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12.若$x+y=3$，$x-y=1$，则$x^2 - y^2$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.$-3$
C
）A.1
B.2
C.3
D.$-3$
答案
12.C
解析
【分析】
本题可通过观察所求代数式的结构，联想到平方差公式，无需分别求解x、y的值，采用整体代入的方法即可快速计算。首先回忆平方差公式的形式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应到本题中$a$为$x$，$b$为$y$，因此$x^2 - y^2$可以变形为$(x+y)(x-y)$，再把题目给出的$x+y=3$、$x-y=1$直接代入计算即可。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
将$x+y=3$，$x-y=1$代入上式：
原式$=3×1=3$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用，采用整体代入的思路可以简化计算，避免分别求解未知数的繁琐，是对公式灵活运用能力的基础考查。
【难度系数】
0.9
本题可通过观察所求代数式的结构，联想到平方差公式，无需分别求解x、y的值，采用整体代入的方法即可快速计算。首先回忆平方差公式的形式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应到本题中$a$为$x$，$b$为$y$，因此$x^2 - y^2$可以变形为$(x+y)(x-y)$，再把题目给出的$x+y=3$、$x-y=1$直接代入计算即可。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
将$x+y=3$，$x-y=1$代入上式：
原式$=3×1=3$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用，采用整体代入的思路可以简化计算，避免分别求解未知数的繁琐，是对公式灵活运用能力的基础考查。
【难度系数】
0.9
13. 计算 $1.99^2 - 1.98 × 1.99 + 0.99^2$ 的结果为（
A.0
B.1
C.8.880 4
D.3.960 1
B
）A.0
B.1
C.8.880 4
D.3.960 1
答案
13.B
解析
【分析】
观察算式结构，发现式子包含两个平方项和一个乘积项，符合完全平方差公式的特征，因此考虑用完全平方公式简化计算：先将中间项的系数1.98拆分为2×0.99，再对应完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构代入计算即可。
【解析】
解：对原式变形可得：
$\begin{aligned}原式&=1.99^2 - 2×0.99×1.99 + 0.99^2\\&=(1.99 - 0.99)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、有理数简便运算
【点评】
本题考查对完全平方公式的识别与灵活运用，通过变形将原式转化为完全平方的形式，可避免直接计算带来的繁琐和失误，是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用。
【难度系数】
0.8
观察算式结构，发现式子包含两个平方项和一个乘积项，符合完全平方差公式的特征，因此考虑用完全平方公式简化计算：先将中间项的系数1.98拆分为2×0.99，再对应完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构代入计算即可。
【解析】
解：对原式变形可得：
$\begin{aligned}原式&=1.99^2 - 2×0.99×1.99 + 0.99^2\\&=(1.99 - 0.99)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、有理数简便运算
【点评】
本题考查对完全平方公式的识别与灵活运用，通过变形将原式转化为完全平方的形式，可避免直接计算带来的繁琐和失误，是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用。
【难度系数】
0.8
14.图1是防汛手提探照灯,小明为了计算灯头横截面的面积:裁剪了一张与探照灯的横截面同样大小的圆形纸片覆盖在灯头上,打开探照灯后,纸片上映出4个相同大小的圆形光斑,如图2所示.现测得圆形纸片的直径$D=7\ \mathrm{cm}$,圆形光斑的直径$d=2.5\ \mathrm{cm}$,则灯头横截面(图2中阴影部分)的面积为
$6π$
$\mathrm{cm}^2$.(结果保留$π$)答案
14.$6π$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分面积等于大圆的面积减去4个完全相同的小圆的面积之和。首先根据直径和半径的关系分别求出大圆、小圆的半径，再结合圆的面积公式分别计算大圆面积和4个小圆的总面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：已知圆形纸片（大圆）的直径$D=7\ \mathrm{cm}$，则大圆的半径$R=\frac{D}{2}=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$，
根据圆的面积公式$S=π r^2$，大圆的面积为：
$S_{\mathrm{大}}=π R^2=π×(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
已知圆形光斑（小圆）的直径$d=2.5\ \mathrm{cm}$，则小圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{2.5}{2}=\frac{5}{4}\ \mathrm{cm}$，
1个小圆的面积为：
$S_{\mathrm{小}}=π r^2=π×(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}π\ \mathrm{cm}^2$
4个小圆的总面积为：
$4S_{\mathrm{小}}=4×\frac{25}{16}π=\frac{25}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-4S_{\mathrm{小}}=\frac{49}{4}π-\frac{25}{4}π=\frac{24}{4}π=6π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$6π$
【知识点】
直径与半径的关系，圆的面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，解题核心是利用“整体减空白”的思路求解阴影面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分面积等于大圆的面积减去4个完全相同的小圆的面积之和。首先根据直径和半径的关系分别求出大圆、小圆的半径，再结合圆的面积公式分别计算大圆面积和4个小圆的总面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：已知圆形纸片（大圆）的直径$D=7\ \mathrm{cm}$，则大圆的半径$R=\frac{D}{2}=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$，
根据圆的面积公式$S=π r^2$，大圆的面积为：
$S_{\mathrm{大}}=π R^2=π×(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
已知圆形光斑（小圆）的直径$d=2.5\ \mathrm{cm}$，则小圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{2.5}{2}=\frac{5}{4}\ \mathrm{cm}$，
1个小圆的面积为：
$S_{\mathrm{小}}=π r^2=π×(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}π\ \mathrm{cm}^2$
4个小圆的总面积为：
$4S_{\mathrm{小}}=4×\frac{25}{16}π=\frac{25}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-4S_{\mathrm{小}}=\frac{49}{4}π-\frac{25}{4}π=\frac{24}{4}π=6π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$6π$
【知识点】
直径与半径的关系，圆的面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，解题核心是利用“整体减空白”的思路求解阴影面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
15.已知:$a - b = 2$,$ab = \frac{3}{16}$,求代数式$a^3b - 2a^2b^2 + ab^3$的值.
答案
15.解:原式=$ab(a^2-2ab+b^2)=ab(a-b)^2$。
当$a-b=2,ab=\frac{3}{16}$时，
原式=$\frac{3}{16}×4=\frac{3}{4}$。
当$a-b=2,ab=\frac{3}{16}$时，
原式=$\frac{3}{16}×4=\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
遇到代数式求值类问题，优先考虑先化简再代入计算，避免直接求解a、b的数值增加计算量。首先观察待求代数式的结构，每一项都含有公因式ab，先提取公因式，再看剩余部分是否可以用乘法公式继续因式分解，发现剩余的$a^2-2ab+b^2$刚好是完全平方公式的展开形式，可以转化为$(a-b)^2$，此时待求式就转化为仅含$a-b$和$ab$的式子，直接代入题目给出的已知条件计算即可。
【解析】
首先对待求代数式进行因式分解：
原式$=ab(a^2 - 2ab + b^2)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
原式$=ab(a - b)^2$
将已知条件$a - b = 2$，$ab = \frac{3}{16}$代入化简后的式子：
原式$=\frac{3}{16} × 2^2 = \frac{3}{16} × 4 = \frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查整式运算中因式分解的应用，通过先化简再求值的方式可以大幅简化计算步骤，无需单独求解a、b的具体数值，是整式化简求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
遇到代数式求值类问题，优先考虑先化简再代入计算，避免直接求解a、b的数值增加计算量。首先观察待求代数式的结构，每一项都含有公因式ab，先提取公因式，再看剩余部分是否可以用乘法公式继续因式分解，发现剩余的$a^2-2ab+b^2$刚好是完全平方公式的展开形式，可以转化为$(a-b)^2$，此时待求式就转化为仅含$a-b$和$ab$的式子，直接代入题目给出的已知条件计算即可。
【解析】
首先对待求代数式进行因式分解：
原式$=ab(a^2 - 2ab + b^2)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
原式$=ab(a - b)^2$
将已知条件$a - b = 2$，$ab = \frac{3}{16}$代入化简后的式子：
原式$=\frac{3}{16} × 2^2 = \frac{3}{16} × 4 = \frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查整式运算中因式分解的应用，通过先化简再求值的方式可以大幅简化计算步骤，无需单独求解a、b的具体数值，是整式化简求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
16.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.例如：$8=3^2 -1^2,16=5^2 -3^2,24=7^2 -5^2$,则8,16,24这三个数都是“奇特数”.
(1)32是“奇特数”吗？若是，将其表示为两个连续奇数的平方差的形式；
(2)设两个连续奇数是$2n-1$和$2n+1$($n$为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？
(3)如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为19，求阴影部分的面积.
(1)32是“奇特数”吗？若是，将其表示为两个连续奇数的平方差的形式；
(2)设两个连续奇数是$2n-1$和$2n+1$($n$为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？
(3)如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为19，求阴影部分的面积.
答案
16.解:(1)32是“奇特数”.将32表示为两个连续奇数的平方差的形式为$32=9^2-7^2$。
(2)由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数.理由：
因为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)·[2n+1-(2n-1)]=4n·2=8n$,且$n$为正整数，
所以由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数。
(3)$S_{阴影}=19^2-17^2+15^2-13^2+…+3^2-1^2$
$=(19+17)×(19-17)+(15+13)×(15-13)+…+(3+1)×(3-1)$
$=(19+17)×2+(15+13)×2+…+(3+1)×2$
$=(19+17+15+13+…+3+1)×2$
$=\frac{(1+19)}{2}×10×2$
$=200$。
(2)由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数.理由：
因为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)·[2n+1-(2n-1)]=4n·2=8n$,且$n$为正整数，
所以由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数。
(3)$S_{阴影}=19^2-17^2+15^2-13^2+…+3^2-1^2$
$=(19+17)×(19-17)+(15+13)×(15-13)+…+(3+1)×(3-1)$
$=(19+17)×2+(15+13)×2+…+(3+1)×2$
$=(19+17+15+13+…+3+1)×2$
$=\frac{(1+19)}{2}×10×2$
$=200$。
解析
【分析】
(1) 根据“奇特数”的定义，奇特数是两个连续奇数的平方差，观察示例可知奇特数均为8的倍数，先判断32是8的倍数，再通过设未知数求出对应的两个连续奇数，即可写出平方差形式。
(2) 要判断构造的奇特数是否为8的倍数，直接利用平方差公式对两个连续奇数的平方差展开化简，判断结果是否为8乘正整数的形式即可。
(3) 观察图形可知阴影面积为相邻连续奇数的平方差的和，每一组平方差用平方差公式分解后提取公因式，再结合等差数列求和公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 32是8的倍数，符合奇特数的特征。设对应的两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$，令$(2n+1)^2-(2n-1)^2=32$，化简得$8n=32$，解得$n=4$，则两个奇数为$2×4-1=7$，$2×4+1=9$，因此$32=9^2-7^2$。
(2) 是8的倍数，理由如下：
利用平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(2n+1+2n-1)[2n+1-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
因为$n$是正整数，所以$8n$是8的倍数，即构造的奇特数是8的倍数。
(3) 由图形规律得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=19^2-17^2+15^2-13^2+\dots+3^2-1^2\\&=(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+\dots+(3+1)(3-1)\\&=(19+17)×2+(15+13)×2+\dots+(3+1)×2\\&=2×(19+17+15+\dots+3+1)\\&=2×\frac{(1+19)×10}{2}\\&=200\end{aligned}$
【答案】
(1)32是“奇特数”，$32=9^2-7^2$；
(2)是8的倍数，理由见解析；
(3)阴影部分的面积为$\boxed{200}$。
【知识点】
平方差公式应用、新概念理解、规律探究计算
【点评】
本题以新定义为载体，既考查了平方差公式的灵活运用能力，也考查了代数式化简、图形规律提炼的能力，能够很好地检验学生对因式分解、数列求和相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.65
(1) 根据“奇特数”的定义，奇特数是两个连续奇数的平方差，观察示例可知奇特数均为8的倍数，先判断32是8的倍数，再通过设未知数求出对应的两个连续奇数，即可写出平方差形式。
(2) 要判断构造的奇特数是否为8的倍数，直接利用平方差公式对两个连续奇数的平方差展开化简，判断结果是否为8乘正整数的形式即可。
(3) 观察图形可知阴影面积为相邻连续奇数的平方差的和，每一组平方差用平方差公式分解后提取公因式，再结合等差数列求和公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 32是8的倍数，符合奇特数的特征。设对应的两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$，令$(2n+1)^2-(2n-1)^2=32$，化简得$8n=32$，解得$n=4$，则两个奇数为$2×4-1=7$，$2×4+1=9$，因此$32=9^2-7^2$。
(2) 是8的倍数，理由如下：
利用平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(2n+1+2n-1)[2n+1-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
因为$n$是正整数，所以$8n$是8的倍数，即构造的奇特数是8的倍数。
(3) 由图形规律得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=19^2-17^2+15^2-13^2+\dots+3^2-1^2\\&=(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+\dots+(3+1)(3-1)\\&=(19+17)×2+(15+13)×2+\dots+(3+1)×2\\&=2×(19+17+15+\dots+3+1)\\&=2×\frac{(1+19)×10}{2}\\&=200\end{aligned}$
【答案】
(1)32是“奇特数”，$32=9^2-7^2$；
(2)是8的倍数，理由见解析；
(3)阴影部分的面积为$\boxed{200}$。
【知识点】
平方差公式应用、新概念理解、规律探究计算
【点评】
本题以新定义为载体，既考查了平方差公式的灵活运用能力，也考查了代数式化简、图形规律提炼的能力，能够很好地检验学生对因式分解、数列求和相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.65
