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2. 某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用$x$千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为 （
A.$3x=6(9-x)$
B.$3x=4×6(9-x)$
C.$6×3x=4(9-x)$
D.$4×3x=6(9-x)$
D
）A.$3x=6(9-x)$
B.$3x=4×6(9-x)$
C.$6×3x=4(9-x)$
D.$4×3x=6(9-x)$
答案
2. D.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的配套应用题，解题时先抓核心等量关系：配套物品的数量要符合配套比例。本题中1个茶壶配4只茶杯，说明茶杯总数量是茶壶总数量的4倍。接下来我们先分别表示出茶壶、茶杯的总数量：已知用x千克紫砂泥做茶壶，那么做茶杯的紫砂泥就是总质量9千克减去做茶壶的质量，即(9-x)千克；再结合“1千克做3个茶壶、1千克做6只茶杯”的条件，就能分别算出茶壶、茶杯的总数量，最后代入配套的等量关系就能列出方程。
【解析】
步骤1：确定两种用途的紫砂泥用量
用x千克紫砂泥做茶壶，则做茶杯的紫砂泥质量为$(9-x)$千克。
步骤2：分别计算茶壶、茶杯的总数量
1千克紫砂泥可做3个茶壶，因此茶壶总数量为$3x$个；
1千克紫砂泥可做6只茶杯，因此茶杯总数量为$6(9-x)$只。
步骤3：结合配套关系列方程
每套茶具需要1个茶壶和4只茶杯，要恰好配套，则茶杯总数量=4×茶壶总数量，代入得：
$4×3x=6(9-x)$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题、等量关系建立
【点评】
本题是配套类应用题的典型考法，解题的核心是准确抓住配套物品之间的数量比例关系，再结合已知条件分别表示出对应物品的总数量，代入等量关系即可列出方程，掌握解题思路后很容易得分。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的配套应用题，解题时先抓核心等量关系：配套物品的数量要符合配套比例。本题中1个茶壶配4只茶杯，说明茶杯总数量是茶壶总数量的4倍。接下来我们先分别表示出茶壶、茶杯的总数量：已知用x千克紫砂泥做茶壶，那么做茶杯的紫砂泥就是总质量9千克减去做茶壶的质量，即(9-x)千克；再结合“1千克做3个茶壶、1千克做6只茶杯”的条件，就能分别算出茶壶、茶杯的总数量，最后代入配套的等量关系就能列出方程。
【解析】
步骤1：确定两种用途的紫砂泥用量
用x千克紫砂泥做茶壶，则做茶杯的紫砂泥质量为$(9-x)$千克。
步骤2：分别计算茶壶、茶杯的总数量
1千克紫砂泥可做3个茶壶，因此茶壶总数量为$3x$个；
1千克紫砂泥可做6只茶杯，因此茶杯总数量为$6(9-x)$只。
步骤3：结合配套关系列方程
每套茶具需要1个茶壶和4只茶杯，要恰好配套，则茶杯总数量=4×茶壶总数量，代入得：
$4×3x=6(9-x)$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题、等量关系建立
【点评】
本题是配套类应用题的典型考法，解题的核心是准确抓住配套物品之间的数量比例关系，再结合已知条件分别表示出对应物品的总数量，代入等量关系即可列出方程，掌握解题思路后很容易得分。
【难度系数】
0.8
3. 某项工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需 24 天，乙队单独完成需 16 天，先由甲队做5天，然后两队合做，问：再做几天可完成工程的$\frac{5}{8}$？
答案
3. 4天.
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的公式梳理等量关系。首先先算出甲、乙两队各自的工作效率，再根据“甲单独做5天的工作量 + 甲乙合作x天的工作量 = 总工作量的$\frac{5}{8}$”这个等量关系设未知数列方程求解即可。
【解析】
解：设再做$x$天可完成工程的$\frac{5}{8}$。
把总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{24}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{16}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{24} × 5 + ( \frac{1}{24} + \frac{1}{16} )x = \frac{5}{8}$
先计算括号内的效率和，通分得：
$\frac{1}{24} + \frac{1}{16} = \frac{2}{48} + \frac{3}{48} = \frac{5}{48}$
方程化简为：
$\frac{5}{24} + \frac{5}{48}x = \frac{5}{8}$
两边同时乘以48消去分母：
$5 × 2 + 5x = 5 × 6$
$10 + 5x = 30$
移项计算得：
$5x = 20$
$x = 4$
经检验，$x=4$符合题意。
【答案】
4天
【知识点】
一元一次方程的应用，工程问题解法，工作量计算公式
【点评】
本题是工程类实际问题的基础题型，解题的关键是明确把总工作量设为单位“1”，准确拆分不同阶段的工作量，找到等量关系列方程求解，掌握该解题思路可以举一反三解决同类实际应用问题。
【难度系数】
0.75
这是典型的工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的公式梳理等量关系。首先先算出甲、乙两队各自的工作效率，再根据“甲单独做5天的工作量 + 甲乙合作x天的工作量 = 总工作量的$\frac{5}{8}$”这个等量关系设未知数列方程求解即可。
【解析】
解：设再做$x$天可完成工程的$\frac{5}{8}$。
把总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{24}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{16}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{24} × 5 + ( \frac{1}{24} + \frac{1}{16} )x = \frac{5}{8}$
先计算括号内的效率和，通分得：
$\frac{1}{24} + \frac{1}{16} = \frac{2}{48} + \frac{3}{48} = \frac{5}{48}$
方程化简为：
$\frac{5}{24} + \frac{5}{48}x = \frac{5}{8}$
两边同时乘以48消去分母：
$5 × 2 + 5x = 5 × 6$
$10 + 5x = 30$
移项计算得：
$5x = 20$
$x = 4$
经检验，$x=4$符合题意。
【答案】
4天
【知识点】
一元一次方程的应用，工程问题解法，工作量计算公式
【点评】
本题是工程类实际问题的基础题型，解题的关键是明确把总工作量设为单位“1”，准确拆分不同阶段的工作量，找到等量关系列方程求解，掌握该解题思路可以举一反三解决同类实际应用问题。
【难度系数】
0.75
4. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少。
答案
4. 人数为21人，羊价为150元.
解析
【分析】
这是一道列方程解决实际问题的题目，解题核心是找到题目中的不变量建立等量关系。本题中总人数、羊的总价都是固定值，我们可以设人数为未知数，根据“两种出资方式下羊的总价不变”列方程求解：①每人出5元时差45元，羊价=总出资+差的45元；②每人出7元时差3元，羊价=总出资+差的3元，两个式子均表示羊价，因此可列等式求出人数，再代入计算羊价即可。
【解析】
解：设共同买羊的人数为$x$人。
根据羊价不变的等量关系，可列方程：
$5x + 45 = 7x + 3$
移项得：$45 - 3 = 7x - 5x$
合并同类项得：$42 = 2x$
系数化为1得：$x = 21$
将$x=21$代入$5x + 45$计算羊价：
$5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$（元）
经验算，结果符合题意。
【答案】
人数为21人，羊价为150元.
【知识点】
一元一次方程的应用；找等量关系列方程
【点评】
本题是经典的盈不足类应用题，解题的关键是抓住不变量构建方程，熟练掌握列方程解应用题的“设、列、解、验、答”基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道列方程解决实际问题的题目，解题核心是找到题目中的不变量建立等量关系。本题中总人数、羊的总价都是固定值，我们可以设人数为未知数，根据“两种出资方式下羊的总价不变”列方程求解：①每人出5元时差45元，羊价=总出资+差的45元；②每人出7元时差3元，羊价=总出资+差的3元，两个式子均表示羊价，因此可列等式求出人数，再代入计算羊价即可。
【解析】
解：设共同买羊的人数为$x$人。
根据羊价不变的等量关系，可列方程：
$5x + 45 = 7x + 3$
移项得：$45 - 3 = 7x - 5x$
合并同类项得：$42 = 2x$
系数化为1得：$x = 21$
将$x=21$代入$5x + 45$计算羊价：
$5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$（元）
经验算，结果符合题意。
【答案】
人数为21人，羊价为150元.
【知识点】
一元一次方程的应用；找等量关系列方程
【点评】
本题是经典的盈不足类应用题，解题的关键是抓住不变量构建方程，熟练掌握列方程解应用题的“设、列、解、验、答”基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
问题 轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少1.5小时，已知轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时2千米，求甲、乙两地间的距离。
名师指导
轮船顺流航行速度=轮船静水航行速度+水流速度；轮船逆流航行速度=轮船静水航行速度−水流速度，而顺流和逆流航行都满足相应的等量关系式，即路程=速度×时间。可设甲、乙两地间的距离为x千米，根据顺、逆流时间差是1.5小时，建立方程。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
名师指导
轮船顺流航行速度=轮船静水航行速度+水流速度；轮船逆流航行速度=轮船静水航行速度−水流速度，而顺流和逆流航行都满足相应的等量关系式，即路程=速度×时间。可设甲、乙两地间的距离为x千米，根据顺、逆流时间差是1.5小时，建立方程。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案
解：
设甲、乙两地间的距离为$x$千米。
顺流航行速度为$20+2=22$千米/时，逆流航行速度为$20-2=18$千米/时，
根据题意列方程：
$\frac{x}{18} - \frac{x}{22} = 1.5$
去分母，两边同乘198，得：
$11x - 9x = 297$
合并同类项，得：
$2x = 297$
系数化为1，得：
$x = 148.5$
答：甲、乙两地间的距离为148.5千米。
设甲、乙两地间的距离为$x$千米。
顺流航行速度为$20+2=22$千米/时，逆流航行速度为$20-2=18$千米/时，
根据题意列方程：
$\frac{x}{18} - \frac{x}{22} = 1.5$
去分母，两边同乘198，得：
$11x - 9x = 297$
合并同类项，得：
$2x = 297$
系数化为1，得：
$x = 148.5$
答：甲、乙两地间的距离为148.5千米。
解析
【分析】
解题时首先明确流水行船的速度计算规则：顺流航行速度=静水速度+水流速度，逆流航行速度=静水速度-水流速度，先算出两种状态下的航行速度。再梳理题目中的等量关系：顺流行驶时间比逆流少1.5小时，即逆流行驶时间-顺流行驶时间=1.5小时，结合行程公式“时间=路程÷速度”，设甲、乙两地距离为x千米，即可用含x的式子分别表示逆流、顺流的行驶时间，代入等量关系列一元一次方程，最后解方程即可求出两地距离。
【解析】
设甲、乙两地间的距离为$x$千米。
先计算航行速度：顺流航行速度为$20+2=22$千米/时，逆流航行速度为$20-2=18$千米/时。
根据“逆流时间 - 顺流时间 = 1.5小时”的等量关系列方程：
$\frac{x}{18} - \frac{x}{22} = 1.5$
去分母，方程两边同时乘18和22的最小公倍数198，得：
$11x - 9x = 297$
合并同类项，得：
$2x = 297$
系数化为1，得：
$x = 148.5$
答：甲、乙两地间的距离为148.5千米。
【答案】
148.5千米
【知识点】
1.流水行船速度规律
2.一元一次方程的实际应用
3.行程问题基本公式
【点评】
本题是流水行船类行程问题的典型基础题，解题关键是准确掌握顺流、逆流航行速度的计算方法，抓住题目给出的时间差等量关系建立方程，解方程时注意去分母环节不要漏乘常数项，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确流水行船的速度计算规则：顺流航行速度=静水速度+水流速度，逆流航行速度=静水速度-水流速度，先算出两种状态下的航行速度。再梳理题目中的等量关系：顺流行驶时间比逆流少1.5小时，即逆流行驶时间-顺流行驶时间=1.5小时，结合行程公式“时间=路程÷速度”，设甲、乙两地距离为x千米，即可用含x的式子分别表示逆流、顺流的行驶时间，代入等量关系列一元一次方程，最后解方程即可求出两地距离。
【解析】
设甲、乙两地间的距离为$x$千米。
先计算航行速度：顺流航行速度为$20+2=22$千米/时，逆流航行速度为$20-2=18$千米/时。
根据“逆流时间 - 顺流时间 = 1.5小时”的等量关系列方程：
$\frac{x}{18} - \frac{x}{22} = 1.5$
去分母，方程两边同时乘18和22的最小公倍数198，得：
$11x - 9x = 297$
合并同类项，得：
$2x = 297$
系数化为1，得：
$x = 148.5$
答：甲、乙两地间的距离为148.5千米。
【答案】
148.5千米
【知识点】
1.流水行船速度规律
2.一元一次方程的实际应用
3.行程问题基本公式
【点评】
本题是流水行船类行程问题的典型基础题，解题关键是准确掌握顺流、逆流航行速度的计算方法，抓住题目给出的时间差等量关系建立方程，解方程时注意去分母环节不要漏乘常数项，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
