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1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
A.$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
B.$6xy^2=3x · 2y^2$
C.$x^2 + 2xy + y^2 -1=(x+y)^2 -1$
D.$x^2 +3x=x(x+3)$
D
）A.$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
B.$6xy^2=3x · 2y^2$
C.$x^2 + 2xy + y^2 -1=(x+y)^2 -1$
D.$x^2 +3x=x(x+3)$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断等式变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时要抓住三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是若干个整式的乘积；③变形前后等式恒等。接下来我们用这三个要点逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，故A错误；
B选项：左边的$6xy^2$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，故B错误；
C选项：右边是$(x+y)^2 -1$，是两个式子的差的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的结果要求，故C错误；
D选项：左边$x^2+3x$是多项式，右边是整式$x$与整式$x+3$的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式的乘法
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确把握因式分解的两个核心特征，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将两种变形混淆。
【难度系数】
0.85
要判断等式变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时要抓住三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是若干个整式的乘积；③变形前后等式恒等。接下来我们用这三个要点逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，故A错误；
B选项：左边的$6xy^2$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，故B错误；
C选项：右边是$(x+y)^2 -1$，是两个式子的差的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的结果要求，故C错误；
D选项：左边$x^2+3x$是多项式，右边是整式$x$与整式$x+3$的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式的乘法
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确把握因式分解的两个核心特征，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将两种变形混淆。
【难度系数】
0.85
2.把$x^2 + 5x + c$分解因式，得$(x + 2)(x + 3)$，则c的值为
6
。答案
2.6
解析
【分析】
这道题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题思路如下：因式分解是把多项式转化为几个整式乘积的形式，因此分解后的乘积展开后必然和原多项式完全相等。我们只需要将右边的$(x+2)(x+3)$按照多项式乘多项式的法则展开，再和原多项式$x^2+5x+c$对比，对应常数项的数值就是$c$的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则计算$(x+2)(x+3)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 + 3x + 2x + 6\\&=x^2 + 5x + 6\end{aligned}$
由题意可知$x^2 + 5x + c = (x+2)(x+3) = x^2 +5x +6$，两个多项式相等时对应项的系数相等，因此常数项$c=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性 2. 多项式乘多项式 3. 多项式恒等性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系求解，只要熟练掌握多项式乘法运算规则，就能快速得到答案，是因式分解部分的常规考题。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题思路如下：因式分解是把多项式转化为几个整式乘积的形式，因此分解后的乘积展开后必然和原多项式完全相等。我们只需要将右边的$(x+2)(x+3)$按照多项式乘多项式的法则展开，再和原多项式$x^2+5x+c$对比，对应常数项的数值就是$c$的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则计算$(x+2)(x+3)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 + 3x + 2x + 6\\&=x^2 + 5x + 6\end{aligned}$
由题意可知$x^2 + 5x + c = (x+2)(x+3) = x^2 +5x +6$，两个多项式相等时对应项的系数相等，因此常数项$c=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性 2. 多项式乘多项式 3. 多项式恒等性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系求解，只要熟练掌握多项式乘法运算规则，就能快速得到答案，是因式分解部分的常规考题。
【难度系数】
0.9
3.[开放性试题]一个多项式，把它因式分解后有一个因式为$x+1$，请你写出一个符合条件的多项式：
$x^2-1$(答案不唯一)
.答案
3.$x^2-1$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要明确因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，题目要求多项式因式分解后有一个因式为$x+1$，那么我们只需要将$x+1$与任意一个整式相乘，得到的乘积就是符合条件的多项式，选择简单的整式相乘即可快速得到答案。
【解析】
解：因为因式分解和整式乘法是互逆运算，若多项式因式分解后含有因式$x+1$，可构造该多项式为$x+1$与另一个整式的乘积。
例如取另一个因式为$x-1$，根据平方差公式计算可得：
$(x+1)(x-1)=x^2-1$
验证：将$x^2-1$因式分解得$(x+1)(x-1)$，确实含有因式$x+1$，符合要求。也可构造$x^2+x$等其他结果，答案不唯一。
【答案】
$x^2-1$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算；平方差公式
【点评】
本题是开放性基础题，考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题时只需围绕要求构造合适的整式乘积再展开即可，答案灵活多样，合理即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，题目要求多项式因式分解后有一个因式为$x+1$，那么我们只需要将$x+1$与任意一个整式相乘，得到的乘积就是符合条件的多项式，选择简单的整式相乘即可快速得到答案。
【解析】
解：因为因式分解和整式乘法是互逆运算，若多项式因式分解后含有因式$x+1$，可构造该多项式为$x+1$与另一个整式的乘积。
例如取另一个因式为$x-1$，根据平方差公式计算可得：
$(x+1)(x-1)=x^2-1$
验证：将$x^2-1$因式分解得$(x+1)(x-1)$，确实含有因式$x+1$，符合要求。也可构造$x^2+x$等其他结果，答案不唯一。
【答案】
$x^2-1$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算；平方差公式
【点评】
本题是开放性基础题，考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题时只需围绕要求构造合适的整式乘积再展开即可，答案灵活多样，合理即可。
【难度系数】
0.9
4. 把多项式$4x^2y^2z - 12xy^2z - 6xyz^2$分解因式时，应提取的公因式是（
A.$xyz$
B.$2xy$
C.$2xyz$
D.$2x^2y^2z^2$
C
）A.$xyz$
B.$2xy$
C.$2xyz$
D.$2x^2y^2z^2$
答案
4.C
解析
【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按照公因式的确定规则分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘得到的就是公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
我们分三步确定公因式：
1. 确定系数的最大公约数：多项式三项的系数分别为4、-12、-6，它们绝对值的最大公约数是2；
2. 找各项共有的字母：观察三个项$4x^2y^2z$、$-12xy^2z$、$-6xyz^2$，都含有的字母是x、y、z；
3. 取相同字母的最低次幂：x的次数依次为2、1、1，最低次为1；y的次数依次为2、2、1，最低次为1；z的次数依次为1、1、2，最低次为1。
将以上三部分相乘，得到公因式为$2× x× y× z=2xyz$，因此应选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查对公因式确定方法的掌握，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步规则，就能快速准确找到公因式，是学习因式分解后续内容的必备基础。
【难度系数】
0.85
要确定多项式提取的公因式，需按照公因式的确定规则分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘得到的就是公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
我们分三步确定公因式：
1. 确定系数的最大公约数：多项式三项的系数分别为4、-12、-6，它们绝对值的最大公约数是2；
2. 找各项共有的字母：观察三个项$4x^2y^2z$、$-12xy^2z$、$-6xyz^2$，都含有的字母是x、y、z；
3. 取相同字母的最低次幂：x的次数依次为2、1、1，最低次为1；y的次数依次为2、2、1，最低次为1；z的次数依次为1、1、2，最低次为1。
将以上三部分相乘，得到公因式为$2× x× y× z=2xyz$，因此应选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查对公因式确定方法的掌握，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步规则，就能快速准确找到公因式，是学习因式分解后续内容的必备基础。
【难度系数】
0.85
5. 下列因式分解不正确的是 （
A.$3a^2b - 6ab + 3b = 3b(a - 1)^2$
B.$-4b^2 + 36a^2 = 4(3a + b)(3a - b)$
C.$x^2(a - b) - 4(b - a) = (a - b)(x + 2)(x - 2)$
D.$(a^2 + 1)^2 - 4a^2 = (a + 1)^2(a - 1)^2$
C
）A.$3a^2b - 6ab + 3b = 3b(a - 1)^2$
B.$-4b^2 + 36a^2 = 4(3a + b)(3a - b)$
C.$x^2(a - b) - 4(b - a) = (a - b)(x + 2)(x - 2)$
D.$(a^2 + 1)^2 - 4a^2 = (a + 1)^2(a - 1)^2$
答案
5.C
解析
【分析】
本题要求选出因式分解不正确的选项，解题时需逐个验证每个选项：首先遵循因式分解“先提公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底”的步骤，同时注意变形时的符号是否正确，最终判断结果是否符合因式分解的要求。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对$3a^2b - 6ab + 3b$分解：先提取公因式$3b$，得$3b(a^2-2a+1)$，再用完全平方公式得$3b(a-1)^2$，该选项分解正确。
B. 对$-4b^2 + 36a^2$分解：先整理为$36a^2-4b^2$，提取公因式$4$得$4(9a^2-b^2)$，再用平方差公式得$4(3a+b)(3a-b)$，该选项分解正确。
C. 对$x^2(a - b) - 4(b - a)$分解：先将$b-a$变形为$-(a-b)$，原式可化为$x^2(a-b)+4(a-b)$，提取公因式$(a-b)$得$(a-b)(x^2+4)$，$x^2+4$无法分解为$(x+2)(x-2)$，该选项分解错误。
D. 对$(a^2 + 1)^2 - 4a^2$分解：先用平方差公式得$(a^2+1-2a)(a^2+1+2a)$，再分别用完全平方公式得$(a-1)^2(a+1)^2$，该选项分解正确。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的正误判断，解题时需严格按照“一提二套三查”的步骤操作，尤其要注意互为相反数的多项式的符号转换，避免符号错误，同时要确认分解结果已经无法再分解。
【难度系数】
0.7
本题要求选出因式分解不正确的选项，解题时需逐个验证每个选项：首先遵循因式分解“先提公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底”的步骤，同时注意变形时的符号是否正确，最终判断结果是否符合因式分解的要求。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对$3a^2b - 6ab + 3b$分解：先提取公因式$3b$，得$3b(a^2-2a+1)$，再用完全平方公式得$3b(a-1)^2$，该选项分解正确。
B. 对$-4b^2 + 36a^2$分解：先整理为$36a^2-4b^2$，提取公因式$4$得$4(9a^2-b^2)$，再用平方差公式得$4(3a+b)(3a-b)$，该选项分解正确。
C. 对$x^2(a - b) - 4(b - a)$分解：先将$b-a$变形为$-(a-b)$，原式可化为$x^2(a-b)+4(a-b)$，提取公因式$(a-b)$得$(a-b)(x^2+4)$，$x^2+4$无法分解为$(x+2)(x-2)$，该选项分解错误。
D. 对$(a^2 + 1)^2 - 4a^2$分解：先用平方差公式得$(a^2+1-2a)(a^2+1+2a)$，再分别用完全平方公式得$(a-1)^2(a+1)^2$，该选项分解正确。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的正误判断，解题时需严格按照“一提二套三查”的步骤操作，尤其要注意互为相反数的多项式的符号转换，避免符号错误，同时要确认分解结果已经无法再分解。
【难度系数】
0.7
6.已知多项式$a^2 + b^2 + M$可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（
A.$2ab$
B.$-2ab$
C.$3b^2$
D.$-5b^2$
D
）A.$2ab$
B.$-2ab$
C.$3b^2$
D.$-5b^2$
答案
6.D
解析
【分析】
解题的核心是牢记平方差公式的结构特征：能用平方差公式分解因式的多项式必须是两项式，两项都可以写成平方的形式，且两项符号相反。我们只需将每个选项的M代入原式，化简后判断是否符合平方差的结构即可。
【解析】
平方差公式分解因式的适用形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，需满足两项为平方项、符号相反的特征。
代入A选项，$M=2ab$时，原式$=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，属于完全平方公式分解，不符合平方差要求，排除；
代入B选项，$M=-2ab$时，原式$=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，属于完全平方公式分解，不符合平方差要求，排除；
代入C选项，$M=3b^2$时，原式$=a^2+4b^2$，两项平方项符号均为正，不满足符号相反的要求，无法用平方差分解，排除；
代入D选项，$M=-5b^2$时，原式$=a^2+b^2-5b^2=a^2-4b^2=a^2-(2b)^2$，完全符合平方差公式的结构，可分解为$(a+2b)(a-2b)$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；公式法因式分解；完全平方公式
【点评】
本题重点考查因式分解中平方差公式的适用条件，解题时要注意区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，避免将两类公式的适用场景混淆。
【难度系数】
0.7
解题的核心是牢记平方差公式的结构特征：能用平方差公式分解因式的多项式必须是两项式，两项都可以写成平方的形式，且两项符号相反。我们只需将每个选项的M代入原式，化简后判断是否符合平方差的结构即可。
【解析】
平方差公式分解因式的适用形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，需满足两项为平方项、符号相反的特征。
代入A选项，$M=2ab$时，原式$=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，属于完全平方公式分解，不符合平方差要求，排除；
代入B选项，$M=-2ab$时，原式$=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，属于完全平方公式分解，不符合平方差要求，排除；
代入C选项，$M=3b^2$时，原式$=a^2+4b^2$，两项平方项符号均为正，不满足符号相反的要求，无法用平方差分解，排除；
代入D选项，$M=-5b^2$时，原式$=a^2+b^2-5b^2=a^2-4b^2=a^2-(2b)^2$，完全符合平方差公式的结构，可分解为$(a+2b)(a-2b)$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；公式法因式分解；完全平方公式
【点评】
本题重点考查因式分解中平方差公式的适用条件，解题时要注意区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，避免将两类公式的适用场景混淆。
【难度系数】
0.7
7.数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰。给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（
A.甲：$M+N$
B.乙：$M-N$
C.丙：$N+P$
D.丁：$N-P$
D
）A.甲：$M+N$
B.乙：$M-N$
C.丙：$N+P$
D.丁：$N-P$
答案
7.D
解析
【分析】
要判断第一轮被淘汰的同学，需明确：运算结果不能因式分解的即为淘汰对象。解题步骤为：首先明确三张卡片对应的代数式，再分别计算四个选项的整式加减结果，依次判断每个结果是否能在有理数范围内因式分解，无法分解的对应选项即为答案。
【解析】
首先明确三张卡片的代数式：$M=x^2+5x+12$，$N=5x+13$，$P=x^2-13$，逐个计算选项：
A. 甲：$M+N=(x^2+5x+12)+(5x+13)=x^2+10x+25=(x+5)^2$，可因式分解，甲不淘汰；
B. 乙：$M-N=(x^2+5x+12)-(5x+13)=x^2-1=(x+1)(x-1)$，可因式分解，乙不淘汰；
C. 丙：$N+P=(5x+13)+(x^2-13)=x^2+5x=x(x+5)$，可因式分解，丙不淘汰；
D. 丁：$N-P=(5x+13)-(x^2-13)=-x^2+5x+26$，变形为$x^2-5x-26$，在有理数范围内既没有公因式，也无法用公式或十字相乘法分解为整式乘积的形式，不能因式分解，故丁被淘汰。
【答案】
D
【知识点】
整式加减运算、因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查整式运算与因式分解的实际应用，解题时要注意整式加减运算中去括号的符号规则，判断因式分解时需熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式等常用方法，明确因式分解需在有理数范围内分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
要判断第一轮被淘汰的同学，需明确：运算结果不能因式分解的即为淘汰对象。解题步骤为：首先明确三张卡片对应的代数式，再分别计算四个选项的整式加减结果，依次判断每个结果是否能在有理数范围内因式分解，无法分解的对应选项即为答案。
【解析】
首先明确三张卡片的代数式：$M=x^2+5x+12$，$N=5x+13$，$P=x^2-13$，逐个计算选项：
A. 甲：$M+N=(x^2+5x+12)+(5x+13)=x^2+10x+25=(x+5)^2$，可因式分解，甲不淘汰；
B. 乙：$M-N=(x^2+5x+12)-(5x+13)=x^2-1=(x+1)(x-1)$，可因式分解，乙不淘汰；
C. 丙：$N+P=(5x+13)+(x^2-13)=x^2+5x=x(x+5)$，可因式分解，丙不淘汰；
D. 丁：$N-P=(5x+13)-(x^2-13)=-x^2+5x+26$，变形为$x^2-5x-26$，在有理数范围内既没有公因式，也无法用公式或十字相乘法分解为整式乘积的形式，不能因式分解，故丁被淘汰。
【答案】
D
【知识点】
整式加减运算、因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查整式运算与因式分解的实际应用，解题时要注意整式加减运算中去括号的符号规则，判断因式分解时需熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式等常用方法，明确因式分解需在有理数范围内分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
8.若$\frac{(9^2 - 1)(11^2 - 1)}{k}=8×10×12$，则$k=$（
A.12
B.10
C.8
D.6
B
）A.12
B.10
C.8
D.6
答案
8.B
解析
【分析】
观察等式左边分子的结构，存在$a^2-1$的形式，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，解题时先利用平方差公式对分子的两个因式分别分解，再代入原式约分化简，即可快速求出$k$的值，无需直接计算大数的平方，能简化运算过程。
【解析】
根据平方差公式分解因式：
$9^2-1=(9-1)(9+1)=8×10$
$11^2-1=(11-1)(11+1)=10×12$
将分解结果代入原式得：
$\frac{8×10×10×12}{k}=8×10×12$
$k≠0$，等式两边同时乘$k$，再同时除以$8×10×12$，可得：
$k=10$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，代数式化简
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，通过因式分解简化计算，避免了大数运算，是整式乘法公式应用的基础典型题，掌握公式特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
观察等式左边分子的结构，存在$a^2-1$的形式，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，解题时先利用平方差公式对分子的两个因式分别分解，再代入原式约分化简，即可快速求出$k$的值，无需直接计算大数的平方，能简化运算过程。
【解析】
根据平方差公式分解因式：
$9^2-1=(9-1)(9+1)=8×10$
$11^2-1=(11-1)(11+1)=10×12$
将分解结果代入原式得：
$\frac{8×10×10×12}{k}=8×10×12$
$k≠0$，等式两边同时乘$k$，再同时除以$8×10×12$，可得：
$k=10$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，代数式化简
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，通过因式分解简化计算，避免了大数运算，是整式乘法公式应用的基础典型题，掌握公式特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
9.若多项式$x^2-(m-1)x+16$是一个完全平方式，则$m=$
9或-7
.答案
9.9或-7
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可总结为“首平方，尾平方，首尾2倍在中央，符号可正可负”。首先确定给定多项式的首项对应$a=x$，末项$16=4^2$对应$b=4$，再根据中间项符号有两种可能，分别列关于$m$的一元一次方程求解即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式：
1. 确定首尾项对应的值：首项$x^2=x^2$，即$a=x$；末项$16=4^2$，即$b=4$，因此该完全平方式可写作$(x\pm4)^2$。
2. 分两种情况讨论：
① 当完全平方式为$(x+4)^2$时，展开得$x^2+8x+16$，对比原式中间项系数可得：
$-(m-1)=8$
解得：$-m+1=8$，$m=-7$
② 当完全平方式为$(x-4)^2$时，展开得$x^2-8x+16$，对比原式中间项系数可得：
$-(m-1)=-8$
解得：$-m+1=-8$，$m=9$
【答案】
9或-7
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是完全平方式的典型易错题，核心考查完全平方公式两种形式的应用，易错点是仅考虑其中一种符号的完全平方式导致漏解，熟练掌握完全平方公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可总结为“首平方，尾平方，首尾2倍在中央，符号可正可负”。首先确定给定多项式的首项对应$a=x$，末项$16=4^2$对应$b=4$，再根据中间项符号有两种可能，分别列关于$m$的一元一次方程求解即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式：
1. 确定首尾项对应的值：首项$x^2=x^2$，即$a=x$；末项$16=4^2$，即$b=4$，因此该完全平方式可写作$(x\pm4)^2$。
2. 分两种情况讨论：
① 当完全平方式为$(x+4)^2$时，展开得$x^2+8x+16$，对比原式中间项系数可得：
$-(m-1)=8$
解得：$-m+1=8$，$m=-7$
② 当完全平方式为$(x-4)^2$时，展开得$x^2-8x+16$，对比原式中间项系数可得：
$-(m-1)=-8$
解得：$-m+1=-8$，$m=9$
【答案】
9或-7
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是完全平方式的典型易错题，核心考查完全平方公式两种形式的应用，易错点是仅考虑其中一种符号的完全平方式导致漏解，熟练掌握完全平方公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10.将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解：
$m^2+4mn+3n^2=(m+3n)(m+n)$
答案
10.$m^2+4mn+3n^2=(m+3n)(m+n)$
解析
【分析】
要解决这类拼图对应因式分解的问题，核心是用面积法，从两个角度计算同一图形的面积，结果相等即可得到对应的等式。思路如下：第一步先观察拼接后大长方形的长和宽，用长乘宽计算出大长方形的面积；第二步分别计算所有小卡片的面积，求和得到总面积的另一种表达式；第三步联立两个面积表达式，就能得到因式分解的结果。
【解析】
1. 计算大长方形的面积：
观察图形可得，大长方形的长为$ m + 3n $，宽为$ m + n $，因此大长方形的面积为：
$ (m + 3n)(m + n) $
2. 计算所有小卡片的面积之和：
图形中包含1个边长为$ m $的正方形，面积为$ m^2 $；4个长为$ m $、宽为$ n $的长方形，总面积为$ 4mn $；3个边长为$ n $的小正方形，总面积为$ 3n^2 $，因此所有小卡片的面积和为：
$ m^2 + 4mn + 3n^2 $
3. 联立面积等式：
两种方式计算的是同一个大长方形的面积，因此二者相等，可得对应因式分解式。
【答案】
$ m^2+4mn+3n^2=(m+3n)(m+n) $
【知识点】
因式分解的几何意义、整式乘法运算、面积法
【点评】
本题将代数因式分解与几何图形面积结合，考查数形结合思想的应用，解题的关键是准确计算大长方形的长宽和各小图形的总面积，属于因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决这类拼图对应因式分解的问题，核心是用面积法，从两个角度计算同一图形的面积，结果相等即可得到对应的等式。思路如下：第一步先观察拼接后大长方形的长和宽，用长乘宽计算出大长方形的面积；第二步分别计算所有小卡片的面积，求和得到总面积的另一种表达式；第三步联立两个面积表达式，就能得到因式分解的结果。
【解析】
1. 计算大长方形的面积：
观察图形可得，大长方形的长为$ m + 3n $，宽为$ m + n $，因此大长方形的面积为：
$ (m + 3n)(m + n) $
2. 计算所有小卡片的面积之和：
图形中包含1个边长为$ m $的正方形，面积为$ m^2 $；4个长为$ m $、宽为$ n $的长方形，总面积为$ 4mn $；3个边长为$ n $的小正方形，总面积为$ 3n^2 $，因此所有小卡片的面积和为：
$ m^2 + 4mn + 3n^2 $
3. 联立面积等式：
两种方式计算的是同一个大长方形的面积，因此二者相等，可得对应因式分解式。
【答案】
$ m^2+4mn+3n^2=(m+3n)(m+n) $
【知识点】
因式分解的几何意义、整式乘法运算、面积法
【点评】
本题将代数因式分解与几何图形面积结合，考查数形结合思想的应用，解题的关键是准确计算大长方形的长宽和各小图形的总面积，属于因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
11. 把下列各式分解因式：
(1) $\frac{1}{9}m^2 + \frac{2}{3}mn + n^2$；
(2) $a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$；
(3) $(x^2 - 5)^2 + 2(x^2 - 5) + 1$；
(4) $(x^2 + 8x)^2 + 32(x^2 + 8x) + 256$。
(1) $\frac{1}{9}m^2 + \frac{2}{3}mn + n^2$；
(2) $a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$；
(3) $(x^2 - 5)^2 + 2(x^2 - 5) + 1$；
(4) $(x^2 + 8x)^2 + 32(x^2 + 8x) + 256$。
答案
11.解:(1)原式=$(\frac{1}{3}m+n)^2$。
(2)原式=$(x-y)(a^2-4b^2)$
$=(x-y)(a+2b)(a-2b)$。
(3)原式=$(x^2-5+1)^2$
$=(x^2-4)^2$
$=(x+2)^2(x-2)^2$。
(4)原式=$(x^2+8x+16)^2$
$=(x+4)^4$。
(2)原式=$(x-y)(a^2-4b^2)$
$=(x-y)(a+2b)(a-2b)$。
(3)原式=$(x^2-5+1)^2$
$=(x^2-4)^2$
$=(x+2)^2(x-2)^2$。
(4)原式=$(x^2+8x+16)^2$
$=(x+4)^4$。
解析
【分析】
本题考查因式分解，解题遵循“一提二套三查”的步骤：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再观察提取公因式后的式子（或原式无公因式）是否符合完全平方公式或平方差公式的结构特征，符合则套用公式分解；③最后检查分解结果是否彻底，保证每一个因式都不能再分解。对于含有相同多项式的式子，可将该多项式看作整体套用公式，简化计算过程。
【解析】
(1) 原式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=\frac{1}{3}m$，$b=n$，因此：
原式=$(\frac{1}{3}m)^2 + 2·\frac{1}{3}m· n + n^2 = (\frac{1}{3}m+n)^2$
(2) 先提取公因式$(x-y)$，再对剩余部分套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
原式=$(x-y)(a^2-4b^2)=(x-y)(a+2b)(a-2b)$
(3) 将$(x^2-5)$看作整体，先套用完全平方和公式，再对剩余的平方差结构继续分解：
原式=$[(x^2-5)+1]^2=(x^2-4)^2=[(x+2)(x-2)]^2=(x+2)^2(x-2)^2$
(4) 将$(x^2+8x)$看作整体，先套用完全平方和公式，再对剩余的完全平方结构继续分解：
原式=$[(x^2+8x)+16]^2=(x^2+8x+16)^2=[(x+4)^2]^2=(x+4)^4$
【答案】
(1) $(\frac{1}{3}m+n)^2$
(2) $(x-y)(a+2b)(a-2b)$
(3) $(x+2)^2(x-2)^2$
(4) $(x+4)^4$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这是因式分解的典型基础题型，既考查了提公因式法和公式法的基础应用，也渗透了整体代换的思想，解题时要注意最后检查分解是否彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查因式分解，解题遵循“一提二套三查”的步骤：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再观察提取公因式后的式子（或原式无公因式）是否符合完全平方公式或平方差公式的结构特征，符合则套用公式分解；③最后检查分解结果是否彻底，保证每一个因式都不能再分解。对于含有相同多项式的式子，可将该多项式看作整体套用公式，简化计算过程。
【解析】
(1) 原式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=\frac{1}{3}m$，$b=n$，因此：
原式=$(\frac{1}{3}m)^2 + 2·\frac{1}{3}m· n + n^2 = (\frac{1}{3}m+n)^2$
(2) 先提取公因式$(x-y)$，再对剩余部分套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
原式=$(x-y)(a^2-4b^2)=(x-y)(a+2b)(a-2b)$
(3) 将$(x^2-5)$看作整体，先套用完全平方和公式，再对剩余的平方差结构继续分解：
原式=$[(x^2-5)+1]^2=(x^2-4)^2=[(x+2)(x-2)]^2=(x+2)^2(x-2)^2$
(4) 将$(x^2+8x)$看作整体，先套用完全平方和公式，再对剩余的完全平方结构继续分解：
原式=$[(x^2+8x)+16]^2=(x^2+8x+16)^2=[(x+4)^2]^2=(x+4)^4$
【答案】
(1) $(\frac{1}{3}m+n)^2$
(2) $(x-y)(a+2b)(a-2b)$
(3) $(x+2)^2(x-2)^2$
(4) $(x+4)^4$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这是因式分解的典型基础题型，既考查了提公因式法和公式法的基础应用，也渗透了整体代换的思想，解题时要注意最后检查分解是否彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.7
