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1.若某圆弧所在圆的半径为 2,弧所对的圆心角为 $120°$,则这条弧长为
$\frac{4}{3}π$
.答案
1.$\frac{4}{3}π$
解析
【分析】
本题考查弧长的计算，解题思路如下：首先回忆角度制下的弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中n为弧所对圆心角的度数，R为圆弧所在圆的半径）；再从题干中提取公式所需的已知量：圆心角n=120°，半径R=2；最后将数值代入公式，约分计算即可得到弧长。
【解析】
解：已知圆弧所在圆的半径$R=2$，弧所对的圆心角$n=120°$，
根据弧长公式：$l=\frac{nπ R}{180}$，
代入数值计算得：
$l=\frac{120× π × 2}{180}=\frac{240π}{180}=\frac{4}{3}π$
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题是弧长相关的基础应用题，仅需熟记弧长公式，准确代入已知条件计算即可得分，计算时注意约分避免出错。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长的计算，解题思路如下：首先回忆角度制下的弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中n为弧所对圆心角的度数，R为圆弧所在圆的半径）；再从题干中提取公式所需的已知量：圆心角n=120°，半径R=2；最后将数值代入公式，约分计算即可得到弧长。
【解析】
解：已知圆弧所在圆的半径$R=2$，弧所对的圆心角$n=120°$，
根据弧长公式：$l=\frac{nπ R}{180}$，
代入数值计算得：
$l=\frac{120× π × 2}{180}=\frac{240π}{180}=\frac{4}{3}π$
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题是弧长相关的基础应用题，仅需熟记弧长公式，准确代入已知条件计算即可得分，计算时注意约分避免出错。
【难度系数】
0.9
2.一个扇形的弧长是$3π$ cm，半径是9 cm，则此扇形的圆心角是
$60°$
.答案
2.$60°$
解析
【分析】
本题要求扇形的圆心角，已知弧长和半径，解题的核心是运用弧长公式。首先回忆弧长公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径），我们只需要将已知的弧长、半径代入公式，建立关于$ n $的方程，求解即可得到圆心角的度数。
【解析】
设该扇形的圆心角为$ n° $，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，已知弧长$ l=3π \, \mathrm{cm} $，半径$ r=9 \, \mathrm{cm} $，代入得：
$ 3π = \frac{nπ × 9}{180} $
两边同时约去$ π $，得：
$ 3 = \frac{9n}{180} $
化简计算：
$ 9n = 3 × 180 $
$ 9n = 540 $
解得$ n=60 $
【答案】
$ 60° $
【知识点】
弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的直接应用，只要熟记弧长公式，代入数值时细心计算即可正确解答，是巩固弧长相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.9
本题要求扇形的圆心角，已知弧长和半径，解题的核心是运用弧长公式。首先回忆弧长公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径），我们只需要将已知的弧长、半径代入公式，建立关于$ n $的方程，求解即可得到圆心角的度数。
【解析】
设该扇形的圆心角为$ n° $，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，已知弧长$ l=3π \, \mathrm{cm} $，半径$ r=9 \, \mathrm{cm} $，代入得：
$ 3π = \frac{nπ × 9}{180} $
两边同时约去$ π $，得：
$ 3 = \frac{9n}{180} $
化简计算：
$ 9n = 3 × 180 $
$ 9n = 540 $
解得$ n=60 $
【答案】
$ 60° $
【知识点】
弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的直接应用，只要熟记弧长公式，代入数值时细心计算即可正确解答，是巩固弧长相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.9
3.若$90°$圆心角所对的弧长是$3π$ cm，则此弧所在圆的半径是
6 cm
。答案
3.6 cm
解析
【分析】
解题的核心是运用弧长公式进行逆向求解。首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$l$是弧长，$n$是圆心角度数，$r$是圆的半径。题目已经给出圆心角$n=90°$、弧长$l=3π\ \mathrm{cm}$两个已知量，只需将已知量代入公式，解关于$r$的一元一次方程即可求出半径。
【解析】
解：设此弧所在圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=3π$、$n=90$代入得：
$3π=\frac{90π r}{180}$
化简得：
$3π=\frac{π r}{2}$
两边同时除以$π$，得：
$3=\frac{r}{2}$
解得：
$r=6$
【答案】
6 cm
【知识点】
弧长计算公式，一元一次方程求解
【点评】
本题是弧长公式的基础应用类题目，难度较低，重点考查对弧长公式的记忆和灵活运用能力，解题时代入数值前可先观察公式特点，优先约掉同类项简化计算，避免出错。
【难度系数】
0.85
解题的核心是运用弧长公式进行逆向求解。首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$l$是弧长，$n$是圆心角度数，$r$是圆的半径。题目已经给出圆心角$n=90°$、弧长$l=3π\ \mathrm{cm}$两个已知量，只需将已知量代入公式，解关于$r$的一元一次方程即可求出半径。
【解析】
解：设此弧所在圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=3π$、$n=90$代入得：
$3π=\frac{90π r}{180}$
化简得：
$3π=\frac{π r}{2}$
两边同时除以$π$，得：
$3=\frac{r}{2}$
解得：
$r=6$
【答案】
6 cm
【知识点】
弧长计算公式，一元一次方程求解
【点评】
本题是弧长公式的基础应用类题目，难度较低，重点考查对弧长公式的记忆和灵活运用能力，解题时代入数值前可先观察公式特点，优先约掉同类项简化计算，避免出错。
【难度系数】
0.85
4.半径为4，圆心角为$90°$的扇形的面积为
$4π$
.答案
4.$4π$
解析
【分析】
要计算扇形的面积，首先回忆扇形面积的计算公式：圆心角为$n°$、半径为$R$的扇形，面积公式为$S=\frac{nπ R^2}{360}$。本题已经直接给出圆心角和半径的数值，只需将对应数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
已知扇形半径$R=4$，圆心角$n=90°$，代入扇形面积公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{nπ R^2}{360}\\&=\frac{90×π×4^2}{360}\\&=\frac{90×π×16}{360}\\&=4π\end{aligned}$
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积的计算
【点评】
本题是基础题型，考查扇形面积公式的直接应用，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算扇形的面积，首先回忆扇形面积的计算公式：圆心角为$n°$、半径为$R$的扇形，面积公式为$S=\frac{nπ R^2}{360}$。本题已经直接给出圆心角和半径的数值，只需将对应数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
已知扇形半径$R=4$，圆心角$n=90°$，代入扇形面积公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{nπ R^2}{360}\\&=\frac{90×π×4^2}{360}\\&=\frac{90×π×16}{360}\\&=4π\end{aligned}$
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积的计算
【点评】
本题是基础题型，考查扇形面积公式的直接应用，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5.扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{2}{3}$，这个扇形的圆心角的大小是
$240°$
。答案
5.$240°$
解析
【分析】
解题思路：同圆中扇形和所在圆的半径相等，结合扇形面积公式与圆的面积公式，将两个面积作比后，半径相关的项会抵消，可得出扇形面积占圆面积的比例等于扇形圆心角占周角（360°）的比例。因此只需用360°乘以题目给出的面积占比$\frac{2}{3}$，即可算出扇形的圆心角度数。
【解析】
解：设扇形的圆心角为$n$，圆的半径为$r$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得：
$\frac{S_{扇形}}{S_{圆}}=\frac{\frac{nπ r^2}{360}}{π r^2}=\frac{n}{360}$
已知$\frac{S_{扇形}}{S_{圆}}=\frac{2}{3}$，代入上式得：
$\frac{n}{360°}=\frac{2}{3}$
解得$n=360°×\frac{2}{3}=240°$
【答案】
$240°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同圆内扇形面积占比和圆心角占比的对应关系，计算量小，掌握扇形面积公式和比例运算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路：同圆中扇形和所在圆的半径相等，结合扇形面积公式与圆的面积公式，将两个面积作比后，半径相关的项会抵消，可得出扇形面积占圆面积的比例等于扇形圆心角占周角（360°）的比例。因此只需用360°乘以题目给出的面积占比$\frac{2}{3}$，即可算出扇形的圆心角度数。
【解析】
解：设扇形的圆心角为$n$，圆的半径为$r$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得：
$\frac{S_{扇形}}{S_{圆}}=\frac{\frac{nπ r^2}{360}}{π r^2}=\frac{n}{360}$
已知$\frac{S_{扇形}}{S_{圆}}=\frac{2}{3}$，代入上式得：
$\frac{n}{360°}=\frac{2}{3}$
解得$n=360°×\frac{2}{3}=240°$
【答案】
$240°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同圆内扇形面积占比和圆心角占比的对应关系，计算量小，掌握扇形面积公式和比例运算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6.如图，$m$，$l_1$，$l_2$为直线，$l_1 // l_2$，$m$分别交$l_1$，$l_2$于点$A$，$B$，以$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，分别交$l_2$，$l_1$于$m$同侧的点$C$，$D$。若$∠ ADB = 35°$，$AB = 9$，则$\overset{\frown}{CD}$的长等于________。
答案
6.$\frac{7}{2}π$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，因此需要先确定弧所在圆的半径$R$和弧对应的圆心角度数$n$：首先由作图可知圆的半径$R=AB=9$；再结合平行线性质得到圆周角$∠ CBD$的度数，根据圆周角定理推出弧$CD$对应的圆心角$∠ CAD$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because$以$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，
$\therefore AB=AC=AD=9$，即圆$A$的半径$R=9$，且点$B$在圆$A$上。
$\because l_1// l_2$，$∠ ADB=35°$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ADB=35°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ CBD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ CAD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ CAD=2∠ CBD=2×35°=70°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
根据弧长公式可得：
$\overset{\frown}{CD}=\frac{nπ R}{180}=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$
【答案】
$\frac{7}{2}π$
【知识点】
弧长的计算；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合平行线性质和圆周角定理准确求出弧对应的圆心角度数，牢记弧长计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，因此需要先确定弧所在圆的半径$R$和弧对应的圆心角度数$n$：首先由作图可知圆的半径$R=AB=9$；再结合平行线性质得到圆周角$∠ CBD$的度数，根据圆周角定理推出弧$CD$对应的圆心角$∠ CAD$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because$以$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，
$\therefore AB=AC=AD=9$，即圆$A$的半径$R=9$，且点$B$在圆$A$上。
$\because l_1// l_2$，$∠ ADB=35°$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ADB=35°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ CBD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ CAD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ CAD=2∠ CBD=2×35°=70°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
根据弧长公式可得：
$\overset{\frown}{CD}=\frac{nπ R}{180}=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$
【答案】
$\frac{7}{2}π$
【知识点】
弧长的计算；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合平行线性质和圆周角定理准确求出弧对应的圆心角度数，牢记弧长计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
7.如图，矩形ABCD内接于$\odot O$，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆.若$AB=4$，$BC=5$，则阴影部分的面积是
20
.答案
7.20
解析
【分析】
本题属于不规则阴影面积计算问题，可采用容斥原理求解：观察图形可知，阴影部分的面积等于4个以矩形各边为直径的半圆面积之和，加上矩形ABCD的面积，再减去矩形外接圆⊙O的面积。我们只需要分别计算出各规则图形的面积，再作和差即可化简得到结果。
【解析】
解：
1. 计算4个半圆的总面积：
以AB、CD为直径的半圆半径$r_1=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$，2个该类半圆的面积和为：$2×\frac{1}{2}π r_1^2=π×2^2=4π$；
以AD、BC为直径的半圆半径$r_2=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$，2个该类半圆的面积和为：$2×\frac{1}{2}π r_2^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{4}$；
因此4个半圆的总面积$S_1=4π+\frac{25π}{4}=\frac{41π}{4}$。
2. 计算矩形ABCD的面积：
$S_{矩形}=AB× BC=4×5=20$。
3. 计算⊙O的面积：
⊙O的直径为矩形的对角线AC，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$，因此⊙O的半径$R=\frac{\sqrt{41}}{2}$，面积$S_{\odot O}=π R^2=π×(\frac{\sqrt{41}}{2})^2=\frac{41π}{4}$。
4. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_1 + S_{矩形} - S_{\odot O}=\frac{41π}{4}+20-\frac{41π}{4}=20$。
【答案】
20
【知识点】
阴影面积计算、圆的面积公式、勾股定理
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是利用容斥原理将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差，解题的关键是发现四个小半圆的总面积等于矩形外接圆的面积，可直接抵消π相关项，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
本题属于不规则阴影面积计算问题，可采用容斥原理求解：观察图形可知，阴影部分的面积等于4个以矩形各边为直径的半圆面积之和，加上矩形ABCD的面积，再减去矩形外接圆⊙O的面积。我们只需要分别计算出各规则图形的面积，再作和差即可化简得到结果。
【解析】
解：
1. 计算4个半圆的总面积：
以AB、CD为直径的半圆半径$r_1=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$，2个该类半圆的面积和为：$2×\frac{1}{2}π r_1^2=π×2^2=4π$；
以AD、BC为直径的半圆半径$r_2=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$，2个该类半圆的面积和为：$2×\frac{1}{2}π r_2^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{4}$；
因此4个半圆的总面积$S_1=4π+\frac{25π}{4}=\frac{41π}{4}$。
2. 计算矩形ABCD的面积：
$S_{矩形}=AB× BC=4×5=20$。
3. 计算⊙O的面积：
⊙O的直径为矩形的对角线AC，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$，因此⊙O的半径$R=\frac{\sqrt{41}}{2}$，面积$S_{\odot O}=π R^2=π×(\frac{\sqrt{41}}{2})^2=\frac{41π}{4}$。
4. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_1 + S_{矩形} - S_{\odot O}=\frac{41π}{4}+20-\frac{41π}{4}=20$。
【答案】
20
【知识点】
阴影面积计算、圆的面积公式、勾股定理
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是利用容斥原理将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差，解题的关键是发现四个小半圆的总面积等于矩形外接圆的面积，可直接抵消π相关项，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
8.如图，现有一块直径为10 cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为$90°$的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为
$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
8.$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可通过割补法转化为规则图形面积的差计算，即阴影面积=整个圆的面积 - 扇形BAC的面积。解题思路如下：1. 先根据圆的直径求出整圆的面积；2. 利用直径所对圆周角为直角的性质，确定△ABC是等腰直角三角形，结合勾股定理求出扇形BAC的半径的平方；3. 代入扇形面积公式求出扇形BAC的面积；4. 用整圆面积减去扇形面积得到最终阴影面积。
【解析】
解：已知圆形玉料的直径为10 cm，因此圆的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，整圆的面积为：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×5^2=25π\ (\mathrm{cm}^2)$
因为BC是圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故$∠ BAC=90°$，且AB=AC，$△ ABC$为等腰直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入$AB=AC$、$BC=10\ \mathrm{cm}$，得$2AB^2=10^2$，解得$AB^2=50$。
扇形BAC的圆心角为$90°$，半径为AB，其面积为：
$S_{\mathrm{扇形}BAC}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π×50}{360}=\frac{25π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}BAC}=25π-\frac{25π}{2}=\frac{25π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于不规则图形面积计算类基础题，核心解题思路是将不规则阴影面积转化为规则的圆与扇形的面积差，计算时可直接代入$AB^2=50$简化运算，无需算出AB的具体长度。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可通过割补法转化为规则图形面积的差计算，即阴影面积=整个圆的面积 - 扇形BAC的面积。解题思路如下：1. 先根据圆的直径求出整圆的面积；2. 利用直径所对圆周角为直角的性质，确定△ABC是等腰直角三角形，结合勾股定理求出扇形BAC的半径的平方；3. 代入扇形面积公式求出扇形BAC的面积；4. 用整圆面积减去扇形面积得到最终阴影面积。
【解析】
解：已知圆形玉料的直径为10 cm，因此圆的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，整圆的面积为：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×5^2=25π\ (\mathrm{cm}^2)$
因为BC是圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故$∠ BAC=90°$，且AB=AC，$△ ABC$为等腰直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入$AB=AC$、$BC=10\ \mathrm{cm}$，得$2AB^2=10^2$，解得$AB^2=50$。
扇形BAC的圆心角为$90°$，半径为AB，其面积为：
$S_{\mathrm{扇形}BAC}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π×50}{360}=\frac{25π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}BAC}=25π-\frac{25π}{2}=\frac{25π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{25π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于不规则图形面积计算类基础题，核心解题思路是将不规则阴影面积转化为规则的圆与扇形的面积差，计算时可直接代入$AB^2=50$简化运算，无需算出AB的具体长度。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，连接BC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，若$AB=2$，则$\overset{\frown}{CD}$的长是
$\frac{\sqrt{2}π}{4}$
。答案
9.$\frac{\sqrt{2}π}{4}$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需结合弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$求解，因此要先确定$\overset{\frown}{CD}$所在圆的半径$r$和对应的圆心角$n$的度数。首先根据半圆直径与等弧的性质，判断$△ COB$为等腰直角三角形，可求出$BC$的长度（即$\overset{\frown}{CD}$的半径），再推导得到$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
连接$OC$：
1. 已知$AB$为半圆$O$的直径，$AB=2$，因此半圆的半径$OB=OC=1$，直径对应的平角$∠ AOB=180°$。
又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，等弧对应相等的圆心角，因此$∠ COB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
2. 在$Rt△ COB$中，$OC=OB=1$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，同时可得底角$∠ CBD=∠ CBO=45°$。
3. $\overset{\frown}{CD}$是以$B$为圆心、$BC$为半径的弧，因此半径$r=BC=\sqrt{2}$，圆心角$n=45°$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{45×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}π}{4}$
【知识点】
弧长计算；圆的基本性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是明确弧长公式的两个必要条件，结合圆的性质和勾股定理求出对应圆心角和半径即可得到结果，重点考查对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需结合弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$求解，因此要先确定$\overset{\frown}{CD}$所在圆的半径$r$和对应的圆心角$n$的度数。首先根据半圆直径与等弧的性质，判断$△ COB$为等腰直角三角形，可求出$BC$的长度（即$\overset{\frown}{CD}$的半径），再推导得到$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
连接$OC$：
1. 已知$AB$为半圆$O$的直径，$AB=2$，因此半圆的半径$OB=OC=1$，直径对应的平角$∠ AOB=180°$。
又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，等弧对应相等的圆心角，因此$∠ COB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
2. 在$Rt△ COB$中，$OC=OB=1$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，同时可得底角$∠ CBD=∠ CBO=45°$。
3. $\overset{\frown}{CD}$是以$B$为圆心、$BC$为半径的弧，因此半径$r=BC=\sqrt{2}$，圆心角$n=45°$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{45×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}π}{4}$
【知识点】
弧长计算；圆的基本性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是明确弧长公式的两个必要条件，结合圆的性质和勾股定理求出对应圆心角和半径即可得到结果，重点考查对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是$\overset{\frown}{AB}$上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分的面积为
$\frac{25π}{8}$
。答案
10.$\frac{25π}{8}$
解析
【分析】
首先观察图形特征：已知∠AOB=90°，CD⊥OA、CE⊥OB，可先判定四边形ODCE的形状；结合CD=CE的条件，可知该四边形是正方形，由此可得OC平分∠AOB，即∠COB=45°。再看阴影部分是不规则图形，可利用割补法转化：正方形中△DCE和△OCE面积相等，因此阴影部分的面积可转化为圆心角为45°的扇形BOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC
∵ ∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB
∴ 四边形ODCE是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）
又
∵ CD=CE
∴ 矩形ODCE是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
∴ OC平分∠AOB，即$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，且$S_{△ DCE}=S_{△ OCE}$（正方形对角线分得的三角形面积相等）
∴ 阴影部分面积 = $S_{△ DCE} + (S_{扇形BOC} - S_{△ OCE}) = S_{扇形BOC}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中$n=45$，$r=5$
代入得：$S_{阴影}=\frac{45×π×5^2}{360}=\frac{25π}{8}$
【答案】
$\frac{25π}{8}$
【知识点】
正方形的判定与性质、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，解题核心是利用正方形的性质将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，熟练掌握转化思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征：已知∠AOB=90°，CD⊥OA、CE⊥OB，可先判定四边形ODCE的形状；结合CD=CE的条件，可知该四边形是正方形，由此可得OC平分∠AOB，即∠COB=45°。再看阴影部分是不规则图形，可利用割补法转化：正方形中△DCE和△OCE面积相等，因此阴影部分的面积可转化为圆心角为45°的扇形BOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC
∵ ∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB
∴ 四边形ODCE是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）
又
∵ CD=CE
∴ 矩形ODCE是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
∴ OC平分∠AOB，即$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，且$S_{△ DCE}=S_{△ OCE}$（正方形对角线分得的三角形面积相等）
∴ 阴影部分面积 = $S_{△ DCE} + (S_{扇形BOC} - S_{△ OCE}) = S_{扇形BOC}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中$n=45$，$r=5$
代入得：$S_{阴影}=\frac{45×π×5^2}{360}=\frac{25π}{8}$
【答案】
$\frac{25π}{8}$
【知识点】
正方形的判定与性质、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，解题核心是利用正方形的性质将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，熟练掌握转化思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
