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1.在一次数学课上,学习了单项式乘多项式,小明回家后,拿出课堂笔记本复习,发现这样一道题:$-3x(-2x^2+3x-1)=6x^3+□+3x$,“”的地方被墨水污染了,你认为“”内应填写(
A.$9x^2$
B.$-9x^2$
C.$9x$
D.$-9x$
B
).A.$9x^2$
B.$-9x^2$
C.$9x$
D.$-9x$
答案
1.B
解析
【分析】
本题可根据单项式乘多项式的运算法则求解，解题思路为：①先运用单项式乘多项式法则将等号左侧的式子完整展开；②将展开后的结果与等号右侧的式子逐项对比，即可确定被墨水污染的项。计算时需重点注意各项符号的运算，避免符号出错。
【解析】
根据单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算左侧式子：
$\begin{split}&-3x(-2x^2+3x-1)\\=&(-3x)×(-2x^2) + (-3x)×3x + (-3x)×(-1)\\=&6x^3 -9x^2 +3x\end{split}$
将展开结果与右侧式子$6x^3+□+3x$对比，可得“”内应填写$-9x^2$。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是忽略负号，导致运算结果符号错误，做题时需仔细核对每一项的符号。
【难度系数】
0.8
本题可根据单项式乘多项式的运算法则求解，解题思路为：①先运用单项式乘多项式法则将等号左侧的式子完整展开；②将展开后的结果与等号右侧的式子逐项对比，即可确定被墨水污染的项。计算时需重点注意各项符号的运算，避免符号出错。
【解析】
根据单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算左侧式子：
$\begin{split}&-3x(-2x^2+3x-1)\\=&(-3x)×(-2x^2) + (-3x)×3x + (-3x)×(-1)\\=&6x^3 -9x^2 +3x\end{split}$
将展开结果与右侧式子$6x^3+□+3x$对比，可得“”内应填写$-9x^2$。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是忽略负号，导致运算结果符号错误，做题时需仔细核对每一项的符号。
【难度系数】
0.8
2.一个四位自然数$M=\overline{abcd}$，满足$a+b=12,c+d=8$，则称这个四位数$M$为“幸运数”.例如：对于7 526，$\because7+5=12,2+6=8,\therefore7\ 526$是“幸运数”；对于2 530，$\because2+5=7≠12,3+0=3≠8,\therefore2\ 530$不是“幸运数”.若存在幸运数$\overline{abcd}$，使得$a× c = b× d$，则满足条件的“幸运数”有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
).A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2.B
解析
【分析】首先根据“幸运数”的定义，明确各数位的取值范围：千位a是1~9的正整数，百位b、十位c、个位d是0~9的整数，由a+b=12可得b=12-a，由c+d=8可得d=8-c。再将b、d代入条件a×c = b×d，化简得到关于a和c的等量关系，结合a、c的取值范围找符合条件的整数解，最后统计对应的幸运数个数即可。
【解析】解：
∵M是幸运数，
∴a+b=12，c+d=8，且a是1~9的整数，b、c、d是0~9的整数。
∴b=12-a，d=8-c。
又
∵a×c = b×d，代入得：
$ac=(12-a)(8-c)$
展开右边：$ac=96 -12c -8a +ac$
两边同时减去ac，得：$0=96 -12c -8a$
整理得：$2a + 3c =24$，即$c=8 - \frac{2a}{3}$
∵c是0~8的整数，
∴$\frac{2a}{3}$必须是整数，即a是3的倍数。
又
∵$b=12-a≤9$，
∴$a≥3$，且$a≤9$（a是一位正整数），
∴a的可能取值为3、6、9：
①当a=3时，$c=8 - \frac{2×3}{3}=6$，此时b=12-3=9，d=8-6=2，幸运数为3962；
②当a=6时，$c=8 - \frac{2×6}{3}=4$，此时b=12-6=6，d=8-4=4，幸运数为6644；
③当a=9时，$c=8 - \frac{2×9}{3}=2$，此时b=12-9=3，d=8-2=6，幸运数为9326。
综上，满足条件的幸运数共3个。
【答案】B
【知识点】新定义运算，整式的化简，二元一次方程整数解
【点评】本题核心是将新定义规则转化为熟悉的代数方程，结合数位的取值限制求解，解题时需注意数位的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
【解析】解：
∵M是幸运数，
∴a+b=12，c+d=8，且a是1~9的整数，b、c、d是0~9的整数。
∴b=12-a，d=8-c。
又
∵a×c = b×d，代入得：
$ac=(12-a)(8-c)$
展开右边：$ac=96 -12c -8a +ac$
两边同时减去ac，得：$0=96 -12c -8a$
整理得：$2a + 3c =24$，即$c=8 - \frac{2a}{3}$
∵c是0~8的整数，
∴$\frac{2a}{3}$必须是整数，即a是3的倍数。
又
∵$b=12-a≤9$，
∴$a≥3$，且$a≤9$（a是一位正整数），
∴a的可能取值为3、6、9：
①当a=3时，$c=8 - \frac{2×3}{3}=6$，此时b=12-3=9，d=8-6=2，幸运数为3962；
②当a=6时，$c=8 - \frac{2×6}{3}=4$，此时b=12-6=6，d=8-4=4，幸运数为6644；
③当a=9时，$c=8 - \frac{2×9}{3}=2$，此时b=12-9=3，d=8-2=6，幸运数为9326。
综上，满足条件的幸运数共3个。
【答案】B
【知识点】新定义运算，整式的化简，二元一次方程整数解
【点评】本题核心是将新定义规则转化为熟悉的代数方程，结合数位的取值限制求解，解题时需注意数位的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
3.已知$P=2y+a,Q=-y,R=2y^2-3y+2$，且$P· Q+R$的值与$y$无关，则$a=$
$-3$
.答案
3.$-3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“代数式的值与y无关”的含义：即代数式化简后，所有含y的项的系数都为0。解题思路可分为三步：第一步将P、Q、R代入P·Q+R的式子中；第二步按照整式乘法法则展开，再合并同类项；第三步令含y的项的系数为0，列方程求解即可得到a的值。
【解析】
将$P=2y+a$，$Q=-y$，$R=2y^2-3y+2$代入$P·Q+R$，得：
$\begin{aligned}P·Q+R&=(2y+a)(-y)+(2y^2-3y+2)\\&=-2y^2 - ay + 2y^2 - 3y + 2\\&=(-a -3)y + 2\end{aligned}$
由于$P·Q+R$的值与$y$无关，因此含$y$的项的系数为0，即：
$-a -3 = 0$
解得$a=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式运算的典型应用题，解题核心是理解“代数式的值与某个字母无关”等价于该字母的所有同类项的系数之和为0，计算时要注意符号规则，避免展开运算时符号出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“代数式的值与y无关”的含义：即代数式化简后，所有含y的项的系数都为0。解题思路可分为三步：第一步将P、Q、R代入P·Q+R的式子中；第二步按照整式乘法法则展开，再合并同类项；第三步令含y的项的系数为0，列方程求解即可得到a的值。
【解析】
将$P=2y+a$，$Q=-y$，$R=2y^2-3y+2$代入$P·Q+R$，得：
$\begin{aligned}P·Q+R&=(2y+a)(-y)+(2y^2-3y+2)\\&=-2y^2 - ay + 2y^2 - 3y + 2\\&=(-a -3)y + 2\end{aligned}$
由于$P·Q+R$的值与$y$无关，因此含$y$的项的系数为0，即：
$-a -3 = 0$
解得$a=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式运算的典型应用题，解题核心是理解“代数式的值与某个字母无关”等价于该字母的所有同类项的系数之和为0，计算时要注意符号规则，避免展开运算时符号出错。
【难度系数】
0.7
4.一块长方形铁皮，长为$(5a^2 + 4b^2)\mathrm{m}$，宽为$6a^4 \mathrm{m}$，在它的四个角上都剪去一个边长为$\frac{3}{2}a^3 \mathrm{m}$的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。这个无盖盒子的内表面积为
$(21a^6 +24a^4 b^2)$
$\mathrm{m}^2$。答案
4.$(21a^6 +24a^4 b^2)$
解析
【分析】
要求无盖盒子的内表面积，可利用“剩余面积=原长方形面积-4个剪去的小正方形面积”的思路求解。首先分别计算原长方形铁皮的面积和4个小正方形的总面积，再做减法化简即可得到结果，计算过程中要正确运用整式乘法、幂的运算相关法则。
【解析】
1. 计算原长方形铁皮的面积：
长方形面积=长×宽，代入数据得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{原}}&=(5a^2 + 4b^2) × 6a^4 \\&=5a^2 × 6a^4 + 4b^2 × 6a^4 \\&=30a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
2. 计算4个剪去的小正方形的总面积：
单个小正方形面积=边长×边长，4个总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{剪}}&=4 × (\frac{3}{2}a^3)^2 \\&=4 × \frac{9}{4}a^6 \\&=9a^6 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
3. 计算无盖盒子的内表面积：
$S_{\mathrm{内}}=S_{\mathrm{原}} - S_{\mathrm{剪}} = (30a^6 + 24a^4b^2) - 9a^6 = 21a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$21a^6 +24a^4 b^2$
【知识点】
整式的乘法、幂的运算、合并同类项
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式的相关运算，解题核心是理清内表面积的构成，选择简便的计算方法（原面积减剪掉的面积）可以降低计算量，运算过程中要注意系数和指数的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要求无盖盒子的内表面积，可利用“剩余面积=原长方形面积-4个剪去的小正方形面积”的思路求解。首先分别计算原长方形铁皮的面积和4个小正方形的总面积，再做减法化简即可得到结果，计算过程中要正确运用整式乘法、幂的运算相关法则。
【解析】
1. 计算原长方形铁皮的面积：
长方形面积=长×宽，代入数据得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{原}}&=(5a^2 + 4b^2) × 6a^4 \\&=5a^2 × 6a^4 + 4b^2 × 6a^4 \\&=30a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
2. 计算4个剪去的小正方形的总面积：
单个小正方形面积=边长×边长，4个总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{剪}}&=4 × (\frac{3}{2}a^3)^2 \\&=4 × \frac{9}{4}a^6 \\&=9a^6 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
3. 计算无盖盒子的内表面积：
$S_{\mathrm{内}}=S_{\mathrm{原}} - S_{\mathrm{剪}} = (30a^6 + 24a^4b^2) - 9a^6 = 21a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$21a^6 +24a^4 b^2$
【知识点】
整式的乘法、幂的运算、合并同类项
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式的相关运算，解题核心是理清内表面积的构成，选择简便的计算方法（原面积减剪掉的面积）可以降低计算量，运算过程中要注意系数和指数的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
5.如图,在某住房小区的建设中,为了提高业主的宜居环境,小区准备在一个长为$(4a+3b)\mathrm{m}$,宽为$(2a+3b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建一横两竖,宽度均为$b\mathrm{m}$的通道.
(1)通道的面积共有多少平方米?
(2)若$a=2b$,通道的面积是$92\mathrm{m}^2$,求出通道的宽度.
(1)通道的面积共有多少平方米?
(2)若$a=2b$,通道的面积是$92\mathrm{m}^2$,求出通道的宽度.
答案
5.解:(1)$2b(2a+3b)+(4a+3b)·b -2b× b$
$=4ab+6b^2 +4ab+3b^2 -2b^2$
$=(7b^2 +8ab)\mathrm{m}^2$。
答:通道的面积共有$(7b^2 +8ab)\mathrm{m}^2$。
(2)当$a=2b$,通道的面积是$92\ \mathrm{m}^2$时，
则有$7b^2 +8×2b× b=92$，
$\therefore b^2=4$。
$\because b＞0,\therefore b=2$。
答:通道的宽度为$2\ \mathrm{m}$。
$=4ab+6b^2 +4ab+3b^2 -2b^2$
$=(7b^2 +8ab)\mathrm{m}^2$。
答:通道的面积共有$(7b^2 +8ab)\mathrm{m}^2$。
(2)当$a=2b$,通道的面积是$92\ \mathrm{m}^2$时，
则有$7b^2 +8×2b× b=92$，
$\therefore b^2=4$。
$\because b＞0,\therefore b=2$。
答:通道的宽度为$2\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1)计算通道面积时，可先分别求出两竖通道、一横通道的面积，再减去交叉部分重复计算的面积：两个竖通道宽度均为b，总高度为长方形草坪的宽$(2a+3b)$；横通道宽度为b，总长度为长方形草坪的长$(4a+3b)$；交叉处是2个边长为b的正方形，这部分在计算竖通道和横通道时各被计算了一次，因此需要减去重复的2个正方形面积。
(2)将$a=2b$和通道面积$92\mathrm{m}^2$代入第一问得到的通道面积表达式，得到关于b的一元二次方程，结合通道宽度b为正数的实际意义，即可求出b的取值。
【解析】
(1) 两竖通道的总面积为$2b(2a+3b)$，一横通道的面积为$b(4a+3b)$，交叉部分重复计算的面积为$2b· b$，因此通道总面积为：
$\begin{split}&2b(2a+3b)+b(4a+3b)-2b^2\\=&4ab+6b^2+4ab+3b^2-2b^2\\=&(8ab+7b^2)\mathrm{m}^2\end{split}$
(2) 把$a=2b$，通道面积$92\mathrm{m}^2$代入上述表达式得：
$7b^2+8× 2b× b=92$
整理得$23b^2=92$，即$b^2=4$。
$\because b＞0$，$\therefore b=2$。
【答案】
(1) 通道的面积共有$(8ab+7b^2)\mathrm{m}^2$；
(2) 通道的宽度为$2\mathrm{m}$。
【知识点】
整式的混合运算，代数式求值，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活实际考查代数运算的应用，解题关键是计算通道面积时注意减去交叉部分重复计算的面积，求解未知数时要结合实际意义筛选符合要求的根。
【难度系数】
0.7
(1)计算通道面积时，可先分别求出两竖通道、一横通道的面积，再减去交叉部分重复计算的面积：两个竖通道宽度均为b，总高度为长方形草坪的宽$(2a+3b)$；横通道宽度为b，总长度为长方形草坪的长$(4a+3b)$；交叉处是2个边长为b的正方形，这部分在计算竖通道和横通道时各被计算了一次，因此需要减去重复的2个正方形面积。
(2)将$a=2b$和通道面积$92\mathrm{m}^2$代入第一问得到的通道面积表达式，得到关于b的一元二次方程，结合通道宽度b为正数的实际意义，即可求出b的取值。
【解析】
(1) 两竖通道的总面积为$2b(2a+3b)$，一横通道的面积为$b(4a+3b)$，交叉部分重复计算的面积为$2b· b$，因此通道总面积为：
$\begin{split}&2b(2a+3b)+b(4a+3b)-2b^2\\=&4ab+6b^2+4ab+3b^2-2b^2\\=&(8ab+7b^2)\mathrm{m}^2\end{split}$
(2) 把$a=2b$，通道面积$92\mathrm{m}^2$代入上述表达式得：
$7b^2+8× 2b× b=92$
整理得$23b^2=92$，即$b^2=4$。
$\because b＞0$，$\therefore b=2$。
【答案】
(1) 通道的面积共有$(8ab+7b^2)\mathrm{m}^2$；
(2) 通道的宽度为$2\mathrm{m}$。
【知识点】
整式的混合运算，代数式求值，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活实际考查代数运算的应用，解题关键是计算通道面积时注意减去交叉部分重复计算的面积，求解未知数时要结合实际意义筛选符合要求的根。
【难度系数】
0.7
