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一、选择题(每小题5分,共40分)
1. $\frac{\sqrt{3}}{2}$是一个 （
A.有理数
B.分数
C.无理数
D.整数
1. $\frac{\sqrt{3}}{2}$是一个 （
C
）A.有理数
B.分数
C.无理数
D.整数
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数、无理数、分数、整数的定义，先回忆实数的分类：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，有理数都可以写成两个整数的比（分母不为0）的形式，无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数的方根、含π的数等。接下来判断√3的属性：√3是开方开不尽的数，属于无理数，因此√3除以2仍然是无限不循环小数，再逐一核对选项排除错误答案即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 有理数：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以表示为$\frac{m}{n}$的形式（其中$m、n$为整数，$n≠0$），是有限小数或无限循环小数；
2. 无理数：无限不循环小数叫做无理数，开方开不尽的数的方根属于常见的无理数类型。
接下来分析$\frac{\sqrt{3}}{2}$：
$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$仍然是无限不循环小数，属于无理数。
逐一排除错误选项：
A选项：$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无限不循环小数，不属于有理数，错误；
B选项：分数属于有理数，且分子分母均为整数，$\sqrt{3}$不是整数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$不是分数，错误；
D选项：整数是正整数、0、负整数的统称，$\frac{\sqrt{3}}{2}$显然不属于整数，错误。
由分析可知，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 实数的分类
3. 有理数的定义
【点评】
本题考查实数分类相关概念的辨析，解题核心是区分有理数和无理数的本质属性，要注意分数属于有理数，不能仅根据形式上有分数线就判定为分数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确有理数、无理数、分数、整数的定义，先回忆实数的分类：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，有理数都可以写成两个整数的比（分母不为0）的形式，无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数的方根、含π的数等。接下来判断√3的属性：√3是开方开不尽的数，属于无理数，因此√3除以2仍然是无限不循环小数，再逐一核对选项排除错误答案即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 有理数：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以表示为$\frac{m}{n}$的形式（其中$m、n$为整数，$n≠0$），是有限小数或无限循环小数；
2. 无理数：无限不循环小数叫做无理数，开方开不尽的数的方根属于常见的无理数类型。
接下来分析$\frac{\sqrt{3}}{2}$：
$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$仍然是无限不循环小数，属于无理数。
逐一排除错误选项：
A选项：$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无限不循环小数，不属于有理数，错误；
B选项：分数属于有理数，且分子分母均为整数，$\sqrt{3}$不是整数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$不是分数，错误；
D选项：整数是正整数、0、负整数的统称，$\frac{\sqrt{3}}{2}$显然不属于整数，错误。
由分析可知，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 实数的分类
3. 有理数的定义
【点评】
本题考查实数分类相关概念的辨析，解题核心是区分有理数和无理数的本质属性，要注意分数属于有理数，不能仅根据形式上有分数线就判定为分数。
【难度系数】
0.8
2. 已知$|x|=\sqrt{7}$，则$x$的值为 （
A.7
B.$-\sqrt{7}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\pm\sqrt{7}$
D
）A.7
B.$-\sqrt{7}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\pm\sqrt{7}$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先回忆绝对值的定义：一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离。已知|x|=√7，说明数轴上到原点距离为√7的点对应的数就是x，到原点距离相等的点有两个，分别在原点两侧、互为相反数，因此我们只要找到和√7互为相反数的数，就能得到x的全部取值。
【解析】
根据绝对值的性质：若a＞0，则满足|x|=a的x有两个值，分别为a和-a，二者互为相反数。
本题中|x|=√7，其中√7＞0，因此x=√7或x=-√7，即x=±√7，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 相反数的定义
【点评】
本题是基础题，主要考查绝对值的基本性质，易错点是容易忽略负数的情况，只选择正的√7，做题时要牢记绝对值为正数的数有正负两个解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆绝对值的定义：一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离。已知|x|=√7，说明数轴上到原点距离为√7的点对应的数就是x，到原点距离相等的点有两个，分别在原点两侧、互为相反数，因此我们只要找到和√7互为相反数的数，就能得到x的全部取值。
【解析】
根据绝对值的性质：若a＞0，则满足|x|=a的x有两个值，分别为a和-a，二者互为相反数。
本题中|x|=√7，其中√7＞0，因此x=√7或x=-√7，即x=±√7，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 相反数的定义
【点评】
本题是基础题，主要考查绝对值的基本性质，易错点是容易忽略负数的情况，只选择正的√7，做题时要牢记绝对值为正数的数有正负两个解。
【难度系数】
0.9
3. 下列运算正确的是 （
A.$-\sqrt{9}=3$
B.$\sqrt[3]{27}=-3$
C.$(-4)^2=16$
D.$-|-5|=5$
C
）A.$-\sqrt{9}=3$
B.$\sqrt[3]{27}=-3$
C.$(-4)^2=16$
D.$-|-5|=5$
答案
3. C
解析
【分析】
这道题考查代数基础运算的正误判断，解题时需要逐一计算每个选项的运算结果，再和选项给出的结果对比，选出运算正确的选项即可，计算过程中要重点注意各类运算的符号规则，避免符号判断出错。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：先算$\sqrt{9}=3$，因此$-\sqrt{9}=-3$，和选项给出的3不符，运算错误；
B选项：因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$，和选项给出的-3不符，运算错误；
C选项：$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，和选项结果一致，运算正确；
D选项：先算$|-5|=5$，因此$-|-5|=-5$，和选项给出的5不符，运算错误。
综上只有C选项运算正确。
【答案】
C
【知识点】
开方运算；有理数乘方；绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对常见代数运算规则的掌握，只要熟练掌握运算中的符号判定规则，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查代数基础运算的正误判断，解题时需要逐一计算每个选项的运算结果，再和选项给出的结果对比，选出运算正确的选项即可，计算过程中要重点注意各类运算的符号规则，避免符号判断出错。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：先算$\sqrt{9}=3$，因此$-\sqrt{9}=-3$，和选项给出的3不符，运算错误；
B选项：因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$，和选项给出的-3不符，运算错误；
C选项：$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，和选项结果一致，运算正确；
D选项：先算$|-5|=5$，因此$-|-5|=-5$，和选项给出的5不符，运算错误。
综上只有C选项运算正确。
【答案】
C
【知识点】
开方运算；有理数乘方；绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对常见代数运算规则的掌握，只要熟练掌握运算中的符号判定规则，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
4. 如图，数轴上点P表示的数可能是（
A.$\sqrt{7}$
B.$-\sqrt{7}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{10}$
B
）A.$\sqrt{7}$
B.$-\sqrt{7}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{10}$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定点P的取值范围是-3到-2之间；接下来先排除正数选项，再对剩余的负无理数进行估算：先计算相邻整数的平方，根据被开方数的大小判断无理数的范围，逐一筛选出符合P所在范围的选项即可。
【解析】
第一步：由数轴可知，点P表示的数在-3和-2之间，即$\boldsymbol{-3 ＜ P ＜ -2}$。
第二步：逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{7}$是正数，不在负数区间$-3∼-2$内，排除；
选项B：因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同乘$-1$得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，符合P的范围；
选项C：因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式两边同乘$-1$得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，不在$-3∼-2$区间内，排除；
选项D：因为$3^2=9$，$10＞9$，所以$\sqrt{10}＞3$，不等式两边同乘$-1$得$-\sqrt{10}＜-3$，不在$-3∼-2$区间内，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识，无理数的估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题考查数轴和无理数估算的结合应用，解题的关键是先确定待求数的取值范围，再通过平方数估算无理数的大小，是基础类题型，掌握无理数估算的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴，确定点P的取值范围是-3到-2之间；接下来先排除正数选项，再对剩余的负无理数进行估算：先计算相邻整数的平方，根据被开方数的大小判断无理数的范围，逐一筛选出符合P所在范围的选项即可。
【解析】
第一步：由数轴可知，点P表示的数在-3和-2之间，即$\boldsymbol{-3 ＜ P ＜ -2}$。
第二步：逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{7}$是正数，不在负数区间$-3∼-2$内，排除；
选项B：因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同乘$-1$得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，符合P的范围；
选项C：因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式两边同乘$-1$得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，不在$-3∼-2$区间内，排除；
选项D：因为$3^2=9$，$10＞9$，所以$\sqrt{10}＞3$，不等式两边同乘$-1$得$-\sqrt{10}＜-3$，不在$-3∼-2$区间内，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识，无理数的估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题考查数轴和无理数估算的结合应用，解题的关键是先确定待求数的取值范围，再通过平方数估算无理数的大小，是基础类题型，掌握无理数估算的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 下列关于$-\sqrt{8}$的叙述中，正确的是（
A.在数轴上不存在表示$-\sqrt{8}$的点
B.$-\sqrt{8}=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
C.$-\sqrt{8}=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
D.与$-\sqrt{8}$最接近的整数是$-3$
D
）A.在数轴上不存在表示$-\sqrt{8}$的点
B.$-\sqrt{8}=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
C.$-\sqrt{8}=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
D.与$-\sqrt{8}$最接近的整数是$-3$
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查实数的相关性质，解题时可逐个分析选项：首先根据实数与数轴的一一对应关系判断选项A；再通过化简或估算二次根式的近似值，对比等号左右两边的数值判断选项B、C；最后通过估算$-\sqrt{8}$的大小，计算它和相邻整数的距离判断选项D。
【解析】
先化简并估算$-\sqrt{8}$的值：$-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}\approx-2×1.414=-2.828$。
选项A：实数与数轴上的点是一一对应的，$-\sqrt{8}$是实数，因此数轴上存在表示$-\sqrt{8}$的点，A错误。
选项B：计算右边$\sqrt{2}-\sqrt{6}\approx1.414-2.449\approx-1.035$，和$-2.828$不相等，B错误。
选项C：计算右边$-\sqrt{2}-\sqrt{6}\approx-1.414-2.449\approx-3.863$，和$-2.828$不相等，C错误。
选项D：$-\sqrt{8}\approx-2.828$，它与-2的距离为$\vert-2.828 - (-2)\vert=0.828$，与-3的距离为$\vert-2.828 - (-3)\vert=0.172$，因为$0.172＜0.828$，所以与$-\sqrt{8}$最接近的整数是-3，D正确。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的对应关系；无理数的估算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础类题型，综合考查了实数模块的基础知识点，解题时只需逐一验证每个选项，掌握无理数的估算方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
本题考查实数的相关性质，解题时可逐个分析选项：首先根据实数与数轴的一一对应关系判断选项A；再通过化简或估算二次根式的近似值，对比等号左右两边的数值判断选项B、C；最后通过估算$-\sqrt{8}$的大小，计算它和相邻整数的距离判断选项D。
【解析】
先化简并估算$-\sqrt{8}$的值：$-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}\approx-2×1.414=-2.828$。
选项A：实数与数轴上的点是一一对应的，$-\sqrt{8}$是实数，因此数轴上存在表示$-\sqrt{8}$的点，A错误。
选项B：计算右边$\sqrt{2}-\sqrt{6}\approx1.414-2.449\approx-1.035$，和$-2.828$不相等，B错误。
选项C：计算右边$-\sqrt{2}-\sqrt{6}\approx-1.414-2.449\approx-3.863$，和$-2.828$不相等，C错误。
选项D：$-\sqrt{8}\approx-2.828$，它与-2的距离为$\vert-2.828 - (-2)\vert=0.828$，与-3的距离为$\vert-2.828 - (-3)\vert=0.172$，因为$0.172＜0.828$，所以与$-\sqrt{8}$最接近的整数是-3，D正确。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的对应关系；无理数的估算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础类题型，综合考查了实数模块的基础知识点，解题时只需逐一验证每个选项，掌握无理数的估算方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
6. 已知一个正数的两个不同的平方根是$m+1$和$m-13$，则这个正数是（
A.7
B.49
C.6
D.36
B
）A.7
B.49
C.6
D.36
答案
6. B
解析
【分析】
解题的核心突破口是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质。首先我们知道，互为相反数的两个数相加和为0，因此可以先根据两个平方根的和等于0列出关于m的一元一次方程，求解得到m的值后，代入任意一个平方根的表达式，再将结果平方就能得到这个正数的值。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，即：
$ (m+1) + (m-13) = 0 $
合并同类项得：$ 2m - 12 = 0 $
移项得：$ 2m = 12 $
解得：$ m = 6 $
将$ m=6 $代入$ m+1 $得其中一个平方根为$ 6+1=7 $
则这个正数为$ 7^2 = 49 $
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 解一元一次方程 3. 乘方运算
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题关键是掌握正数的两个平方根互为相反数的特点，难度较低，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心突破口是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质。首先我们知道，互为相反数的两个数相加和为0，因此可以先根据两个平方根的和等于0列出关于m的一元一次方程，求解得到m的值后，代入任意一个平方根的表达式，再将结果平方就能得到这个正数的值。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，即：
$ (m+1) + (m-13) = 0 $
合并同类项得：$ 2m - 12 = 0 $
移项得：$ 2m = 12 $
解得：$ m = 6 $
将$ m=6 $代入$ m+1 $得其中一个平方根为$ 6+1=7 $
则这个正数为$ 7^2 = 49 $
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 解一元一次方程 3. 乘方运算
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题关键是掌握正数的两个平方根互为相反数的特点，难度较低，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 定义一种新的运算:对于任意实数a，b，有$a*b=(a+1)^2 - b^2$。则$(\sqrt{3}-1)*(-\sqrt{7})$的值是（
A.$-1$
B.$0$
C.$10$
D.$-4$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$10$
D.$-4$
答案
7. D
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解新运算的规则，明确$a*b$的计算方法；第二步找到所求式子中对应$a$和$b$的取值，将$a$、$b$代入运算公式；第三步按照实数运算顺序计算，计算时注意负数的平方为正、二次根式的平方等于被开方数的要点，避免符号错误。
【解析】
根据新运算规则$a*b=(a+1)^2 - b^2$，可知计算$(\sqrt{3}-1)*(-\sqrt{7})$时，$a=\sqrt{3}-1$，$b=-\sqrt{7}$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-1 + 1)^2 - (-\sqrt{7})^2\\&=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2\\&=3 - 7\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、实数的运算、二次根式的性质
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和基础运算能力，属于常规基础题型，解题关键是准确对应$a$、$b$的取值，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.75
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解新运算的规则，明确$a*b$的计算方法；第二步找到所求式子中对应$a$和$b$的取值，将$a$、$b$代入运算公式；第三步按照实数运算顺序计算，计算时注意负数的平方为正、二次根式的平方等于被开方数的要点，避免符号错误。
【解析】
根据新运算规则$a*b=(a+1)^2 - b^2$，可知计算$(\sqrt{3}-1)*(-\sqrt{7})$时，$a=\sqrt{3}-1$，$b=-\sqrt{7}$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-1 + 1)^2 - (-\sqrt{7})^2\\&=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2\\&=3 - 7\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、实数的运算、二次根式的性质
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和基础运算能力，属于常规基础题型，解题关键是准确对应$a$、$b$的取值，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.75
8. 已知$a$的算术平方根是$12.3$，$b$的立方根是$-45.6$，$x$的平方根是$\pm1.23$，$y$的立方根是$456$，则下列选项正确的是（
A.$x=\frac{a}{100}, y=1000b$
B.$x=100a, y=\frac{b}{1000}$
C.$x=\frac{a}{100}, y=\frac{b}{1000}$
D.$x=\frac{a}{100}, y=-1000b$
D
）A.$x=\frac{a}{100}, y=1000b$
B.$x=100a, y=\frac{b}{1000}$
C.$x=\frac{a}{100}, y=\frac{b}{1000}$
D.$x=\frac{a}{100}, y=-1000b$
答案
8. D 【解析】因为a的算术平方根是12.3,x的平方根是±1.23,
所以$\sqrt{a}=12.3,\pm\sqrt{x}=\pm1.23$,
所以$x=\frac{a}{100}$。
因为b的立方根是－45.6,y的立方根是456,
所以$\sqrt[3]{b}=-45.6,\sqrt[3]{y}=456$,
所以$y=-1 000b$。
所以$\sqrt{a}=12.3,\pm\sqrt{x}=\pm1.23$,
所以$x=\frac{a}{100}$。
因为b的立方根是－45.6,y的立方根是456,
所以$\sqrt[3]{b}=-45.6,\sqrt[3]{y}=456$,
所以$y=-1 000b$。
解析
【分析】
解题时利用乘方和开方互为逆运算的关系，先分别用开方结果表示出a、x、b、y四个数，再对比数与数之间的关系即可得到答案。首先处理平方根相关部分：已知a的算术平方根和x的平方根，将两个数分别平方，通过底数的倍数关系推导a和x的倍数关系；再处理立方根相关部分：将b和y分别表示为对应立方根的三次方，对比立方根的倍数和符号，推导b和y的关系，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵a的算术平方根是12.3，
∴$\sqrt{a}=12.3$，即$a=12.3^2$。
∵x的平方根是$\pm1.23$，
∴$\pm\sqrt{x}=\pm1.23$，即$x=1.23^2$。
∵$12.3=10×1.23$，
∴$a=(10×1.23)^2=100×1.23^2=100x$，变形得$x=\frac{a}{100}$。
又
∵b的立方根是$-45.6$，
∴$\sqrt[3]{b}=-45.6$，即$b=(-45.6)^3$。
∵y的立方根是456，
∴$\sqrt[3]{y}=456$，即$y=456^3$。
∵$456=-10×(-45.6)$，
∴$y=(-10×(-45.6))^3=(-10)^3×(-45.6)^3=-1000b$。
综上，$x=\frac{a}{100}$，$y=-1000b$，故选D。
【答案】D
【知识点】
算术平方根，平方根，立方根
【点评】
本题重点考查开方与乘方的互逆关系，以及平方根、立方根的运算性质，解题时要注意：平方根对应平方运算，底数扩大10倍则平方结果扩大100倍；立方根对应立方运算，底数扩大10倍则立方结果扩大1000倍，同时立方根的符号和原数符号一致，要避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时利用乘方和开方互为逆运算的关系，先分别用开方结果表示出a、x、b、y四个数，再对比数与数之间的关系即可得到答案。首先处理平方根相关部分：已知a的算术平方根和x的平方根，将两个数分别平方，通过底数的倍数关系推导a和x的倍数关系；再处理立方根相关部分：将b和y分别表示为对应立方根的三次方，对比立方根的倍数和符号，推导b和y的关系，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵a的算术平方根是12.3，
∴$\sqrt{a}=12.3$，即$a=12.3^2$。
∵x的平方根是$\pm1.23$，
∴$\pm\sqrt{x}=\pm1.23$，即$x=1.23^2$。
∵$12.3=10×1.23$，
∴$a=(10×1.23)^2=100×1.23^2=100x$，变形得$x=\frac{a}{100}$。
又
∵b的立方根是$-45.6$，
∴$\sqrt[3]{b}=-45.6$，即$b=(-45.6)^3$。
∵y的立方根是456，
∴$\sqrt[3]{y}=456$，即$y=456^3$。
∵$456=-10×(-45.6)$，
∴$y=(-10×(-45.6))^3=(-10)^3×(-45.6)^3=-1000b$。
综上，$x=\frac{a}{100}$，$y=-1000b$，故选D。
【答案】D
【知识点】
算术平方根，平方根，立方根
【点评】
本题重点考查开方与乘方的互逆关系，以及平方根、立方根的运算性质，解题时要注意：平方根对应平方运算，底数扩大10倍则平方结果扩大100倍；立方根对应立方运算，底数扩大10倍则立方结果扩大1000倍，同时立方根的符号和原数符号一致，要避免符号出错。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题5分，共25分)
9. 面积为6的正方形，其边长为
9. 面积为6的正方形，其边长为
$\sqrt{6}$
。答案
9. $\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形的面积等于边长的平方。已知面积求边长，本质就是求面积的算术平方根，因为边长是表示长度的正数，只需取正的平方根即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2 = 6$
由于边长为正数，因此$a$是6的算术平方根，即$a=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 算术平方根的概念
【点评】
本题是基础类题型，将几何图形的面积计算与算术平方根的知识点结合，解题时需注意结合实际意义，舍去不符合要求的负平方根。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形的面积等于边长的平方。已知面积求边长，本质就是求面积的算术平方根，因为边长是表示长度的正数，只需取正的平方根即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2 = 6$
由于边长为正数，因此$a$是6的算术平方根，即$a=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 算术平方根的概念
【点评】
本题是基础类题型，将几何图形的面积计算与算术平方根的知识点结合，解题时需注意结合实际意义，舍去不符合要求的负平方根。
【难度系数】
0.9
10. 实数 $2 - \sqrt{5}$ 的相反数是
$\sqrt{5}-2$
。答案
10. $\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。要求一个数的相反数，只需在这个数的整体前面加上负号，再按照去括号法则化简即可得到结果。
【解析】
根据相反数的定义，实数$2-\sqrt{5}$的相反数为：
$-(2-\sqrt{5})$
根据去括号法则，括号前是负号时，括号内各项都要改变符号，化简得：
$-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
相反数的定义，去括号法则
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对相反数定义的理解和基础运算能力，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。要求一个数的相反数，只需在这个数的整体前面加上负号，再按照去括号法则化简即可得到结果。
【解析】
根据相反数的定义，实数$2-\sqrt{5}$的相反数为：
$-(2-\sqrt{5})$
根据去括号法则，括号前是负号时，括号内各项都要改变符号，化简得：
$-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
相反数的定义，去括号法则
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对相反数定义的理解和基础运算能力，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11. 有一个数值转换器，其原理如下图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是
$\sqrt{8}$
。答案
11. $\sqrt{8}$
解析
【分析】
解题时首先要读懂数值转换器的运算规则：输入x后先计算x的算术平方根，若得到的结果是无理数就直接输出；若结果是有理数，则将该结果作为新的输入值，再次计算算术平方根，直到得到无理数为止。我们将x=64代入，按照上述规则逐步运算即可求出输出的y值。
【解析】
解：当输入x=64时：
1. 第一次计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，不符合输出条件，因此将8作为新的输入值重新计算；
2. 第二次计算算术平方根：$\sqrt{8}$，$\sqrt{8}$是开方开不尽的数，属于无理数，满足输出条件。
因此输出的y值为$\sqrt{8}$。
【答案】
$\sqrt{8}$
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的判定
【点评】
本题结合流程图考查基础运算和概念识别，解题核心是明确流程图的循环运算规则，按步骤计算即可，注意不要在得到第一个有理数结果时就停止运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂数值转换器的运算规则：输入x后先计算x的算术平方根，若得到的结果是无理数就直接输出；若结果是有理数，则将该结果作为新的输入值，再次计算算术平方根，直到得到无理数为止。我们将x=64代入，按照上述规则逐步运算即可求出输出的y值。
【解析】
解：当输入x=64时：
1. 第一次计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，不符合输出条件，因此将8作为新的输入值重新计算；
2. 第二次计算算术平方根：$\sqrt{8}$，$\sqrt{8}$是开方开不尽的数，属于无理数，满足输出条件。
因此输出的y值为$\sqrt{8}$。
【答案】
$\sqrt{8}$
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的判定
【点评】
本题结合流程图考查基础运算和概念识别，解题核心是明确流程图的循环运算规则，按步骤计算即可，注意不要在得到第一个有理数结果时就停止运算。
【难度系数】
0.7
12. 若$\sqrt{13}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$a^2 + b - \sqrt{13}$的值为
6
。答案
12. 6
解析
【分析】
解题时首先要确定无理数$\sqrt{13}$的取值范围，找到和13相邻的两个完全平方数，即可得到$\sqrt{13}$的整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”得到$b$的表达式，最后将$a$、$b$代入所求代数式化简计算即可。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{13}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：求$a$和$b$的值
由此可得$\sqrt{13}$的整数部分$a=3$，小数部分$b=\sqrt{13}-a=\sqrt{13}-3$。
第三步：代入代数式计算
将$a=3$，$b=\sqrt{13}-3$代入$a^2 + b - \sqrt{13}$得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 + (\sqrt{13}-3) - \sqrt{13}\\&=9 + \sqrt{13} - 3 - \sqrt{13}\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的基础常考题，核心考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题关键是先通过相邻完全平方数估算出无理数的取值范围，再代入代数式化简，计算时注意抵消同类项简化运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先要确定无理数$\sqrt{13}$的取值范围，找到和13相邻的两个完全平方数，即可得到$\sqrt{13}$的整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”得到$b$的表达式，最后将$a$、$b$代入所求代数式化简计算即可。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{13}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：求$a$和$b$的值
由此可得$\sqrt{13}$的整数部分$a=3$，小数部分$b=\sqrt{13}-a=\sqrt{13}-3$。
第三步：代入代数式计算
将$a=3$，$b=\sqrt{13}-3$代入$a^2 + b - \sqrt{13}$得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 + (\sqrt{13}-3) - \sqrt{13}\\&=9 + \sqrt{13} - 3 - \sqrt{13}\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的基础常考题，核心考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题关键是先通过相邻完全平方数估算出无理数的取值范围，再代入代数式化简，计算时注意抵消同类项简化运算。
【难度系数】
0.8
13. 如图，点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是10。若点A表示的数是－2，则点B表示的数是
$\sqrt{10}-2$
。答案
13. $\sqrt{10}-2$ 【解析】因为正方形的面积是10,所以$AB=\sqrt{10}$。
设点B表示的数为x,
因为点A表示的数是－2,
所以$x+2=\sqrt{10}$,解得$x=\sqrt{10}-2$。
所以点B表示的数是$\sqrt{10}-2$。
设点B表示的数为x,
因为点A表示的数是－2,
所以$x+2=\sqrt{10}$,解得$x=\sqrt{10}-2$。
所以点B表示的数是$\sqrt{10}-2$。
解析
【分析】
解题时首先从已知的正方形面积出发，根据正方形面积和边长的对应关系，先求出边AB的长度；再结合数轴的特征：数轴上右侧点表示的数大于左侧点表示的数，两点之间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，已知点A对应的数，代入AB的长度即可求出点B表示的数。
【解析】
解：
∵正方形的面积是10，边长AB为正数，
∴$AB=\sqrt{10}$。
设点B表示的数为x，
∵点A表示的数是-2，且点B在点A的右侧，
∴$x - (-2) = AB$，即$x + 2 = \sqrt{10}$，
解得$x=\sqrt{10}-2$。
【答案】
$\sqrt{10}-2$
【知识点】
算术平方根的应用；数轴上两点距离；正方形面积计算
【点评】
本题结合数轴与正方形的性质命题，考查了算术平方根的意义以及数轴上实数与点的对应关系，解题核心是先准确求出AB的长度，再结合数轴两点距离公式列式求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的正方形面积出发，根据正方形面积和边长的对应关系，先求出边AB的长度；再结合数轴的特征：数轴上右侧点表示的数大于左侧点表示的数，两点之间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，已知点A对应的数，代入AB的长度即可求出点B表示的数。
【解析】
解：
∵正方形的面积是10，边长AB为正数，
∴$AB=\sqrt{10}$。
设点B表示的数为x，
∵点A表示的数是-2，且点B在点A的右侧，
∴$x - (-2) = AB$，即$x + 2 = \sqrt{10}$，
解得$x=\sqrt{10}-2$。
【答案】
$\sqrt{10}-2$
【知识点】
算术平方根的应用；数轴上两点距离；正方形面积计算
【点评】
本题结合数轴与正方形的性质命题，考查了算术平方根的意义以及数轴上实数与点的对应关系，解题核心是先准确求出AB的长度，再结合数轴两点距离公式列式求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共35分)
14. (6分)将下列各数的序号填入相应的大括号内。
① $\left| -\dfrac{3}{4} \right|$，② $\sqrt{3}$，③ $\dfrac{22}{7}$，④ $-12$，
⑤ $-\sqrt{4}$，⑥ $-\dfrac{π}{4}$。
正分数: $\{ \_\_\_\_\_\_ \}$。
负整数: $\{ \_\_\_\_\_\_ \}$。
无理数: $\{ \_\_\_\_\_\_ \}$。
14. (6分)将下列各数的序号填入相应的大括号内。
① $\left| -\dfrac{3}{4} \right|$，② $\sqrt{3}$，③ $\dfrac{22}{7}$，④ $-12$，
⑤ $-\sqrt{4}$，⑥ $-\dfrac{π}{4}$。
正分数: $\{ \_\_\_\_\_\_ \}$。
负整数: $\{ \_\_\_\_\_\_ \}$。
无理数: $\{ \_\_\_\_\_\_ \}$。
答案
14. ①③ ④⑤ ②⑥
解析
【分析】
解题时首先要明确正分数、负整数、无理数的相关定义，其次先对题目中带绝对值、带根号的数进行化简，再将每个数对照三类数的定义逐一判断，最后把对应的序号填入对应集合即可。
【解析】
第一步：先化简各带运算的数，再逐个判断类别：
① $\left| -\dfrac{3}{4} \right|=\dfrac{3}{4}$，是大于0的分数，属于正分数；
② $\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数；
③ $\dfrac{22}{7}$是大于0的分数，属于正分数；
④ $-12$是小于0的整数，属于负整数；
⑤ $-\sqrt{4}=-2$，是小于0的整数，属于负整数；
⑥ $-\dfrac{π}{4}$中π是无限不循环小数，因此该数也为无限不循环小数，属于无理数。
第二步：对应归类填写序号即可。
【答案】
①③；④⑤；②⑥
【知识点】
实数的分类；绝对值的运算；无理数的概念
【点评】
本题考查实数的分类相关基础知识点，解题核心是先化简含有运算的数，再根据定义准确归类，需注意不要误将带根号的数都判定为无理数，同时牢记π是无理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正分数、负整数、无理数的相关定义，其次先对题目中带绝对值、带根号的数进行化简，再将每个数对照三类数的定义逐一判断，最后把对应的序号填入对应集合即可。
【解析】
第一步：先化简各带运算的数，再逐个判断类别：
① $\left| -\dfrac{3}{4} \right|=\dfrac{3}{4}$，是大于0的分数，属于正分数；
② $\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数；
③ $\dfrac{22}{7}$是大于0的分数，属于正分数；
④ $-12$是小于0的整数，属于负整数；
⑤ $-\sqrt{4}=-2$，是小于0的整数，属于负整数；
⑥ $-\dfrac{π}{4}$中π是无限不循环小数，因此该数也为无限不循环小数，属于无理数。
第二步：对应归类填写序号即可。
【答案】
①③；④⑤；②⑥
【知识点】
实数的分类；绝对值的运算；无理数的概念
【点评】
本题考查实数的分类相关基础知识点，解题核心是先化简含有运算的数，再根据定义准确归类，需注意不要误将带根号的数都判定为无理数，同时牢记π是无理数。
【难度系数】
0.8
