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15. (9分)把$|-4|,-3,-\frac{1}{2},\sqrt{2}$表示在数轴上(无理数近似表示在数轴上),并比较它们的大小,用“＜”连接。
答案
15. 解:因为$|-4|=4,\sqrt{2}\approx1.414$,
故将各数在数轴上表示出来如下：
将各数用“＜”连接为$-3＜-\frac{1}{2}＜\sqrt{2}＜|-4|$。
解析
【分析】
要解决这道题，我们按三步思考：第一步先化简需要计算的数，根据绝对值的性质算出$|-4|$的结果，再估算无理数$\sqrt{2}$的近似值，确定每个数的大小范围；第二步根据各数的数值，找到它们在数轴上对应的位置，数轴原点左侧为负数、右侧为正数，越往右的数越大；第三步根据数轴上“左边的数总小于右边的数”的规律，将这些数从小到大用“＜”连接即可。
【解析】
1. 化简并确定各数的数值范围：
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|-4|=4$；
无理数$\sqrt{2}\approx1.414$，位于1和2之间；
$-\frac{1}{2}=-0.5$，位于-1和0之间；
-3为负整数，对应数轴上-3的刻度位置。
2. 将各数标注在数轴上，结果如下：
3. 大小比较：根据数轴上右侧的数总大于左侧的数，从小到大排列得$-3＜-\frac{1}{2}＜\sqrt{2}＜|-4|$。
【答案】
因为$|-4|=4,\sqrt{2}\approx1.414$,
故将各数在数轴上表示出来如下：
将各数用“＜”连接为$-3＜-\frac{1}{2}＜\sqrt{2}＜|-4|$。
【知识点】
绝对值化简；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题属于基础类题目，核心是先准确化简特殊形式的数、估算无理数的取值范围，再借助数轴的性质比较大小，掌握数轴上数的大小规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们按三步思考：第一步先化简需要计算的数，根据绝对值的性质算出$|-4|$的结果，再估算无理数$\sqrt{2}$的近似值，确定每个数的大小范围；第二步根据各数的数值，找到它们在数轴上对应的位置，数轴原点左侧为负数、右侧为正数，越往右的数越大；第三步根据数轴上“左边的数总小于右边的数”的规律，将这些数从小到大用“＜”连接即可。
【解析】
1. 化简并确定各数的数值范围：
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|-4|=4$；
无理数$\sqrt{2}\approx1.414$，位于1和2之间；
$-\frac{1}{2}=-0.5$，位于-1和0之间；
-3为负整数，对应数轴上-3的刻度位置。
2. 将各数标注在数轴上，结果如下：
3. 大小比较：根据数轴上右侧的数总大于左侧的数，从小到大排列得$-3＜-\frac{1}{2}＜\sqrt{2}＜|-4|$。
【答案】
因为$|-4|=4,\sqrt{2}\approx1.414$,
故将各数在数轴上表示出来如下：
将各数用“＜”连接为$-3＜-\frac{1}{2}＜\sqrt{2}＜|-4|$。
【知识点】
绝对值化简；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题属于基础类题目，核心是先准确化简特殊形式的数、估算无理数的取值范围，再借助数轴的性质比较大小，掌握数轴上数的大小规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
16. (12分)计算：
(1)$\sqrt{4} + \sqrt[3]{-27} - (\sqrt{3})^2$。
(2)$\sqrt[3]{-8} - \sqrt{16} - \sqrt{(-2)^2} - (\sqrt{3})^2$。
(3)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{8} + |2 - \sqrt{3}|$。
(4)$\sqrt{3} - \sqrt{25} + |\sqrt{3} - 3| + \sqrt[3]{1 - \frac{63}{64}}$。
(1)$\sqrt{4} + \sqrt[3]{-27} - (\sqrt{3})^2$。
(2)$\sqrt[3]{-8} - \sqrt{16} - \sqrt{(-2)^2} - (\sqrt{3})^2$。
(3)$\sqrt{25} - \sqrt[3]{8} + |2 - \sqrt{3}|$。
(4)$\sqrt{3} - \sqrt{25} + |\sqrt{3} - 3| + \sqrt[3]{1 - \frac{63}{64}}$。
答案
16. 解:(1)$\sqrt{4}+\sqrt[3]{-27}-(\sqrt{3})^2$
$=2+(-3)-3=-4$。
(2)$\sqrt[3]{-8}-\sqrt{16}-\sqrt{(-2)^2}-(\sqrt{3})^2$
$=-2-4-2-3$
$=-2+(-4)+(-2)+(-3)$
$=-11$。
(3)$\sqrt{25}-\sqrt[3]{8}+|2-\sqrt{3}|$
$=5-2+2-\sqrt{3}$
$=5-\sqrt{3}$。
(4)$\sqrt{3}-\sqrt{25}+|\sqrt{3}-3|+\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}$
$=\sqrt{3}-5+3-\sqrt{3}+\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$
$=-2+\frac{1}{4}$
$=-\frac{7}{4}$。
$=2+(-3)-3=-4$。
(2)$\sqrt[3]{-8}-\sqrt{16}-\sqrt{(-2)^2}-(\sqrt{3})^2$
$=-2-4-2-3$
$=-2+(-4)+(-2)+(-3)$
$=-11$。
(3)$\sqrt{25}-\sqrt[3]{8}+|2-\sqrt{3}|$
$=5-2+2-\sqrt{3}$
$=5-\sqrt{3}$。
(4)$\sqrt{3}-\sqrt{25}+|\sqrt{3}-3|+\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}$
$=\sqrt{3}-5+3-\sqrt{3}+\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$
$=-2+\frac{1}{4}$
$=-\frac{7}{4}$。
解析
【分析】
本题是实数混合运算的基础题，解题遵循“先化简、后运算”的原则：第一步先分别化简每个式子中的算术平方根、立方根、乘方、绝对值：①算术平方根结果为非负数；②立方根的符号与被开方数一致；③绝对值化简前先判断内部式子的正负，正数去绝对值不变号，负数去绝对值要变相反数；第二步再按从左到右的顺序做加减运算，运算过程中重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 先化简各项：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$(\sqrt{3})^2=3$，代入得：
原式$=2+(-3)-3=-4$
(2) 先化简各项：$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{(-2)^2}=2$，$(\sqrt{3})^2=3$，代入得：
原式$=-2-4-2-3=-2+(-4)+(-2)+(-3)=-11$
(3) 先化简各项：$\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{8}=2$，因为$2＞\sqrt{3}$，所以$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，代入得：
原式$=5-2+2-\sqrt{3}=5-\sqrt{3}$
(4) 先化简各项：$\sqrt{25}=5$，因为$\sqrt{3}＜3$，所以$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$，代入得：
原式$=\sqrt{3}-5+3-\sqrt{3}+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{-11}$；(3) $\boldsymbol{5-\sqrt{3}}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{7}{4}}$
【知识点】
实数的混合运算，开方运算，绝对值的性质
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，核心考查对算术平方根、立方根、绝对值化简规则的掌握，运算时分步化简、仔细核对符号即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题是实数混合运算的基础题，解题遵循“先化简、后运算”的原则：第一步先分别化简每个式子中的算术平方根、立方根、乘方、绝对值：①算术平方根结果为非负数；②立方根的符号与被开方数一致；③绝对值化简前先判断内部式子的正负，正数去绝对值不变号，负数去绝对值要变相反数；第二步再按从左到右的顺序做加减运算，运算过程中重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 先化简各项：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$(\sqrt{3})^2=3$，代入得：
原式$=2+(-3)-3=-4$
(2) 先化简各项：$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{(-2)^2}=2$，$(\sqrt{3})^2=3$，代入得：
原式$=-2-4-2-3=-2+(-4)+(-2)+(-3)=-11$
(3) 先化简各项：$\sqrt{25}=5$，$\sqrt[3]{8}=2$，因为$2＞\sqrt{3}$，所以$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，代入得：
原式$=5-2+2-\sqrt{3}=5-\sqrt{3}$
(4) 先化简各项：$\sqrt{25}=5$，因为$\sqrt{3}＜3$，所以$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{1-\frac{63}{64}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$，代入得：
原式$=\sqrt{3}-5+3-\sqrt{3}+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{-11}$；(3) $\boldsymbol{5-\sqrt{3}}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{7}{4}}$
【知识点】
实数的混合运算，开方运算，绝对值的性质
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，核心考查对算术平方根、立方根、绝对值化简规则的掌握，运算时分步化简、仔细核对符号即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
17. (8分)经实验,一个物体从高处自由下落时,下落距离h(米)和下落时间t(秒)之间的关系可以用$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$来估计。
(1)一个物体从125米高的塔顶自由下落,落到地面需要几秒?
(2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒,问物体下落前离地面多少米?
(1)一个物体从125米高的塔顶自由下落,落到地面需要几秒?
(2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒,问物体下落前离地面多少米?
答案
17. 解:(1)当$h=125$时,
$t=\sqrt{\frac{h}{5}}=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5$(秒)。
答:一个物体从125米高的塔顶自由下落,落到地面需要5秒。
(2)当$t=2$时,$\sqrt{\frac{h}{5}}=2$,
所以$\frac{h}{5}=4$,所以$h=20$。
答:物体下落前离地面20米。
$t=\sqrt{\frac{h}{5}}=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5$(秒)。
答:一个物体从125米高的塔顶自由下落,落到地面需要5秒。
(2)当$t=2$时,$\sqrt{\frac{h}{5}}=2$,
所以$\frac{h}{5}=4$,所以$h=20$。
答:物体下落前离地面20米。
解析
【分析】本题是利用给定公式解决实际运算问题，解题思路清晰：①第(1)问为正向代入求值，已知下落高度h，直接将h的数值代入公式，按照算术平方根的运算规则计算就能得到下落时间t；②第(2)问为逆向求解未知量，已知下落时间t，先将t代入公式，再利用等式的性质两边平方去掉根号，转化为一元一次方程即可求出h，所有数值均符合实际场景，无需考虑负数结果。
【解析】
(1) 当物体下落高度$h=125$米时，代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$：
$t=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5$（秒）
答：落到地面需要5秒。
(2) 当物体下落时间$t=2$秒时，代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$得：
$\sqrt{\frac{h}{5}}=2$
等式两边同时平方可得$\frac{h}{5}=4$，解得$h=4×5=20$（米）
答：物体下落前离地面20米。
【答案】
(1) 5秒；
(2) 20米
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；等式的性质
【点评】本题结合生活实际考查代数基础运算，核心是对公式的正向、逆向灵活运用，计算量小，只要掌握算术平方根的计算规则和等式基本性质，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
【解析】
(1) 当物体下落高度$h=125$米时，代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$：
$t=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5$（秒）
答：落到地面需要5秒。
(2) 当物体下落时间$t=2$秒时，代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$得：
$\sqrt{\frac{h}{5}}=2$
等式两边同时平方可得$\frac{h}{5}=4$，解得$h=4×5=20$（米）
答：物体下落前离地面20米。
【答案】
(1) 5秒；
(2) 20米
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；等式的性质
【点评】本题结合生活实际考查代数基础运算，核心是对公式的正向、逆向灵活运用，计算量小，只要掌握算术平方根的计算规则和等式基本性质，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
