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1.若$\frac{x-1}{□}$是分式，则可以是（
A.π
B.x
C.0
D.2025
B
）A.π
B.x
C.0
D.2025
答案
1.B
解析
【分析】
要判断填入方框的内容使$\frac{x-1}{□}$为分式，首先需明确分式的判定标准：分式的分母必须是含有字母的整式，且分母不能为0。我们只需逐个判断选项是否满足“分母含字母”这一核心条件即可。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，B中含有字母且$B≠0$）的式子叫做分式，逐一分析选项：
选项A：π是固定的常数，不属于字母，分母为π时式子是整式，不符合分式要求；
选项B：x是字母，分母为x时满足“分母含有字母”的分式判定条件，符合要求；
选项C：0作分母无意义，且0是常数，不符合要求；
选项D：2025是固定常数，分母为2025时式子是整式，不符合分式要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题的关键是明确分式的核心判定特征为分母含字母，同时要注意π是常数而非字母，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要判断填入方框的内容使$\frac{x-1}{□}$为分式，首先需明确分式的判定标准：分式的分母必须是含有字母的整式，且分母不能为0。我们只需逐个判断选项是否满足“分母含字母”这一核心条件即可。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，B中含有字母且$B≠0$）的式子叫做分式，逐一分析选项：
选项A：π是固定的常数，不属于字母，分母为π时式子是整式，不符合分式要求；
选项B：x是字母，分母为x时满足“分母含有字母”的分式判定条件，符合要求；
选项C：0作分母无意义，且0是常数，不符合要求；
选项D：2025是固定常数，分母为2025时式子是整式，不符合分式要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题的关键是明确分式的核心判定特征为分母含字母，同时要注意π是常数而非字母，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 式子$\frac{x-y}{3}$，$\frac{a}{2b+1}$，$\frac{x}{π+1}$，$-\frac{3a}{c}$，$-\frac{1}{2x+y}$中，是分式的有 （
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
C
）A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
2.C
解析
【分析】
解题首先要明确分式的定义：若两个整式A、B（B不为0）相除，且分母B中含有字母，则$\frac{A}{B}$为分式。判断的核心依据是分母中是否含有字母，注意π是圆周率，属于固定常数，不属于字母，我们只需要逐个分析每个式子的分母情况即可得出答案。
【解析】
我们根据分式的定义逐个判断：
1. $\frac{x-y}{3}$：分母是3，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{a}{2b+1}$：分母为$2b+1$，含有字母b，符合分式定义，是分式；
3. $\frac{x}{π+1}$：分母为$π+1$，π是常数，因此分母为常数，属于整式，不是分式；
4. $-\frac{3a}{c}$：分母为c，含有字母c，符合分式定义，是分式；
5. $-\frac{1}{2x+y}$：分母为$2x+y$，含有字母x、y，符合分式定义，是分式。
综上，符合要求的分式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的定义
2. 常数π的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见误区是误将π当作字母进行判断，只要牢记分式的判定核心是分母含有字母，区分开常数和字母即可快速得分。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确分式的定义：若两个整式A、B（B不为0）相除，且分母B中含有字母，则$\frac{A}{B}$为分式。判断的核心依据是分母中是否含有字母，注意π是圆周率，属于固定常数，不属于字母，我们只需要逐个分析每个式子的分母情况即可得出答案。
【解析】
我们根据分式的定义逐个判断：
1. $\frac{x-y}{3}$：分母是3，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{a}{2b+1}$：分母为$2b+1$，含有字母b，符合分式定义，是分式；
3. $\frac{x}{π+1}$：分母为$π+1$，π是常数，因此分母为常数，属于整式，不是分式；
4. $-\frac{3a}{c}$：分母为c，含有字母c，符合分式定义，是分式；
5. $-\frac{1}{2x+y}$：分母为$2x+y$，含有字母x、y，符合分式定义，是分式。
综上，符合要求的分式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的定义
2. 常数π的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见误区是误将π当作字母进行判断，只要牢记分式的判定核心是分母含有字母，区分开常数和字母即可快速得分。
【难度系数】
0.7
3.某种商品$m$ kg的售价为$n$元，那么这种商品8 kg的售价为（
A.$\frac{8n}{m}$元
B.$\frac{n}{8m}$元
C.$\frac{8m}{n}$元
D.$\frac{m}{8n}$元
A
）A.$\frac{8n}{m}$元
B.$\frac{n}{8m}$元
C.$\frac{8m}{n}$元
D.$\frac{m}{8n}$元
答案
3.A
解析
【分析】
要计算8kg商品的售价，首先需要先求出该商品的单价，再根据“总价=单价×数量”计算8kg的总售价。第一步，先利用已知条件“m kg售价为n元”，由“单价=总价÷数量”求出每千克商品的售价；第二步，用求出的单价乘8，就能得到8kg商品的售价。
【解析】
首先计算1kg该商品的售价：
已知m kg商品售价为n元，根据单价=总价÷数量，可得1kg商品的售价为$\frac{n}{m}$元。
再计算8kg该商品的售价：
根据总价=单价×数量，可得8kg商品的售价为$8×\frac{n}{m}=\frac{8n}{m}$元。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；分式的实际应用；总价单价数量关系
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查用代数式表示实际问题中的数量关系，解题的关键是牢记总价、单价、数量三者之间的运算关系，计算过程不易出错。
【难度系数】
0.9
要计算8kg商品的售价，首先需要先求出该商品的单价，再根据“总价=单价×数量”计算8kg的总售价。第一步，先利用已知条件“m kg售价为n元”，由“单价=总价÷数量”求出每千克商品的售价；第二步，用求出的单价乘8，就能得到8kg商品的售价。
【解析】
首先计算1kg该商品的售价：
已知m kg商品售价为n元，根据单价=总价÷数量，可得1kg商品的售价为$\frac{n}{m}$元。
再计算8kg该商品的售价：
根据总价=单价×数量，可得8kg商品的售价为$8×\frac{n}{m}=\frac{8n}{m}$元。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；分式的实际应用；总价单价数量关系
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查用代数式表示实际问题中的数量关系，解题的关键是牢记总价、单价、数量三者之间的运算关系，计算过程不易出错。
【难度系数】
0.9
4.当$x=1$时,下列分式没有意义的是 (
A.$\frac{x+1}{x}$
B.$\frac{x}{x-1}$
C.$\frac{x-1}{x}$
D.$\frac{x}{x+1}$
B
)A.$\frac{x+1}{x}$
B.$\frac{x}{x-1}$
C.$\frac{x-1}{x}$
D.$\frac{x}{x+1}$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断x=1时哪个分式无意义，首先明确分式无意义的判定规则：当分式的分母等于0时，分式无意义。因此解题思路为：将x=1分别代入每个选项的分母中计算，找到分母结果为0的选项即可。
【解析】
分式无意义的条件是分母的值为0，我们将x=1分别代入各选项的分母计算：
A选项：分母为x，代入x=1得1≠0，分式有意义，不符合要求；
B选项：分母为x-1，代入x=1得$1-1=0$，分母为0，分式无意义，符合要求；
C选项：分母为x，代入x=1得1≠0，分式有意义，不符合要求；
D选项：分母为x+1，代入x=1得$1+1=2≠0$，分式有意义，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的判定；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对分式无意义条件的掌握，只需牢记“分母为0时分式无意义”的规则，代入数值计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断x=1时哪个分式无意义，首先明确分式无意义的判定规则：当分式的分母等于0时，分式无意义。因此解题思路为：将x=1分别代入每个选项的分母中计算，找到分母结果为0的选项即可。
【解析】
分式无意义的条件是分母的值为0，我们将x=1分别代入各选项的分母计算：
A选项：分母为x，代入x=1得1≠0，分式有意义，不符合要求；
B选项：分母为x-1，代入x=1得$1-1=0$，分母为0，分式无意义，符合要求；
C选项：分母为x，代入x=1得1≠0，分式有意义，不符合要求；
D选项：分母为x+1，代入x=1得$1+1=2≠0$，分式有意义，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的判定；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对分式无意义条件的掌握，只需牢记“分母为0时分式无意义”的规则，代入数值计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5.[一题多变]若分式$\frac{2x}{x+1}$有意义,则$x$满足的条件是 (
A.$x=0$
B.$x≠0$
C.$x=-1$
D.$x≠-1$
[变式1]已知分式$\frac{x-10}{x+m}$,当$x=-2025$时,分式无意义,则$m=$
[变式2](开放性试题)写出一个含有字母$a$的分式:
D
)A.$x=0$
B.$x≠0$
C.$x=-1$
D.$x≠-1$
[变式1]已知分式$\frac{x-10}{x+m}$,当$x=-2025$时,分式无意义,则$m=$
2 025
.[变式2](开放性试题)写出一个含有字母$a$的分式:
$\frac{1}{a^2+1}$(答案不唯一)
.(要求:无论$a$取何值,该分式都有意义)答案
5.D [变式1]2 025 [变式2]$\frac{1}{a^2+1}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解决分式意义相关问题的核心依据是：分式有意义的条件为分母不为0，分式无意义的条件为分母等于0。
对于原题，先提取分式的分母，令分母不等于0，求解x的取值范围即可匹配选项；
对于变式1，已知x取某值时分式无意义，说明此时分母为0，将x的值代入分母表达式解方程即可求出m；
对于变式2，要使分式无论a取何值都有意义，只需构造恒不为0的分母，可结合平方的非负性构造恒大于0的含a的代数式作为分母。
【解析】
原题解答
分式有意义要求分母不为0，分式$\frac{2x}{x+1}$的分母为$x+1$，因此：
$x+1≠0$，解得$x≠-1$，故选D。
变式1解答
分式无意义要求分母为0，当$x=-2025$时分式无意义，即此时分母$x+m=0$，代入$x=-2025$得：
$-2025+m=0$，解得$m=2025$。
变式2解答
根据平方的非负性，$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，恒不等于0，可写分式$\frac{1}{a^2+1}$，只要分母为恒不为0的含a的代数式均符合要求，答案不唯一。
【答案】
5.D [变式1]2025 [变式2]$\frac{1}{a^2+1}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 分式无意义的条件
3. 平方的非负性
【点评】
本题及变式围绕分式的意义核心考点设置，属于基础类题目，解题关键是牢牢抓住“分母是否为0”的判断依据，开放性变式能考查对基础知识的灵活应用能力，掌握核心规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
解决分式意义相关问题的核心依据是：分式有意义的条件为分母不为0，分式无意义的条件为分母等于0。
对于原题，先提取分式的分母，令分母不等于0，求解x的取值范围即可匹配选项；
对于变式1，已知x取某值时分式无意义，说明此时分母为0，将x的值代入分母表达式解方程即可求出m；
对于变式2，要使分式无论a取何值都有意义，只需构造恒不为0的分母，可结合平方的非负性构造恒大于0的含a的代数式作为分母。
【解析】
原题解答
分式有意义要求分母不为0，分式$\frac{2x}{x+1}$的分母为$x+1$，因此：
$x+1≠0$，解得$x≠-1$，故选D。
变式1解答
分式无意义要求分母为0，当$x=-2025$时分式无意义，即此时分母$x+m=0$，代入$x=-2025$得：
$-2025+m=0$，解得$m=2025$。
变式2解答
根据平方的非负性，$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，恒不等于0，可写分式$\frac{1}{a^2+1}$，只要分母为恒不为0的含a的代数式均符合要求，答案不唯一。
【答案】
5.D [变式1]2025 [变式2]$\frac{1}{a^2+1}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 分式无意义的条件
3. 平方的非负性
【点评】
本题及变式围绕分式的意义核心考点设置，属于基础类题目，解题关键是牢牢抓住“分母是否为0”的判断依据，开放性变式能考查对基础知识的灵活应用能力，掌握核心规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
6. 如果分式$\frac{x+2}{x}$的值为0，那么$x$的值是（
A.0
B.2
C.$-2$
D.$-2$或0
C
）A.0
B.2
C.$-2$
D.$-2$或0
答案
6.C
解析
【分析】
求解分式值为0的问题，需先明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先计算使分子为0的x的取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到正确结果。
【解析】
要使分式$\frac{x+2}{x}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x+2=0$，解得$x=-2$；
2. 分母不等于0：$x≠0$。
将$x=-2$代入分母验证，此时$x=-2≠0$，符合分母不为0的要求。
因此$x$的值为$-2$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，核心考查分式值为0的成立条件，易错点是忽略分母不能为0的限制，误选包含0的错误选项。
【难度系数】
0.7
求解分式值为0的问题，需先明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先计算使分子为0的x的取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到正确结果。
【解析】
要使分式$\frac{x+2}{x}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x+2=0$，解得$x=-2$；
2. 分母不等于0：$x≠0$。
将$x=-2$代入分母验证，此时$x=-2≠0$，符合分母不为0的要求。
因此$x$的值为$-2$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，核心考查分式值为0的成立条件，易错点是忽略分母不能为0的限制，误选包含0的错误选项。
【难度系数】
0.7
7.已知$a=1$，$b=2$，则分式$\frac{ab}{a-b}$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.$-2$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.$-2$
答案
7.D
解析
【分析】
本题是已知字母取值求分式值的基础题，解题思路明确：首先将a、b的数值准确代入分式的分子和分母中，再分别计算分子、分母的运算结果，最后计算分式的最终值，计算时要注意有理数减法、除法的符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：把$a=1$，$b=2$代入分式$\frac{ab}{a-b}$得：
分子：$ab=1×2=2$
分母：$a-b=1-2=-1$
则$\frac{ab}{a-b}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
D
【知识点】
分式求值、有理数四则运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考察分式代入求值的基本方法，只要代入数值准确，运算时注意符号变化，就能顺利得出结果，是对基础运算能力的常规考察。
【难度系数】
0.9
本题是已知字母取值求分式值的基础题，解题思路明确：首先将a、b的数值准确代入分式的分子和分母中，再分别计算分子、分母的运算结果，最后计算分式的最终值，计算时要注意有理数减法、除法的符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：把$a=1$，$b=2$代入分式$\frac{ab}{a-b}$得：
分子：$ab=1×2=2$
分母：$a-b=1-2=-1$
则$\frac{ab}{a-b}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
D
【知识点】
分式求值、有理数四则运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考察分式代入求值的基本方法，只要代入数值准确，运算时注意符号变化，就能顺利得出结果，是对基础运算能力的常规考察。
【难度系数】
0.9
8. 当$x=2$时，分式$\frac{2x + k}{x + 1}$的值为0，则$k=$
-4
。答案
8.-4
解析
【分析】要解决这个问题，首先需要明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0，两个条件必须同时满足、缺一不可。已知x=2时分式的值为0，我们可以先验证x=2时分母是否符合不为0的要求，确认符合后再将x=2代入分子，令分子等于0即可求出k的取值。
【解析】分式值为0需同时满足：分子为0，且分母不为0。
当x=2时，分母为$x+1=2+1=3≠0$，满足分母不为0的要求。
此时分子的值为0，即$2x + k = 0$，将x=2代入该式：
$2×2 + k = 0$
$4 + k = 0$
解得$k=-4$。
【答案】-4
【知识点】分式值为0的条件；代数式求值
【点评】本题是分式相关的基础题型，重点考查对分式值为0的成立条件的掌握，解题时要注意必须同时验证分子为0、分母不为0两个条件，避免遗漏分母的限制要求出错。
【难度系数】0.9
【解析】分式值为0需同时满足：分子为0，且分母不为0。
当x=2时，分母为$x+1=2+1=3≠0$，满足分母不为0的要求。
此时分子的值为0，即$2x + k = 0$，将x=2代入该式：
$2×2 + k = 0$
$4 + k = 0$
解得$k=-4$。
【答案】-4
【知识点】分式值为0的条件；代数式求值
【点评】本题是分式相关的基础题型，重点考查对分式值为0的成立条件的掌握，解题时要注意必须同时验证分子为0、分母不为0两个条件，避免遗漏分母的限制要求出错。
【难度系数】0.9
9. 下列各式中，无论$x$取何值时，分式都有意义的是（
A.$\frac{1}{2x+1}$
B.$\frac{x}{2x+1}$
C.$\frac{3x+1}{x^2}$
D.$\frac{x^2}{2x^2+1}$
D
）A.$\frac{1}{2x+1}$
B.$\frac{x}{2x+1}$
C.$\frac{3x+1}{x^2}$
D.$\frac{x^2}{2x^2+1}$
答案
9.D
解析
【分析】
要判断“无论x取何值分式都有意义”的选项，核心依据是分式有意义的条件：分式的分母不能为0。我们只需逐个分析各选项的分母，判断是否存在实数x使得分母等于0，若不存在这样的x，该选项就是符合要求的答案。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，逐一分析选项：
A. 分母为$2x+1$，令$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即当$x=-\frac{1}{2}$时分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$2x+1$，同理，当$x=-\frac{1}{2}$时分母为0，分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$2x^2+1$，由平方的非负性可知，对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，即无论x取何值，分母都不为0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础考查题型，解题关键是熟练掌握分式有意义的判定规则，结合平方的非负性即可快速排除错误选项，选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断“无论x取何值分式都有意义”的选项，核心依据是分式有意义的条件：分式的分母不能为0。我们只需逐个分析各选项的分母，判断是否存在实数x使得分母等于0，若不存在这样的x，该选项就是符合要求的答案。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，逐一分析选项：
A. 分母为$2x+1$，令$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即当$x=-\frac{1}{2}$时分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$2x+1$，同理，当$x=-\frac{1}{2}$时分母为0，分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$2x^2+1$，由平方的非负性可知，对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，即无论x取何值，分母都不为0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础考查题型，解题关键是熟练掌握分式有意义的判定规则，结合平方的非负性即可快速排除错误选项，选出正确答案。
【难度系数】
0.8
10. 若分式$\dfrac{|x|-1}{x^2 - 2x +1}$的值为0，则$x$的值为（
A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.2或1
B
）A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.2或1
答案
10.B
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到正确结果。
【解析】
分式值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：
$|x| - 1 = 0$，解得$|x|=1$，即$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不为0：
对分母因式分解得$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，因此$(x-1)^2 ≠ 0$，即$x ≠ 1$。
结合两个条件，排除$x=1$，可得$x=-1$。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件；绝对值方程求解；完全平方因式分解
【点评】
本题是分式相关的典型易错题，易错点是忽略分母不能为0的要求，仅根据分子为0错选C，求解此类问题时一定要注意分子为0、分母不为0两个条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到正确结果。
【解析】
分式值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：
$|x| - 1 = 0$，解得$|x|=1$，即$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不为0：
对分母因式分解得$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，因此$(x-1)^2 ≠ 0$，即$x ≠ 1$。
结合两个条件，排除$x=1$，可得$x=-1$。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件；绝对值方程求解；完全平方因式分解
【点评】
本题是分式相关的典型易错题，易错点是忽略分母不能为0的要求，仅根据分子为0错选C，求解此类问题时一定要注意分子为0、分母不为0两个条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
11.分式$\frac{x-2}{(x-1)^2}$的值为负数，则$x$的取值范围是
$x＜2$ 且 $x≠1$
。答案
11.$x＜2$ 且 $x≠1$
解析
【分析】
要解决分式值为负数的问题，需分两步思考：首先分式要有意义，即分母不能为0；其次分式的值为负，说明分子和分母的符号相反（异号相除得负）。观察本题分母是平方的形式，结合平方数的非负性，可先确定分母的符号，再推导分子的取值范围，最后结合分母不为0的限制得到最终x的范围。
【解析】
要使分式$\frac{x-2}{(x-1)^2}$的值为负数，需满足两个条件：
1. 分式有意义：分母不为0，即$(x-1)^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
2. 分式的值为负：因为任意实数的平方为非负数，结合$x ≠ 1$，可得$(x-1)^2 ＞ 0$。根据“两数相除，异号得负”，分母为正，因此分子必须为负，即$x-2 ＜ 0$，解得$x ＜ 2$。
综合两个条件，可得x的取值范围是$x ＜ 2$且$x ≠ 1$。
【答案】
$x＜2$ 且 $x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值的符号判定；平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题时容易遗漏分母不为0的限制条件，导致漏写$x≠1$，需注意求解后要检验分式是否有意义。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为负数的问题，需分两步思考：首先分式要有意义，即分母不能为0；其次分式的值为负，说明分子和分母的符号相反（异号相除得负）。观察本题分母是平方的形式，结合平方数的非负性，可先确定分母的符号，再推导分子的取值范围，最后结合分母不为0的限制得到最终x的范围。
【解析】
要使分式$\frac{x-2}{(x-1)^2}$的值为负数，需满足两个条件：
1. 分式有意义：分母不为0，即$(x-1)^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
2. 分式的值为负：因为任意实数的平方为非负数，结合$x ≠ 1$，可得$(x-1)^2 ＞ 0$。根据“两数相除，异号得负”，分母为正，因此分子必须为负，即$x-2 ＜ 0$，解得$x ＜ 2$。
综合两个条件，可得x的取值范围是$x ＜ 2$且$x ≠ 1$。
【答案】
$x＜2$ 且 $x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值的符号判定；平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题时容易遗漏分母不为0的限制条件，导致漏写$x≠1$，需注意求解后要检验分式是否有意义。
【难度系数】
0.7
12. 已知分式$\frac{x - b}{x + a}$，当$x = -2$时，分式无意义；当$x = 4$时，该分式的值为0. 求$a + b$的值.
答案
解:当$x=-2$时,分式$\frac{x-b}{x+a}$无意义，
$\therefore -2+a=0.$
$\therefore a=2.$
当$x=4$时,分式$\frac{x-b}{x+a}$的值为0，
$\therefore 4-b=0.$
$\therefore b=4.$
故$a+b=2+4=6.$
$\therefore -2+a=0.$
$\therefore a=2.$
当$x=4$时,分式$\frac{x-b}{x+a}$的值为0，
$\therefore 4-b=0.$
$\therefore b=4.$
故$a+b=2+4=6.$
解析
【分析】
解题时先回忆分式的相关性质：①分式无意义等价于分母等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0。我们先根据x=-2时分式无意义的条件，列出关于a的方程求出a的值；再根据x=4时分式值为0的条件，列出关于b的方程求出b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：当$x=-2$时，分式$\frac{x - b}{x + a}$无意义，此时分母为0，
$\therefore -2 + a = 0$，
解得$a=2$。
当$x=4$时，该分式的值为0，此时分子为0且分母不为0，
$\therefore 4 - b = 0$，
解得$b=4$。
故$a + b = 2 + 4 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件；代数式求值
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，解题关键是牢记分式无意义、值为0对应的成立条件，分别求解参数即可，要注意分式值为0时必须保证分母不为0，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆分式的相关性质：①分式无意义等价于分母等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0。我们先根据x=-2时分式无意义的条件，列出关于a的方程求出a的值；再根据x=4时分式值为0的条件，列出关于b的方程求出b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：当$x=-2$时，分式$\frac{x - b}{x + a}$无意义，此时分母为0，
$\therefore -2 + a = 0$，
解得$a=2$。
当$x=4$时，该分式的值为0，此时分子为0且分母不为0，
$\therefore 4 - b = 0$，
解得$b=4$。
故$a + b = 2 + 4 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件；代数式求值
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，解题关键是牢记分式无意义、值为0对应的成立条件，分别求解参数即可，要注意分式值为0时必须保证分母不为0，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.85
