登录
1. 将二次函数$y=x^2 -4x +3$化成$y=a(x+m)^2 +h$的形式是 （
A.$y=(x-2)^2 +1$；
B.$y=(x-2)^2 -1$；
C.$y=(x+2)^2 +7$；
D.$y=(x+2)^2 -7$。
B
）A.$y=(x-2)^2 +1$；
B.$y=(x-2)^2 -1$；
C.$y=(x+2)^2 +7$；
D.$y=(x+2)^2 -7$。
答案
1. B.
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题思路如下：首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需额外提取；接着对二次项和一次项进行配方，加上一次项系数一半的平方，为保证原式值不变，同时要减去这个数；最后整理合并常数项即可得到顶点式，再匹配选项。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -4x +3$用配方法变形：
第一步，处理含$x$的项，凑完全平方：
$y=(x^2 -4x + 4) - 4 + 3$
（注：加4是因为一次项系数-4的一半是-2，平方为4，再减4保证原式值不变）
第二步，整理化简：
$y=(x-2)^2 -1$
对比选项可知对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.配方法
2.二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查配方法的规范应用，是后续学习二次函数图像、最值等性质的必备基础，需要熟练掌握配方步骤。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题思路如下：首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需额外提取；接着对二次项和一次项进行配方，加上一次项系数一半的平方，为保证原式值不变，同时要减去这个数；最后整理合并常数项即可得到顶点式，再匹配选项。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -4x +3$用配方法变形：
第一步，处理含$x$的项，凑完全平方：
$y=(x^2 -4x + 4) - 4 + 3$
（注：加4是因为一次项系数-4的一半是-2，平方为4，再减4保证原式值不变）
第二步，整理化简：
$y=(x-2)^2 -1$
对比选项可知对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.配方法
2.二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查配方法的规范应用，是后续学习二次函数图像、最值等性质的必备基础，需要熟练掌握配方步骤。
【难度系数】
0.8
2. 对于抛物线$y=x^2 -2x +3$，下列结论中错误的是（
A.开口向上；
B.顶点坐标为$(1,2)$；
C.对称轴是直线$x=1$；
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
D
）A.开口向上；
B.顶点坐标为$(1,2)$；
C.对称轴是直线$x=1$；
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案
2. D.
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先将一般式配方为顶点式，再结合顶点式的性质逐一判断每个选项的正误：①开口方向由$a$的正负判断；②顶点坐标、对称轴可直接从顶点式中得到；③增减性结合开口方向和对称轴位置判断即可。
【解析】
先将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2$
逐一分析选项：
A. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A选项结论正确，不符合题意；
B. 由顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该抛物线顶点坐标为$(1,2)$，B选项结论正确，不符合题意；
C. 顶点式抛物线的对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线对称轴是直线$x=1$，C选项结论正确，不符合题意；
D. 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而增大，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的顶点与对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，熟练掌握将二次函数一般式转化为顶点式的方法，以及不同开口方向下二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可先将一般式配方为顶点式，再结合顶点式的性质逐一判断每个选项的正误：①开口方向由$a$的正负判断；②顶点坐标、对称轴可直接从顶点式中得到；③增减性结合开口方向和对称轴位置判断即可。
【解析】
先将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2$
逐一分析选项：
A. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A选项结论正确，不符合题意；
B. 由顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该抛物线顶点坐标为$(1,2)$，B选项结论正确，不符合题意；
C. 顶点式抛物线的对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线对称轴是直线$x=1$，C选项结论正确，不符合题意；
D. 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而增大，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的顶点与对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，难度较低，熟练掌握将二次函数一般式转化为顶点式的方法，以及不同开口方向下二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 函数$y=ax+b$和$y=ax^2+bx+c(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的图像可能是（
B
）答案
3. B.
解析
【分析】
本题是同一坐标系下一次函数与二次函数图像的匹配题，解题核心是对照两个函数中共同参数的符号是否一致：第一步先判断参数$a$的符号：二次函数的开口方向由$a$决定，一次函数的斜率（升降趋势）由$a$决定，先排除$a$符号矛盾的选项；第二步再判断参数$b$的符号：结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$和已确定的$a$的符号推出$b$的符号，再对照一次函数与$y$轴交点的纵坐标（即$b$的符号），排除$b$符号矛盾的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
二次函数图像开口向下，可得$a＜0$；一次函数图像呈上升趋势，斜率为正，可得$a＞0$，二者$a$的符号矛盾，排除A。
2. 分析选项B：
二次函数图像开口向上，可得$a＞0$；一次函数图像呈上升趋势，斜率为正，可得$a＞0$，$a$符号一致。
再看$b$的符号：二次函数对称轴在$y$轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＞0$，可推出$b＞0$；一次函数与$y$轴交于正半轴，即$x=0$时$y=b＞0$，二者$b$的符号一致，符合要求。
3. 分析选项C：
二次函数图像开口向上，可得$a＞0$；一次函数图像呈下降趋势，斜率为负，可得$a＜0$，二者$a$的符号矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
二次函数图像开口向下，可得$a＜0$；一次函数图像呈下降趋势，斜率为负，可得$a＜0$，$a$符号一致。
再看$b$的符号：二次函数对称轴在$y$轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＜0$，可推出$b＜0$；一次函数与$y$轴交于正半轴，即$x=0$时$y=b＞0$，二者$b$的符号矛盾，排除D。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图像性质，二次函数图像性质，函数参数与图像关系
【点评】
本题是函数图像判断类的基础题型，解题关键是抓住不同函数共有的参数的符号一致性，按先高次项系数、后其余参数的顺序逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
本题是同一坐标系下一次函数与二次函数图像的匹配题，解题核心是对照两个函数中共同参数的符号是否一致：第一步先判断参数$a$的符号：二次函数的开口方向由$a$决定，一次函数的斜率（升降趋势）由$a$决定，先排除$a$符号矛盾的选项；第二步再判断参数$b$的符号：结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$和已确定的$a$的符号推出$b$的符号，再对照一次函数与$y$轴交点的纵坐标（即$b$的符号），排除$b$符号矛盾的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
二次函数图像开口向下，可得$a＜0$；一次函数图像呈上升趋势，斜率为正，可得$a＞0$，二者$a$的符号矛盾，排除A。
2. 分析选项B：
二次函数图像开口向上，可得$a＞0$；一次函数图像呈上升趋势，斜率为正，可得$a＞0$，$a$符号一致。
再看$b$的符号：二次函数对称轴在$y$轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＞0$，可推出$b＞0$；一次函数与$y$轴交于正半轴，即$x=0$时$y=b＞0$，二者$b$的符号一致，符合要求。
3. 分析选项C：
二次函数图像开口向上，可得$a＞0$；一次函数图像呈下降趋势，斜率为负，可得$a＜0$，二者$a$的符号矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
二次函数图像开口向下，可得$a＜0$；一次函数图像呈下降趋势，斜率为负，可得$a＜0$，$a$符号一致。
再看$b$的符号：二次函数对称轴在$y$轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，已知$a＜0$，可推出$b＜0$；一次函数与$y$轴交于正半轴，即$x=0$时$y=b＞0$，二者$b$的符号矛盾，排除D。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图像性质，二次函数图像性质，函数参数与图像关系
【点评】
本题是函数图像判断类的基础题型，解题关键是抓住不同函数共有的参数的符号一致性，按先高次项系数、后其余参数的顺序逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 抛物线 $ y = -2x^2 + 8x - 8 $ 的开口向
4. 抛物线 $ y = -2x^2 + 8x - 8 $ 的开口向
下
，对称轴是直线$x=2$
，顶点是$(2,0)$
。答案
4. 下；直线$x=2$；$(2,0)$。
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式的基本性质，解题思路如下：1. 先从给定的抛物线解析式中确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值；2. 根据a的正负判断开口方向：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；3. 求对称轴可直接使用公式$x=-\frac{b}{2a}$，也可通过配方法将一般式转化为顶点式得到；4. 求顶点坐标时，可先得到对称轴的x值，代入解析式算出对应的y值，或直接使用顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算。
【解析】
对于抛物线$y = -2x^2 + 8x - 8$，可得$a=-2$，$b=8$，$c=-8$：
1. 开口方向判断：
$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下；
2. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值可得$x=-\frac{8}{2×(-2)}=2$，即对称轴为直线$x=2$；
3. 求顶点坐标：
将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=-2×2^2+8×2-8=-8+16-8=0$，因此顶点坐标为$(2,0)$。
【答案】
下；直线$x=2$；$(2,0)$
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴计算；顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查对二次函数一般式相关性质的掌握，只要牢记对应公式，代入数值时注意符号，就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数一般式的基本性质，解题思路如下：1. 先从给定的抛物线解析式中确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值；2. 根据a的正负判断开口方向：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；3. 求对称轴可直接使用公式$x=-\frac{b}{2a}$，也可通过配方法将一般式转化为顶点式得到；4. 求顶点坐标时，可先得到对称轴的x值，代入解析式算出对应的y值，或直接使用顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算。
【解析】
对于抛物线$y = -2x^2 + 8x - 8$，可得$a=-2$，$b=8$，$c=-8$：
1. 开口方向判断：
$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下；
2. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值可得$x=-\frac{8}{2×(-2)}=2$，即对称轴为直线$x=2$；
3. 求顶点坐标：
将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=-2×2^2+8×2-8=-8+16-8=0$，因此顶点坐标为$(2,0)$。
【答案】
下；直线$x=2$；$(2,0)$
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴计算；顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查对二次函数一般式相关性质的掌握，只要牢记对应公式，代入数值时注意符号，就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
5. 将二次函数$y=-x^2 -2x +3$的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是
$(0,2)$
.答案
5. $(0,2)$。
解析
【分析】
要得到平移后抛物线的顶点坐标，可采用更简便的思路：二次函数平移的本质是顶点的平移，因此先将原二次函数的一般式配方为顶点式，求出原抛物线的顶点坐标，再根据点的平移规律（向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减），直接计算得到平移后的顶点坐标即可。
【解析】
1. 先求原二次函数的顶点坐标：
对$y=-x^2-2x+3$进行配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+1+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$。
2. 按平移规则计算新顶点坐标：
将顶点向右平移1个单位，横坐标变为：$-1+1=0$；
再向下平移2个单位，纵坐标变为：$4-2=2$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图像平移，点的坐标平移
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是理解二次函数平移时仅顶点位置改变，开口方向、形状均不变，熟练掌握平移规则即可快速求解，也可推导平移后的解析式验证结果。
【难度系数】
0.8
要得到平移后抛物线的顶点坐标，可采用更简便的思路：二次函数平移的本质是顶点的平移，因此先将原二次函数的一般式配方为顶点式，求出原抛物线的顶点坐标，再根据点的平移规律（向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减），直接计算得到平移后的顶点坐标即可。
【解析】
1. 先求原二次函数的顶点坐标：
对$y=-x^2-2x+3$进行配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+1+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$。
2. 按平移规则计算新顶点坐标：
将顶点向右平移1个单位，横坐标变为：$-1+1=0$；
再向下平移2个单位，纵坐标变为：$4-2=2$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图像平移，点的坐标平移
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是理解二次函数平移时仅顶点位置改变，开口方向、形状均不变，熟练掌握平移规则即可快速求解，也可推导平移后的解析式验证结果。
【难度系数】
0.8
6. 如果二次函数$y=x^2 -6x -4$的图像经过点$A(-1,y_1)$、$B(4,y_2)$，那么$y_1$
＞
$y_2$.（填“＜”、“＞”或“=”）答案
6. ＞.
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：直接代入计算，将点A、B的横坐标分别代入二次函数解析式，求出$y_1$和$y_2$的具体值后比较大小；思路二：利用二次函数的性质求解，先求出抛物线的对称轴，由$a=1＞0$可知抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，只需比较A、B两点到对称轴的距离即可判断$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-1$代入$y=x^2 -6x -4$，得：
$y_1=(-1)^2 -6×(-1) -4=1+6-4=3$
将$x=4$代入$y=x^2 -6x -4$，得：
$y_2=4^2 -6×4 -4=16-24-4=-12$
∵$3 ＞ -12$
∴$y_1 ＞ y_2$
方法二：性质法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$
本题中$a=1$，$b=-6$，
∴对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×1}=3$
∵$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应函数值越大
点A到对称轴的距离：$\vert -1 -3 \vert =4$
点B到对称轴的距离：$\vert 4 -3 \vert =1$
∵$4＞1$
∴$y_1 ＞ y_2$
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的对称性、增减性判断，两种方法都属于二次函数模块的基础技能，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：直接代入计算，将点A、B的横坐标分别代入二次函数解析式，求出$y_1$和$y_2$的具体值后比较大小；思路二：利用二次函数的性质求解，先求出抛物线的对称轴，由$a=1＞0$可知抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，只需比较A、B两点到对称轴的距离即可判断$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-1$代入$y=x^2 -6x -4$，得：
$y_1=(-1)^2 -6×(-1) -4=1+6-4=3$
将$x=4$代入$y=x^2 -6x -4$，得：
$y_2=4^2 -6×4 -4=16-24-4=-12$
∵$3 ＞ -12$
∴$y_1 ＞ y_2$
方法二：性质法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$
本题中$a=1$，$b=-6$，
∴对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×1}=3$
∵$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应函数值越大
点A到对称轴的距离：$\vert -1 -3 \vert =4$
点B到对称轴的距离：$\vert 4 -3 \vert =1$
∵$4＞1$
∴$y_1 ＞ y_2$
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的对称性、增减性判断，两种方法都属于二次函数模块的基础技能，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
7. 二次函数$y=-x^2+4x-1$的最大值为
3
.答案
7. 3.
解析
【分析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值即为顶点的纵坐标。求解时可选择两种符合学段要求的方法：一是用配方法将一般式转化为顶点式直接读取最值；二是代入顶点纵坐标公式计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-1\\&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2+4-1\\&=-(x-2)^2+3\end{aligned}$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore -(x-2)^2≤0$，
$\therefore$ 当$x=2$时，$y$取得最大值，最大值为3。
方法二（公式法）：
二次函数顶点的纵坐标公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$a=-1$，$b=4$，$c=-1$，代入得：
$\frac{4×(-1)×(-1)-4^2}{4×(-1)}=\frac{4-16}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$
$\because a=-1＜0$，函数开口向下，$\therefore$ 函数最大值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值求法，配方法
【点评】
本题是二次函数性质应用的基础常规题，重点考察对二次函数开口方向和最值关系的理解，熟练掌握配方法或顶点坐标公式就能快速解题。
【难度系数】
0.9
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值即为顶点的纵坐标。求解时可选择两种符合学段要求的方法：一是用配方法将一般式转化为顶点式直接读取最值；二是代入顶点纵坐标公式计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-1\\&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2+4-1\\&=-(x-2)^2+3\end{aligned}$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore -(x-2)^2≤0$，
$\therefore$ 当$x=2$时，$y$取得最大值，最大值为3。
方法二（公式法）：
二次函数顶点的纵坐标公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$a=-1$，$b=4$，$c=-1$，代入得：
$\frac{4×(-1)×(-1)-4^2}{4×(-1)}=\frac{4-16}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$
$\because a=-1＜0$，函数开口向下，$\therefore$ 函数最大值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值求法，配方法
【点评】
本题是二次函数性质应用的基础常规题，重点考察对二次函数开口方向和最值关系的理解，熟练掌握配方法或顶点坐标公式就能快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 若抛物线$y=x^2+mx$的对称轴为直线$x=3$，则$m=$
-6
.答案
8. -6.
解析
【分析】
本题考查二次函数对称轴相关的参数求解，解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式，再从给定的抛物线解析式中找出对应$a$、$b$的取值，最后将已知的对称轴$x=3$代入公式，列一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=x^2+mx$中，$a=1$，$b=m$，已知该抛物线对称轴为直线$x=3$，代入公式可得：
$-\frac{m}{2×1}=3$
解此方程：
$-m=3×2$
$-m=6$
$m=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础题型，核心考察对二次函数对称轴公式的记忆与应用，解题时需注意准确对应二次项、一次项的系数，避免符号错误，属于常规基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数对称轴相关的参数求解，解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式，再从给定的抛物线解析式中找出对应$a$、$b$的取值，最后将已知的对称轴$x=3$代入公式，列一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=x^2+mx$中，$a=1$，$b=m$，已知该抛物线对称轴为直线$x=3$，代入公式可得：
$-\frac{m}{2×1}=3$
解此方程：
$-m=3×2$
$-m=6$
$m=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础题型，核心考察对二次函数对称轴公式的记忆与应用，解题时需注意准确对应二次项、一次项的系数，避免符号错误，属于常规基础得分题。
【难度系数】
0.9
9. 在平面直角坐标系中，将抛物线$y=2x^2+8x+2$先绕原点旋转$180°$，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是
$y=-2x^2+8x-4$
。答案
9. $y=-2x^2+8x-4$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次函数图像变换的规律，优先将原抛物线化为顶点式简化计算：①首先通过配方把原抛物线解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标和二次项系数；②绕原点旋转180°时，抛物线的顶点关于原点对称，开口方向反向（即二次项系数变为原数的相反数），据此写出旋转后的抛物线顶点式；③再根据“上加下减”的平移规律，向下平移2个单位即给函数整体减2，最后整理为一般式即可。
【解析】
第一步：将原抛物线化为顶点式：
$y=2x^2+8x+2=2(x^2+4x)+2=2(x^2+4x+4-4)+2=2(x+2)^2-6$
可得原抛物线顶点坐标为$(-2,-6)$，二次项系数$a=2$。
第二步：求绕原点旋转180°后的抛物线解析式：
绕原点旋转180°后，新顶点与原顶点关于原点对称，即新顶点为$(2,6)$，且开口反向，新的二次项系数$a=-2$，因此旋转后的抛物线解析式为：
$y=-2(x-2)^2+6$
第三步：求向下平移2个单位后的解析式：
根据平移规律“上加下减”，向下平移2个单位后解析式为：
$y=-2(x-2)^2+6-2=-2(x-2)^2+4$
展开整理为一般式：
$y=-2(x^2-4x+4)+4=-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4$
【答案】
$y=-2x^2+8x-4$
【知识点】
二次函数的图像变换；二次函数的顶点式；中心对称的性质
【点评】
本题考查二次函数的图像变换类问题，通过顶点式处理变换比直接用一般式计算更简便，解题时要注意旋转180°既要变换顶点坐标，也要改变二次项系数的符号，熟练掌握平移和旋转的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用二次函数图像变换的规律，优先将原抛物线化为顶点式简化计算：①首先通过配方把原抛物线解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标和二次项系数；②绕原点旋转180°时，抛物线的顶点关于原点对称，开口方向反向（即二次项系数变为原数的相反数），据此写出旋转后的抛物线顶点式；③再根据“上加下减”的平移规律，向下平移2个单位即给函数整体减2，最后整理为一般式即可。
【解析】
第一步：将原抛物线化为顶点式：
$y=2x^2+8x+2=2(x^2+4x)+2=2(x^2+4x+4-4)+2=2(x+2)^2-6$
可得原抛物线顶点坐标为$(-2,-6)$，二次项系数$a=2$。
第二步：求绕原点旋转180°后的抛物线解析式：
绕原点旋转180°后，新顶点与原顶点关于原点对称，即新顶点为$(2,6)$，且开口反向，新的二次项系数$a=-2$，因此旋转后的抛物线解析式为：
$y=-2(x-2)^2+6$
第三步：求向下平移2个单位后的解析式：
根据平移规律“上加下减”，向下平移2个单位后解析式为：
$y=-2(x-2)^2+6-2=-2(x-2)^2+4$
展开整理为一般式：
$y=-2(x^2-4x+4)+4=-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4$
【答案】
$y=-2x^2+8x-4$
【知识点】
二次函数的图像变换；二次函数的顶点式；中心对称的性质
【点评】
本题考查二次函数的图像变换类问题，通过顶点式处理变换比直接用一般式计算更简便，解题时要注意旋转180°既要变换顶点坐标，也要改变二次项系数的符号，熟练掌握平移和旋转的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10 在平面直角坐标系中，P是抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +1$的顶点，Q是抛物线$y=ax^2 -2ax$的顶点。如果$∠ POQ=90°$，那么点Q的坐标是
$(1,\frac{6}{7})$
。答案
10. $(1,\frac{6}{7})$. 提示：点$P(3,-\frac{7}{2})$，点$Q(1,-a)$，$OP^2=\frac{85}{4}$，$OQ^2=1+a^2$，$PQ^2=a^2-7a+\frac{65}{4}$. 由$OP^2+OQ^2=PQ^2$，得$a=-\frac{6}{7}$.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先利用二次函数顶点坐标公式分别求出两个抛物线的顶点P、Q的坐标，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入函数即可求得纵坐标；第二步，因为$∠ POQ=90°$，可知$△ POQ$为直角三角形，满足勾股定理的逆定理，即$OP^2+OQ^2=PQ^2$；第三步，根据平面直角坐标系中两点间距离公式分别计算$OP^2$、$OQ^2$、$PQ^2$，代入等式求解参数$a$，即可得到点Q的坐标。
【解析】
1. 求顶点P的坐标：
对于抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +1$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-3$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2×\frac{1}{2}}=3$，
代入函数得纵坐标：$y=\frac{1}{2}×3^2 -3×3 +1=-\frac{7}{2}$，
即$P(3,-\frac{7}{2})$。
2. 求顶点Q的坐标：
对于抛物线$y=ax^2 -2ax$，其中$a=a$，$b=-2a$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2a}{2a}=1$，
代入函数得纵坐标：$y=a×1^2 -2a×1=-a$，
即$Q(1,-a)$。
3. 利用勾股定理列方程求解$a$：
因为$∠ POQ=90°$，所以$OP^2+OQ^2=PQ^2$。
分别计算各段距离的平方：
$OP^2=3^2+(-\frac{7}{2})^2=9+\frac{49}{4}=\frac{85}{4}$，
$OQ^2=1^2+(-a)^2=1+a^2$，
$PQ^2=(3-1)^2+(-\frac{7}{2}+a)^2=4+(a-\frac{7}{2})^2=a^2-7a+\frac{65}{4}$。
代入等式得：
$\frac{85}{4}+1+a^2=a^2-7a+\frac{65}{4}$
化简消去$a^2$，解得：$7a=-6$，即$a=-\frac{6}{7}$。
4. 求Q点坐标：
Q的纵坐标为$-a=-(-\frac{6}{7})=\frac{6}{7}$，故$Q(1,\frac{6}{7})$。
【答案】
$(1,\frac{6}{7})$
【知识点】
二次函数顶点坐标计算、勾股定理的逆定理、两点间距离公式
【点评】
本题综合考查二次函数的性质与直角三角形的特征，解题核心是先准确求出两个顶点的含参数坐标，再结合直角三角形的勾股关系建立方程求解参数，计算过程中需注意分数运算和符号的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：第一步，先利用二次函数顶点坐标公式分别求出两个抛物线的顶点P、Q的坐标，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入函数即可求得纵坐标；第二步，因为$∠ POQ=90°$，可知$△ POQ$为直角三角形，满足勾股定理的逆定理，即$OP^2+OQ^2=PQ^2$；第三步，根据平面直角坐标系中两点间距离公式分别计算$OP^2$、$OQ^2$、$PQ^2$，代入等式求解参数$a$，即可得到点Q的坐标。
【解析】
1. 求顶点P的坐标：
对于抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +1$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-3$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2×\frac{1}{2}}=3$，
代入函数得纵坐标：$y=\frac{1}{2}×3^2 -3×3 +1=-\frac{7}{2}$，
即$P(3,-\frac{7}{2})$。
2. 求顶点Q的坐标：
对于抛物线$y=ax^2 -2ax$，其中$a=a$，$b=-2a$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2a}{2a}=1$，
代入函数得纵坐标：$y=a×1^2 -2a×1=-a$，
即$Q(1,-a)$。
3. 利用勾股定理列方程求解$a$：
因为$∠ POQ=90°$，所以$OP^2+OQ^2=PQ^2$。
分别计算各段距离的平方：
$OP^2=3^2+(-\frac{7}{2})^2=9+\frac{49}{4}=\frac{85}{4}$，
$OQ^2=1^2+(-a)^2=1+a^2$，
$PQ^2=(3-1)^2+(-\frac{7}{2}+a)^2=4+(a-\frac{7}{2})^2=a^2-7a+\frac{65}{4}$。
代入等式得：
$\frac{85}{4}+1+a^2=a^2-7a+\frac{65}{4}$
化简消去$a^2$，解得：$7a=-6$，即$a=-\frac{6}{7}$。
4. 求Q点坐标：
Q的纵坐标为$-a=-(-\frac{6}{7})=\frac{6}{7}$，故$Q(1,\frac{6}{7})$。
【答案】
$(1,\frac{6}{7})$
【知识点】
二次函数顶点坐标计算、勾股定理的逆定理、两点间距离公式
【点评】
本题综合考查二次函数的性质与直角三角形的特征，解题核心是先准确求出两个顶点的含参数坐标，再结合直角三角形的勾股关系建立方程求解参数，计算过程中需注意分数运算和符号的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.6
