1. 小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（$\quad$）。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{2}{9}$

B

【分析】
要计算两人恰好选到同一处的概率，首先明确这是两步独立的等可能选择问题，解题思路为：第一步，用列表法或树状图法枚举所有等可能的结果，确定总结果数；第二步，找出“两人选到同一处”的符合条件的结果数；第三步，根据等可能事件的概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算概率即可。
【解析】
通过列表法列举所有可能的选择结果：
| 小刚\小强 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可知，所有等可能的结果共有9种，其中两人恰好选到同一处的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式可得，两人恰好选到同一处的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是掌握用列表或树状图不重不漏地枚举所有等可能结果，再结合概率公式求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 从6,7,8,9四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是().

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

C

【分析】
解决本题需按照等可能事件概率的求解思路逐步推导：首先回忆概率计算公式为“所求事件发生的情况数÷所有等可能的总情况数”；其次明确两个数之和为奇数的条件是“一个奇数加一个偶数”，以此确定符合条件的选法特征；再分别统计总选法数、符合要求的选法数，最后代入公式计算即可。
【解析】
首先对四个数字分类：偶数有6、8，共2个；奇数有7、9，共2个。
1. 统计总情况数：从4个数字中任选2个，不考虑顺序，所有等可能的组合为：(6,7)、(6,8)、(6,9)、(7,8)、(7,9)、(8,9)，共6种。
2. 统计和为奇数的情况数：根据“奇+偶=奇”的性质，需选1个奇数和1个偶数，符合条件的组合为：(6,7)、(6,9)、(8,7)、(8,9)，共4种。
3. 计算概率：$P(\mathrm{两数之和为奇数})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，奇偶性运算性质，枚举法计数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是先通过奇偶运算性质筛选出符合要求的选法特征，再准确计数避免重复或遗漏，即可快速算出结果。
【难度系数】
0.7

3. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同.小君同学从袋中任意摸出1个球(不放回)后，小静同学再从袋中任意摸出1个球.两人都摸到红球的概率是().

A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{2}{25}$
C.$\frac{4}{25}$
D.$\frac{2}{5}$

A

【分析】
这是一道不放回的两步概率计算问题，解题思路如下：首先明确试验为“不放回摸球”，即第一次摸球后总球数和对应颜色的球数都会减少1个；可以用两种方法求解：方法一是分步计算两次摸出红球的概率，再根据分步乘法规则求总概率；方法二是先算出所有等可能的结果总数，再算出两人都摸到红球的结果数，用二者的比值求概率。
【解析】
解法1：分步概率计算
袋子中原有球总个数：$2+3=5$个
1. 小君先从袋中摸球，摸到红球的概率为：$\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{5}$
2. 小君摸出红球后不放回，此时袋中剩余总球数为$5-1=4$个，剩余红球个数为$2-1=1$个，因此小静摸到红球的概率为$\frac{1}{4}$
3. 两人都摸到红球的概率为两次概率的乘积：$\frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$
解法2：列举法计算
所有等可能的摸球结果总数：第一次摸球有5种可能，不放回后第二次摸球有4种可能，共$5×4=20$种
两人都摸到红球的符合结果数：第一次摸红球有2种可能，第二次摸剩余红球有1种可能，共$2×1=2$种
因此两人都摸到红球的概率为：$\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
【答案】
A
【知识点】
不放回概率计算；分步计数原理；等可能事件概率
【点评】
本题考查等可能情形下的概率计算，解题核心是注意“不放回”的限制条件，避免误按放回试验计算，掌握分步求概率的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.6

二、填空题
4. 投掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 .

解：
投掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种。
其中朝上一面点数之和为7的结果有：$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共6种。
因此所求概率$P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$。

【分析】
这是等可能情形下的概率计算问题，解题遵循古典概型的逻辑：首先要明确所有等可能的总结果数，投掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子有6种等可能的点数，因此总结果数为两枚骰子的点数结果数相乘；其次用列举法找出“朝上一面点数之和为7”的所有符合条件的结果，注意两枚骰子的点数是有序的，避免漏算或重复计算；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”代入计算即可。
【解析】
投掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能的结果共有$6×6=36$种。
其中朝上一面点数之和为7的结果有：$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共6种。
因此所求概率$P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 列举法计数
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，重点考查概率计算的基本方法，解题时要注意区分有序事件和无序事件，避免因漏算、多算符合条件的事件数出现错误。
【难度系数】
0.7

5. 在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P(x，y)落在直线$y=-x+5$上的概率是。

解：
所有等可能出现的点P(x,y)的结果共有16种，分别为：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)。
其中满足$y=-x+5$的点有$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$，共4种。
因此所求概率$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。

【分析】
解决本题的思路分为三步：第一步，明确试验为有放回的两次摸球，每次摸球都有4种等可能结果，因此总共有4×4=16种等可能的点P的坐标结果；第二步，若点P在直线y=-x+5上，则坐标需满足解析式，即x+y=5，从所有坐标中筛选出符合该条件的点；第三步，根据等可能事件的概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
由题意可知，两次摸球为放回试验，所有等可能出现的点P(x,y)的结果共有4×4=16种，分别为：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)。
将各点代入直线解析式y=-x+5验证，满足条件的点有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 列表法求概率
【点评】
本题是概率与一次函数的综合基础题，解题的关键是正确列举出所有等可能的结果，注意放回试验中两次抽取的数字可以重复，再结合一次函数解析式的特征筛选出符合条件的点，代入概率公式即可求解。
【难度系数】
0.7

6. 甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”的游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打；若三人手势相同，则重来。那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲先打乒乓球的概率是。

$\dfrac{1}{2}$

【分析】
要计算一次“手心手背”游戏能决定甲先打的概率，首先需要明确三个人出示手势的所有等可能结果，再找出其中满足“甲先打”的结果数，最后根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算即可。思考时可以用列举法列出所有手势组合，避免遗漏或重复。
【解析】
用“手心”“手背”分别表示两种手势，三个人（甲、乙、丙）的手势组合共有以下8种等可能的结果：
（手心，手心，手心）、（手心，手心，手背）、（手心，手背，手心）、（手心，手背，手背）、（手背，手心，手心）、（手背，手心，手背）、（手背，手背，手心）、（手背，手背，手背）。
根据规则，“能决定甲先打”的情况为：只有两人手势相同，且甲属于手势相同的两人。符合条件的结果有：（手心，手心，手背）、（手心，手背，手心）、（手背，手心，手背）、（手背，手背，手心），共4种。
因此所求概率为$P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题核心是准确列举所有等可能结果，结合规则筛选符合条件的结果后代入公式求解即可，解题时注意不要忽略三人手势相同的情况，避免算错总结果数。
【难度系数】
0.6

三、解答题
7. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2,5,6,8.将这四张牌背面朝上，洗匀.
（1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回洗匀.然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌面数字比小明的大的概率.

解：
（1）四张牌的牌面数字中，偶数为2、6、8，共3个。
从4张牌中随机抽1张共有4种等可能的结果，因此抽到偶数的概率为$\frac{3}{4}$。
（2）根据题意列表如下：
| 小明\小华 | 2 | 5 | 6 | 8 |
|-----------|-----|-----|-----|-----|
| 2 | (2,2) | (2,5) | (2,6) | (2,8) |
| 5 | (5,2) | (5,5) | (5,6) | (5,8) |
| 6 | (6,2) | (6,5) | (6,6) | (6,8) |
| 8 | (8,2) | (8,5) | (8,6) | (8,8) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中小华抽出的牌面数字比小明大的结果有6种，分别为(2,5)、(2,6)、(2,8)、(5,6)、(5,8)、(6,8)。
因此所求概率为$P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。

【分析】
（1）第一问属于简单概率计算问题，解题思路为：先确定随机抽1张牌的总等可能结果数，再统计牌面数字为偶数的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
（2）第二问是放回型的两步随机试验，解题思路为：由于两次抽牌相互独立，可通过列表法完整枚举所有等可能的结果，再从中筛选出“小华抽出的牌面数字比小明大”的结果，最后代入概率公式计算所求概率。
【解析】
（1）四张牌的牌面数字分别为2、5、6、8，其中偶数为2、6、8，共3个。从4张牌中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，因此抽到牌面数字是偶数的概率为$\frac{3}{4}$。
（2）该抽牌试验为放回抽取，两人抽牌结果相互独立，列表枚举所有结果如下：
| 小明\小华 | 2 | 5 | 6 | 8 |
|-----------|-----|-----|-----|-----|
| 2 | (2,2) | (2,5) | (2,6) | (2,8) |
| 5 | (5,2) | (5,5) | (5,6) | (5,8) |
| 6 | (6,2) | (6,5) | (6,6) | (6,8) |
| 8 | (8,2) | (8,5) | (8,6) | (8,8) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中小华抽出的牌面数字比小明大的结果有6种，分别为(2,5)、(2,6)、(2,8)、(5,6)、(5,8)、(6,8)。
因此所求概率为$P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
【答案】
（1）$\boxed{\dfrac{3}{4}}$；（2）$\boxed{\dfrac{3}{8}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，放回型试验概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查简单概率的计算，第二问考查用列表法求解两步放回试验的概率，解题的核心是准确枚举所有等可能结果，避免漏数或错数符合条件的情况。
【难度系数】
0.8