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公式法是用求根公式求出一元二次方程的根的方法.一元二次方程的求根公式可以通过配方法推导出来:$x=\underline{\hspace{5cm}}$.
典例分享
例 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2(k-1)x + k^2 -1 =0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.
解 (1)$\Delta = [2(k-1)]^2 -4(k^2 -1)=4k^2 -8k +4 -4k^2 +4=-8k +8$.
因为原方程有两个不相等的实数根,
所以$-8k +8＞0$,解得$k＜1$,
即实数$k$的取值范围是$k＜1$.
(2)假设0是方程的一个根,将0代入方程,得$0^2 +2(k-1)×0 +k^2 -1=0$,
解得$k=-1$或$k=1$(舍去).
即当$k=-1$时,0是原方程的一个根.
此时,原方程变为$x^2 -4x=0$,
解得$x_1=0,x_2=4$,
所以它的另一个根是4.
方法感悟 1. 在用求根公式解一元二次方程时,一定要将方程化为一般形式.
2. 在用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为0这一限制条件.
基础训练
典例分享
例 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2(k-1)x + k^2 -1 =0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.
解 (1)$\Delta = [2(k-1)]^2 -4(k^2 -1)=4k^2 -8k +4 -4k^2 +4=-8k +8$.
因为原方程有两个不相等的实数根,
所以$-8k +8＞0$,解得$k＜1$,
即实数$k$的取值范围是$k＜1$.
(2)假设0是方程的一个根,将0代入方程,得$0^2 +2(k-1)×0 +k^2 -1=0$,
解得$k=-1$或$k=1$(舍去).
即当$k=-1$时,0是原方程的一个根.
此时,原方程变为$x^2 -4x=0$,
解得$x_1=0,x_2=4$,
所以它的另一个根是4.
方法感悟 1. 在用求根公式解一元二次方程时,一定要将方程化为一般形式.
2. 在用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为0这一限制条件.
基础训练
答案
解：$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$
解析
【分析】
要推导一元二次方程的求根公式，首先先写出一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，再用配方法逐步变形：先将二次项系数化为1，再移项、配方，将方程转化为完全平方式等于常数的形式，此时只有当常数部分非负即$b^2-4ac≥0$时，方程有实数根，最后开平方、移项化简即可得到求根公式。
【解析】
设一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，用配方法推导如下：
1. 两边同时除以$a$，得：$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
2. 移项，得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
3. 配方，两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
左边整理为完全平方式：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
4. 当$b^2-4ac≥0$时，两边开平方，得：$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
5. 移项化简，得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$
【知识点】
一元二次方程求根公式；配方法；根的判别式
【点评】
本题是对一元二次方程核心基础公式的考查，需牢记公式的推导过程和适用条件，避免使用公式时忽略判别式的取值范围。
【难度系数】
0.9
要推导一元二次方程的求根公式，首先先写出一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，再用配方法逐步变形：先将二次项系数化为1，再移项、配方，将方程转化为完全平方式等于常数的形式，此时只有当常数部分非负即$b^2-4ac≥0$时，方程有实数根，最后开平方、移项化简即可得到求根公式。
【解析】
设一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，用配方法推导如下：
1. 两边同时除以$a$，得：$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
2. 移项，得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
3. 配方，两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
左边整理为完全平方式：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
4. 当$b^2-4ac≥0$时，两边开平方，得：$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
5. 移项化简，得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$
【知识点】
一元二次方程求根公式；配方法；根的判别式
【点评】
本题是对一元二次方程核心基础公式的考查，需牢记公式的推导过程和适用条件，避免使用公式时忽略判别式的取值范围。
【难度系数】
0.9
1. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + 1 = 0$的根的情况是(
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
B
).A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ来求解，解题思路如下：第一步，先从一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，确定对应系数a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）；第二步，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出Δ的数值；第三步，根据Δ的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：给定的一元二次方程为$x^2 + 3x + 1 = 0$，对应一般形式可得：$a=1$，$b=3$，$c=1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5＞0$
根据判别式的意义，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要准确提取方程系数、正确计算判别式、牢记判别式与根的对应关系，就能快速得出答案，属于必得分题型。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ来求解，解题思路如下：第一步，先从一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，确定对应系数a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）；第二步，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出Δ的数值；第三步，根据Δ的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：给定的一元二次方程为$x^2 + 3x + 1 = 0$，对应一般形式可得：$a=1$，$b=3$，$c=1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5＞0$
根据判别式的意义，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要准确提取方程系数、正确计算判别式、牢记判别式与根的对应关系，就能快速得出答案，属于必得分题型。
【难度系数】
0.9
2. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$无实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$
B
）.A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$
答案
2. B
解析
【分析】
遇到判断一元二次方程实数根的问题，优先考虑根的判别式。解题思路如下：第一步，明确一元二次方程根的判别式与根的对应关系：当Δ＜0时，方程无实数根；第二步，确定所给方程的各项系数，注意区分方程中的参数a和判别式公式里的二次项系数，避免混淆；第三步，代入系数写出判别式，结合无实根的条件列不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为a。
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入系数得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
已知方程无实数根，因此$\Delta ＜ 0$，即：
$4 - 4a ＜ 0$
解这个不等式：
移项得$4 ＜ 4a$，两边同时除以4得$a ＞ 1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是牢记不同判别式取值对应的根的特征，计算过程简单，掌握对应知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
遇到判断一元二次方程实数根的问题，优先考虑根的判别式。解题思路如下：第一步，明确一元二次方程根的判别式与根的对应关系：当Δ＜0时，方程无实数根；第二步，确定所给方程的各项系数，注意区分方程中的参数a和判别式公式里的二次项系数，避免混淆；第三步，代入系数写出判别式，结合无实根的条件列不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为a。
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入系数得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
已知方程无实数根，因此$\Delta ＜ 0$，即：
$4 - 4a ＜ 0$
解这个不等式：
移项得$4 ＜ 4a$，两边同时除以4得$a ＞ 1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是牢记不同判别式取值对应的根的特征，计算过程简单，掌握对应知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 下列方程中,有两个不相等的实数根的是(
A.$x^2 - 2x - 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 3 = 0$
C.$x^2 = 2\sqrt{3}x - 3$
D.$x^2 - 4x + 4 = 0$
A
).A.$x^2 - 2x - 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 3 = 0$
C.$x^2 = 2\sqrt{3}x - 3$
D.$x^2 - 4x + 4 = 0$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的个数与判别式的关系，解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值和根的个数的对应规则：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。接下来将每个选项的方程整理为一般形式，分别计算判别式的值，找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐一计算各选项的判别式：
A选项：方程$x^2 - 2x - 1 = 0$中，$a=1,b=-2,c=-1$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(-1)=4+4=8＞0$，有两个不相等的实数根，符合题意；
B选项：方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=-2,c=3$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×3=4-12=-8＜0$，没有实数根，不符合题意；
C选项：先将方程整理为一般形式$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，其中$a=1,b=-2\sqrt{3},c=3$，$\Delta=(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3=12-12=0$，有两个相等的实数根，不符合题意；
D选项：方程$x^2 - 4x + 4 = 0$中，$a=1,b=-4,c=4$，$\Delta=(-4)^2 - 4×1×4=16-16=0$，有两个相等的实数根，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，注意对于不是一般形式的一元二次方程，要先整理为一般形式再代入计算判别式，避免因符号或系数取值错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的个数与判别式的关系，解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值和根的个数的对应规则：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。接下来将每个选项的方程整理为一般形式，分别计算判别式的值，找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐一计算各选项的判别式：
A选项：方程$x^2 - 2x - 1 = 0$中，$a=1,b=-2,c=-1$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(-1)=4+4=8＞0$，有两个不相等的实数根，符合题意；
B选项：方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=-2,c=3$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×3=4-12=-8＜0$，没有实数根，不符合题意；
C选项：先将方程整理为一般形式$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，其中$a=1,b=-2\sqrt{3},c=3$，$\Delta=(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3=12-12=0$，有两个相等的实数根，不符合题意；
D选项：方程$x^2 - 4x + 4 = 0$中，$a=1,b=-4,c=4$，$\Delta=(-4)^2 - 4×1×4=16-16=0$，有两个相等的实数根，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题的关键是牢记判别式与根的个数的对应关系，注意对于不是一般形式的一元二次方程，要先整理为一般形式再代入计算判别式，避免因符号或系数取值错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 用公式法解方程 $3x^2 +4=12x$，下列代入公式正确的是(
D
).答案
4. D
解析
【分析】
要解决这道题，需按照公式法解一元二次方程的步骤思考：首先要把给定方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，注意移项要变号，准确确定$a$、$b$、$c$的取值；再将三个系数代入一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，最后和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
第一步：将方程$3x^2+4=12x$化为一元二次方程的一般形式，移项得：
$3x^2 - 12x + 4 = 0$
第二步：确定系数：二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=4$。
第三步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4×3×4}}{2×3}$
对比各选项，只有D选项和推导结果一致。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础应用，易错点是未先将方程化为一般形式就直接确定$a$、$b$、$c$的取值，或是代入求根公式时搞错$b$的符号、漏写分母的$2a$，解题时要严格按步骤操作，重点注意符号问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照公式法解一元二次方程的步骤思考：首先要把给定方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，注意移项要变号，准确确定$a$、$b$、$c$的取值；再将三个系数代入一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，最后和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
第一步：将方程$3x^2+4=12x$化为一元二次方程的一般形式，移项得：
$3x^2 - 12x + 4 = 0$
第二步：确定系数：二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=4$。
第三步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4×3×4}}{2×3}$
对比各选项，只有D选项和推导结果一致。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础应用，易错点是未先将方程化为一般形式就直接确定$a$、$b$、$c$的取值，或是代入求根公式时搞错$b$的符号、漏写分母的$2a$，解题时要严格按步骤操作，重点注意符号问题。
【难度系数】
0.7
