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问题 当 m 为何值时，关于 x 的方程 $5m+2x=\frac{1}{2}+x$ 的解比关于 x 的方程 $x(m+1)=m(1+x)$ 的解大 2？
名师指导
分别求出两个方程的解(用含 m 的代数式表示)，再根据题意，这两个解的差为 2，从而得到关于 m 的一元一次方程，再解此方程即可求出 m 的值。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
名师指导
分别求出两个方程的解(用含 m 的代数式表示)，再根据题意，这两个解的差为 2，从而得到关于 m 的一元一次方程，再解此方程即可求出 m 的值。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案
解：
解方程 $5m+2x=\frac{1}{2}+x$，
移项，得 $2x - x = \frac{1}{2} - 5m$，
合并同类项，得 $x = \frac{1}{2} - 5m$。
解方程 $x(m+1)=m(1+x)$，
去括号，得 $mx + x = m + mx$，
移项，得 $mx + x - mx = m$，
合并同类项，得 $x = m$。
根据题意可得：$\frac{1}{2} - 5m - m = 2$，
合并同类项，得 $\frac{1}{2} - 6m = 2$，
移项，得 $-6m = 2 - \frac{1}{2}$，
化简得 $-6m = \frac{3}{2}$，
系数化为1，得 $m = -\frac{1}{4}$。
答：当$m=-\frac{1}{4}$时，第一个方程的解比第二个方程的解大2。
解方程 $5m+2x=\frac{1}{2}+x$，
移项，得 $2x - x = \frac{1}{2} - 5m$，
合并同类项，得 $x = \frac{1}{2} - 5m$。
解方程 $x(m+1)=m(1+x)$，
去括号，得 $mx + x = m + mx$，
移项，得 $mx + x - mx = m$，
合并同类项，得 $x = m$。
根据题意可得：$\frac{1}{2} - 5m - m = 2$，
合并同类项，得 $\frac{1}{2} - 6m = 2$，
移项，得 $-6m = 2 - \frac{1}{2}$，
化简得 $-6m = \frac{3}{2}$，
系数化为1，得 $m = -\frac{1}{4}$。
答：当$m=-\frac{1}{4}$时，第一个方程的解比第二个方程的解大2。
解析
【分析】
要解决该问题，首先需要分别求解两个关于x的一元一次方程，得到用含m的代数式表示的两个解，再根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的数量关系，列出关于m的一元一次方程，最后解该方程即可求出m的取值。
【解析】
1. 求解方程$5m+2x=\frac{1}{2}+x$：
移项，得 $2x - x = \frac{1}{2} - 5m$，
合并同类项，得 $x = \frac{1}{2} - 5m$。
2. 求解方程$x(m+1)=m(1+x)$：
去括号，得 $mx + x = m + mx$，
移项，得 $mx + x - mx = m$，
合并同类项，得 $x = m$。
3. 根据题意列方程求解m：
已知第一个方程的解比第二个方程的解大2，可得：
$\frac{1}{2} - 5m - m = 2$
合并同类项，得 $\frac{1}{2} - 6m = 2$
移项，得 $-6m = 2 - \frac{1}{2}$
化简得 $-6m = \frac{3}{2}$
系数化为1，得 $m = -\frac{1}{4}$。
【答案】
$m=-\frac{1}{4}$
【知识点】
解一元一次方程；一元一次方程解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的常规应用题型，解题关键是准确求出两个方程的解，再根据解的大小关系建立参数方程，计算时要注意移项时的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先需要分别求解两个关于x的一元一次方程，得到用含m的代数式表示的两个解，再根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的数量关系，列出关于m的一元一次方程，最后解该方程即可求出m的取值。
【解析】
1. 求解方程$5m+2x=\frac{1}{2}+x$：
移项，得 $2x - x = \frac{1}{2} - 5m$，
合并同类项，得 $x = \frac{1}{2} - 5m$。
2. 求解方程$x(m+1)=m(1+x)$：
去括号，得 $mx + x = m + mx$，
移项，得 $mx + x - mx = m$，
合并同类项，得 $x = m$。
3. 根据题意列方程求解m：
已知第一个方程的解比第二个方程的解大2，可得：
$\frac{1}{2} - 5m - m = 2$
合并同类项，得 $\frac{1}{2} - 6m = 2$
移项，得 $-6m = 2 - \frac{1}{2}$
化简得 $-6m = \frac{3}{2}$
系数化为1，得 $m = -\frac{1}{4}$。
【答案】
$m=-\frac{1}{4}$
【知识点】
解一元一次方程；一元一次方程解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的常规应用题型，解题关键是准确求出两个方程的解，再根据解的大小关系建立参数方程，计算时要注意移项时的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 解下列方程：
(1) $\dfrac{3x - 1}{12} - \dfrac{4x + 1}{8} = \dfrac{x - 1}{6} + 1$；
(2) $\dfrac{2}{3}(2t - 6) - \dfrac{1}{2}(2t - 4) = 4$。
(1) $\dfrac{3x - 1}{12} - \dfrac{4x + 1}{8} = \dfrac{x - 1}{6} + 1$；
(2) $\dfrac{2}{3}(2t - 6) - \dfrac{1}{2}(2t - 4) = 4$。
答案
1. (1) $x=-\frac{5}{2}$；(2) $t=18$
解析
【分析】
解带分母的一元一次方程，核心思路是通过固定步骤把方程转化为未知数等于常数的形式：第一步先找所有分母的最小公倍数，方程两边同乘这个最小公倍数去掉分母（注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项）；第二步去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；第三步移项，移动的项要改变符号；第四步合并同类项；第五步把未知数的系数化为1即可得到解。
【解析】
(1) 解：分母12、8、6的最小公倍数是24，方程两边同时乘24得：
$2(3x - 1) - 3(4x + 1) = 4(x - 1) + 24$
去括号得：
$6x - 2 - 12x - 3 = 4x - 4 + 24$
移项得：
$6x - 12x - 4x = -4 + 24 + 2 + 3$
合并同类项得：
$-10x = 25$
系数化为1得：
$x = -\dfrac{5}{2}$
(2) 解：分母3、2的最小公倍数是6，方程两边同时乘6得：
$4(2t - 6) - 3(2t - 4) = 24$
去括号得：
$8t - 24 - 6t + 12 = 24$
移项得：
$8t - 6t = 24 + 24 - 12$
合并同类项得：
$2t = 36$
系数化为1得：
$t = 18$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{5}{2}$；(2) $t=18$
【知识点】
解一元一次方程、去分母法则、去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查解方程的常规步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、去括号和移项时符号出错，熟练掌握运算规则、按步骤细心计算即可准确求解。
【难度系数】
0.8
解带分母的一元一次方程，核心思路是通过固定步骤把方程转化为未知数等于常数的形式：第一步先找所有分母的最小公倍数，方程两边同乘这个最小公倍数去掉分母（注意每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项）；第二步去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；第三步移项，移动的项要改变符号；第四步合并同类项；第五步把未知数的系数化为1即可得到解。
【解析】
(1) 解：分母12、8、6的最小公倍数是24，方程两边同时乘24得：
$2(3x - 1) - 3(4x + 1) = 4(x - 1) + 24$
去括号得：
$6x - 2 - 12x - 3 = 4x - 4 + 24$
移项得：
$6x - 12x - 4x = -4 + 24 + 2 + 3$
合并同类项得：
$-10x = 25$
系数化为1得：
$x = -\dfrac{5}{2}$
(2) 解：分母3、2的最小公倍数是6，方程两边同时乘6得：
$4(2t - 6) - 3(2t - 4) = 24$
去括号得：
$8t - 24 - 6t + 12 = 24$
移项得：
$8t - 6t = 24 + 24 - 12$
合并同类项得：
$2t = 36$
系数化为1得：
$t = 18$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{5}{2}$；(2) $t=18$
【知识点】
解一元一次方程、去分母法则、去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查解方程的常规步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、去括号和移项时符号出错，熟练掌握运算规则、按步骤细心计算即可准确求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知关于$x$的方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$与$\frac{x + 1}{3} = 2x - 3$的解互为倒数，求$m$的值.
答案
2. $m=-\frac{3}{10}$
解析
【分析】
解题按照三步思路进行：①先求解不含参数的方程$\frac{x + 1}{3} = 2x - 3$，得到该方程的解；②根据两个方程的解互为倒数的关系，计算出含参数$m$的方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解；③将得到的解代入含$m$的方程，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
1. 求解方程$\frac{x + 1}{3} = 2x - 3$：
两边同乘3去分母，得：$x + 1 = 3(2x - 3)$
去括号，得：$x + 1 = 6x - 9$
移项，得：$x - 6x = -9 - 1$
合并同类项，得：$-5x = -10$
系数化为1，得：$x = 2$
2. 由两个方程的解互为倒数，可得方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解为$x=\frac{1}{2}$。
3. 将$x=\frac{1}{2}$代入$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$求解$m$：
代入得：$\frac{\frac{1}{2} - m}{2} = \frac{1}{2} + \frac{m}{3}$
两边同乘6去分母，得：$3(\frac{1}{2} - m) = 3 + 2m$
去括号，得：$\frac{3}{2} - 3m = 3 + 2m$
移项，得：$-3m - 2m = 3 - \frac{3}{2}$
合并同类项，得：$-5m = \frac{3}{2}$
系数化为1，得：$m = -\frac{3}{10}$
【答案】
$m=-\frac{3}{10}$
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的定义；倒数的定义
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，核心解题逻辑是先求无参数方程的解，再利用倒数关系搭建含参数的求解方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题按照三步思路进行：①先求解不含参数的方程$\frac{x + 1}{3} = 2x - 3$，得到该方程的解；②根据两个方程的解互为倒数的关系，计算出含参数$m$的方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解；③将得到的解代入含$m$的方程，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
1. 求解方程$\frac{x + 1}{3} = 2x - 3$：
两边同乘3去分母，得：$x + 1 = 3(2x - 3)$
去括号，得：$x + 1 = 6x - 9$
移项，得：$x - 6x = -9 - 1$
合并同类项，得：$-5x = -10$
系数化为1，得：$x = 2$
2. 由两个方程的解互为倒数，可得方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解为$x=\frac{1}{2}$。
3. 将$x=\frac{1}{2}$代入$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$求解$m$：
代入得：$\frac{\frac{1}{2} - m}{2} = \frac{1}{2} + \frac{m}{3}$
两边同乘6去分母，得：$3(\frac{1}{2} - m) = 3 + 2m$
去括号，得：$\frac{3}{2} - 3m = 3 + 2m$
移项，得：$-3m - 2m = 3 - \frac{3}{2}$
合并同类项，得：$-5m = \frac{3}{2}$
系数化为1，得：$m = -\frac{3}{10}$
【答案】
$m=-\frac{3}{10}$
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的定义；倒数的定义
【点评】
本题是一元一次方程的基础综合题，核心解题逻辑是先求无参数方程的解，再利用倒数关系搭建含参数的求解方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 已知代数式$\frac{1}{3}(y+1)-\frac{3}{4}(2y-2)$与代数式$1+\frac{1}{2}(y-3)$的值相等，求$y$的值.
答案
3. $y=\frac{7}{5}$
解析
【分析】
首先根据两个代数式值相等的等量关系，列出关于y的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤求解：第一步去分母，两边同乘所有分母的最小公倍数12，注意常数项也要乘，避免漏乘；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号；第三步移项，移项要记得变号；第四步合并同类项；第五步系数化为1，即可得到y的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{1}{3}(y+1)-\frac{3}{4}(2y-2)=1+\frac{1}{2}(y-3)$
去分母（两边同乘12）：
$4(y+1)-9(2y-2)=12+6(y-3)$
去括号：
$4y+4-18y+18=12+6y-18$
合并同类项：
$-14y+22=6y-6$
移项：
$-14y-6y=-6-22$
合并同类项：
$-20y=-28$
系数化为1：
$y=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}$
【答案】
$y=\frac{7}{5}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；去括号与去分母
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用，核心考查解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意去分母不漏乘常数项、去括号时符号变化、移项要变号这几个常见易错点，熟练掌握基础步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先根据两个代数式值相等的等量关系，列出关于y的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤求解：第一步去分母，两边同乘所有分母的最小公倍数12，注意常数项也要乘，避免漏乘；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号；第三步移项，移项要记得变号；第四步合并同类项；第五步系数化为1，即可得到y的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{1}{3}(y+1)-\frac{3}{4}(2y-2)=1+\frac{1}{2}(y-3)$
去分母（两边同乘12）：
$4(y+1)-9(2y-2)=12+6(y-3)$
去括号：
$4y+4-18y+18=12+6y-18$
合并同类项：
$-14y+22=6y-6$
移项：
$-14y-6y=-6-22$
合并同类项：
$-20y=-28$
系数化为1：
$y=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}$
【答案】
$y=\frac{7}{5}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；去括号与去分母
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用，核心考查解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意去分母不漏乘常数项、去括号时符号变化、移项要变号这几个常见易错点，熟练掌握基础步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4. 一个数，它的$\frac{2}{3}$、它的$\frac{1}{2}$、它的$\frac{1}{7}$、它的全部，加起来和是194，求这个数。
答案
4. 84
解析
【分析】
我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先将要求的数设为未知数x，根据题目描述分别表示出它的$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{7}$以及它本身，再根据四部分相加和为194的等量关系列出方程，之后按照去分母、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：设这个数为$x$，根据题意列方程：
$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x + x = 194$
分母3、2、7的最小公倍数是42，方程两边同时乘42去分母：
$42×\frac{2}{3}x + 42×\frac{1}{2}x + 42×\frac{1}{7}x + 42x = 194×42$
计算化简得：
$28x + 21x + 6x + 42x = 8148$
合并同类项：
$97x = 8148$
系数化为1：
$x = 8148÷97 = 84$
【答案】
84
【知识点】
列一元一次方程解应用题，解含分数系数的一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，核心是读懂题意梳理等量关系列方程，计算时注意去分母不要漏乘常数项，熟练掌握含分数系数一元一次方程的解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先将要求的数设为未知数x，根据题目描述分别表示出它的$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{7}$以及它本身，再根据四部分相加和为194的等量关系列出方程，之后按照去分母、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：设这个数为$x$，根据题意列方程：
$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x + x = 194$
分母3、2、7的最小公倍数是42，方程两边同时乘42去分母：
$42×\frac{2}{3}x + 42×\frac{1}{2}x + 42×\frac{1}{7}x + 42x = 194×42$
计算化简得：
$28x + 21x + 6x + 42x = 8148$
合并同类项：
$97x = 8148$
系数化为1：
$x = 8148÷97 = 84$
【答案】
84
【知识点】
列一元一次方程解应用题，解含分数系数的一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，核心是读懂题意梳理等量关系列方程，计算时注意去分母不要漏乘常数项，熟练掌握含分数系数一元一次方程的解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
