项：$mx - 2x = -16 + 18$
合并同类项：$(m - 2)x = 2$
当$m≠2$时，系数化为1得$x = \frac{2}{m - 2}$
∵方程的解为整数，$m$为整数
∴$m-2$是2的整数因数，取值可为$-2、-1、1、2$
对应计算得：$m=0、1、3、4$
【答案】
(1) $x=-\frac{2}{13}$
(2) $m$的值为$0,1,3,4$
【知识点】
解一元一次方程，方程的解的应用，含参数方程整数解分析
【点评】
本题易错点有两处：一是错解仅满足错误操作得到的方程，需先通过错解求参数再代回原方程求解；二是求整数解时要考虑所有正负整数因数，不能漏解，同时要注意分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.7
（1）第一问的解题思路：佳佳去分母时漏乘左边的$-3$，因此$x=1$是她错误操作得到的方程的解，而非原方程的解。先根据她的错误去分母方式写出错误方程，将$x=1$代入错误方程求出$m$的值，再把$m$代入原方程，按正确步骤解一元一次方程即可得到正确解。
（2）第二问的解题思路：先把$m$看作常数，按解一元一次方程的常规步骤求出$x$关于$m$的表达式，结合“解为整数、$m$为整数”的条件，可知分母$m-2$是$2$的所有整数因数（含正负），同时注意$m≠2$（分母不能为0），分类计算即可得到所有符合条件的$m$值。
【解析】
（1）佳佳去分母时忘记给左边的$-3$乘6，得到的错误方程为：
$mx - 3 = 2(x - 8)$
将$x=1$代入上述错误方程得：
$m×1 - 3 = 2×(1 - 8)$
解得$m = -11$
把$m=-11$代入原方程$\frac{mx}{6} - 3 = \frac{x - 8}{3}$得：
$\frac{-11x}{6} - 3 = \frac{x - 8}{3}$
正确去分母，两边同乘6：$-11x - 18 = 2(x - 8)$
去括号：$-11x - 18 = 2x - 16$
移项：$-11x - 2x = -16 + 18$
合并同类项：$-13x = 2$
系数化为1：$x = -\frac{2}{13}$
（2）求解原方程：
去分母，两边同乘6：$mx - 18 = 2(x - 8)$
去括号：$mx - 18 = 2x - 16$
移项：$mx - 2x = -16 + 18$
合并同类项：$(m - 2)x = 2$
当$m≠2$时，系数化为1得$x = \frac{2}{m - 2}$
∵方程的解为整数，$m$为整数
∴$m-2$是2的整数因数，取值可为$-2、-1、1、2$
对应计算得：$m=0、1、3、4$
【答案】
(1) $x=-\frac{2}{13}$
(2) $m$的值为$0,1,3,4$
【知识点】
解一元一次方程，方程的解的应用，含参数方程整数解分析
【点评】
本题易错点有两处：一是错解仅满足错误操作得到的方程，需先通过错解求参数再代回原方程求解；二是求整数解时要考虑所有正负整数因数，不能漏解，同时要注意分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.7
1. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有38人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍。设从乙处调配x人去甲处，则（
A.$38=2(32-x)$
B.$38+x=2×32$
C.$38-x=2(32+x)$
D.$38+x=2(32-x)$
D
）A.$38=2(32-x)$
B.$38+x=2×32$
C.$38-x=2(32+x)$
D.$38+x=2(32-x)$
答案
1. D.
解析
【分析】
遇到这类人员调配的列方程问题，我们可以按以下思路思考：第一步先明确调配后两处的人数分别是多少：从乙处调x人去甲处，甲处原有人数加上调入的x人就是调配后甲处的人数，乙处原有人数减去调出的x人就是调配后乙处的人数；第二步找题干的等量关系：调配后甲处人数是乙处人数的2倍，也就是甲处现有人数=2×乙处现有人数，将我们表示出的两处人数代入等量关系，就能得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知从乙处调配x人去甲处：
1. 调配后甲处的人数为：原有人数+调入人数 = $38 + x$
2. 调配后乙处的人数为：原有人数-调出人数 = $32 - x$
根据“调配后甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍”的等量关系，可列方程：
$38 + x = 2(32 - x)$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；调配问题
【点评】
本题是典型的调配类一元一次方程基础题，解题核心是准确表示出调配前后各位置的数量，抓住题干给出的倍数等量关系列方程即可，出错点多为混淆调配后两处人数的增减变化。
【难度系数】
0.8
遇到这类人员调配的列方程问题，我们可以按以下思路思考：第一步先明确调配后两处的人数分别是多少：从乙处调x人去甲处，甲处原有人数加上调入的x人就是调配后甲处的人数，乙处原有人数减去调出的x人就是调配后乙处的人数；第二步找题干的等量关系：调配后甲处人数是乙处人数的2倍，也就是甲处现有人数=2×乙处现有人数，将我们表示出的两处人数代入等量关系，就能得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知从乙处调配x人去甲处：
1. 调配后甲处的人数为：原有人数+调入人数 = $38 + x$
2. 调配后乙处的人数为：原有人数-调出人数 = $32 - x$
根据“调配后甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍”的等量关系，可列方程：
$38 + x = 2(32 - x)$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；调配问题
【点评】
本题是典型的调配类一元一次方程基础题，解题核心是准确表示出调配前后各位置的数量，抓住题干给出的倍数等量关系列方程即可，出错点多为混淆调配后两处人数的增减变化。
【难度系数】
0.8
