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4. 如图25.2-1是小嘉解方程的过程：
图25.2-1
小嘉在解方程的过程中，先出现错误的一步是(
A.①
B.②
C.③
D.④
图25.2-1
小嘉在解方程的过程中，先出现错误的一步是(
C
).A.①
B.②
C.③
D.④
答案
4. C
解析
【分析】
要找到小嘉解方程过程中最先出错的步骤，需逐次验证每一步的运算是否符合运算法则：首先验证去括号、移项的运算是否正确，再验证配方法解方程的步骤是否规范，即可定位错误步骤。
【解析】
我们逐步骤核对小嘉的运算：
1. 步骤①：左边$(x-2)^2$展开得$x^2-4x+4$，右边$2(x-2)$去括号得$2x-4$，该步运算正确；
2. 步骤②：移项合并同类项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得$x^2-4x-2x=-4-4$，计算得$x^2-6x=-8$，该步运算正确；
3. 步骤③：使用配方法解方程，需在等式两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为$-6$，一半的平方为$9$，因此左边配方得$(x-3)^2$，右边为$-8+9=1$，即正确结果应为$(x-3)^2=1$，小嘉计算得到$(x-3)^2=5$，运算错误。
因此最先出现错误的是步骤③。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法，配方法，整式运算
【点评】
本题考查解一元二次方程的规范步骤，解题时要注意配方法的运算规则：配方时等式两边必须同时加上相同的常数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要找到小嘉解方程过程中最先出错的步骤，需逐次验证每一步的运算是否符合运算法则：首先验证去括号、移项的运算是否正确，再验证配方法解方程的步骤是否规范，即可定位错误步骤。
【解析】
我们逐步骤核对小嘉的运算：
1. 步骤①：左边$(x-2)^2$展开得$x^2-4x+4$，右边$2(x-2)$去括号得$2x-4$，该步运算正确；
2. 步骤②：移项合并同类项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得$x^2-4x-2x=-4-4$，计算得$x^2-6x=-8$，该步运算正确；
3. 步骤③：使用配方法解方程，需在等式两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为$-6$，一半的平方为$9$，因此左边配方得$(x-3)^2$，右边为$-8+9=1$，即正确结果应为$(x-3)^2=1$，小嘉计算得到$(x-3)^2=5$，运算错误。
因此最先出现错误的是步骤③。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法，配方法，整式运算
【点评】
本题考查解一元二次方程的规范步骤，解题时要注意配方法的运算规则：配方时等式两边必须同时加上相同的常数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 一元二次方程$x^2 -6x -1 = $
$$的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但已知整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为$(x+a)^2 = b$，则下列判断正确的是(
A.$a=-3$
B.$a=3$
C.$b=10$
D.$b=-1$
$$的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但已知整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为$(x+a)^2 = b$，则下列判断正确的是(A
).A.$a=-3$
B.$a=3$
C.$b=10$
D.$b=-1$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件还原完整的一元二次方程，再用配方法将方程变形为$(x+a)^2=b$的形式，最后对比系数判断选项即可。首先根据一元二次方程一般形式的定义，利用“整理后常数项为0”的条件求出被墨水覆盖的常数，得到完整方程后，再按照配方法“移项、加上一次项系数一半的平方”的步骤完成配方，最后对应得到a、b的值和选项比对即可。
【解析】
设被墨水覆盖的常数为$m$，则原方程为$x^2 -6x -1 = m$。
将方程整理为一般形式：移项得$x^2 -6x -1 - m = 0$，已知一般形式的常数项为0，因此$-1 - m = 0$，解得$m=-1$。
代入$m=-1$得原方程为$x^2 -6x -1 = -1$，化简得$x^2 -6x = 0$。
对该方程配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，方程两边同时加9得：
$x^2 -6x +9 = 9$，即$(x-3)^2=9$。
和配方形式$(x+a)^2 = b$对比，可得$a=-3$，$b=9$。
逐一判断选项，只有A选项表述正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式，配方法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考察一元二次方程基础概念和配方法的基础应用，解题关键是先根据常数项的限制条件还原完整方程，再按配方法标准步骤变形即可，注意配方时要给方程两边同时加相同的数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件还原完整的一元二次方程，再用配方法将方程变形为$(x+a)^2=b$的形式，最后对比系数判断选项即可。首先根据一元二次方程一般形式的定义，利用“整理后常数项为0”的条件求出被墨水覆盖的常数，得到完整方程后，再按照配方法“移项、加上一次项系数一半的平方”的步骤完成配方，最后对应得到a、b的值和选项比对即可。
【解析】
设被墨水覆盖的常数为$m$，则原方程为$x^2 -6x -1 = m$。
将方程整理为一般形式：移项得$x^2 -6x -1 - m = 0$，已知一般形式的常数项为0，因此$-1 - m = 0$，解得$m=-1$。
代入$m=-1$得原方程为$x^2 -6x -1 = -1$，化简得$x^2 -6x = 0$。
对该方程配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，方程两边同时加9得：
$x^2 -6x +9 = 9$，即$(x-3)^2=9$。
和配方形式$(x+a)^2 = b$对比，可得$a=-3$，$b=9$。
逐一判断选项，只有A选项表述正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式，配方法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考察一元二次方程基础概念和配方法的基础应用，解题关键是先根据常数项的限制条件还原完整方程，再按配方法标准步骤变形即可，注意配方时要给方程两边同时加相同的数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
6. 利用配方法解方程$x^2 - 6x - 6 = 0$时，方程两边都加上
9
。答案
6. 9
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确配方法的核心原理：当一元二次方程的二次项系数为1时，我们需要在方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程左边含未知数的部分凑成完全平方式，方便后续求解。首先观察给定方程$x^2 - 6x - 6 = 0$，二次项系数已经是1，接下来只需要找到一次项系数，计算它一半的平方，就是需要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，配方所需加的常数为一次项系数一半的平方。
对于方程$x^2 - 6x - 6 = 0$，一次项系数为$-6$，
一次项系数一半的平方为：$(\frac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$，
因此方程两边都加上9，即可将左边化为完全平方式$(x-3)^2$。
【答案】
9
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，属于解方程的必备基础技能，解题关键是牢记二次项系数为1时，配方添加的常数是一次项系数一半的平方，注意不要遗漏平方操作。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要明确配方法的核心原理：当一元二次方程的二次项系数为1时，我们需要在方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程左边含未知数的部分凑成完全平方式，方便后续求解。首先观察给定方程$x^2 - 6x - 6 = 0$，二次项系数已经是1，接下来只需要找到一次项系数，计算它一半的平方，就是需要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，配方所需加的常数为一次项系数一半的平方。
对于方程$x^2 - 6x - 6 = 0$，一次项系数为$-6$，
一次项系数一半的平方为：$(\frac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$，
因此方程两边都加上9，即可将左边化为完全平方式$(x-3)^2$。
【答案】
9
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，属于解方程的必备基础技能，解题关键是牢记二次项系数为1时，配方添加的常数是一次项系数一半的平方，注意不要遗漏平方操作。
【难度系数】
0.85
7. 配方:(1)$x^2 + 12x + \_\_\_\_\_\_ = (x + 6)^2$;
(2)$x^2 + \frac{1}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
(2)$x^2 + \frac{1}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
答案
(1) 36 (2) $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方和公式的结构：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。已知二次项和一次项求常数项时，常数项等于一次项系数一半的平方，括号内的常数就是一次项系数的一半，按照这个规律对应计算两小问即可。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式，对比等式两边，一次项系数为12，一次项系数的一半为$12÷2=6$，因此需要补充的常数项为$6^2=36$，代入验证：$x^2+12x+36=(x+6)^2$，符合要求。
(2) 本小问一次项系数为$\frac{1}{2}$，先求一次项系数的一半：$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{4}$，即等式右侧括号内的常数为$\frac{1}{4}$；再求常数项，即一次项系数一半的平方：$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，代入验证：$x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=(x+\frac{1}{4})^2$，符合要求。
【答案】
(1) $\boxed{36}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{16}}$，$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的理解，熟练掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一规律，是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方和公式的结构：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。已知二次项和一次项求常数项时，常数项等于一次项系数一半的平方，括号内的常数就是一次项系数的一半，按照这个规律对应计算两小问即可。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式，对比等式两边，一次项系数为12，一次项系数的一半为$12÷2=6$，因此需要补充的常数项为$6^2=36$，代入验证：$x^2+12x+36=(x+6)^2$，符合要求。
(2) 本小问一次项系数为$\frac{1}{2}$，先求一次项系数的一半：$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{4}$，即等式右侧括号内的常数为$\frac{1}{4}$；再求常数项，即一次项系数一半的平方：$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，代入验证：$x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=(x+\frac{1}{4})^2$，符合要求。
【答案】
(1) $\boxed{36}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{16}}$，$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的理解，熟练掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一规律，是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
8. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 2x - 168 = 0$；
(2)$2x^2 + 2x - \frac{5}{2} = 0$。
(1)$x^2 + 2x - 168 = 0$；
(2)$2x^2 + 2x - \frac{5}{2} = 0$。
答案
(1) $x_1=12, x_2=-14$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边变形为完全平方式，再通过开平方求解，通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②二次项系数化为1；③等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式；④开平方计算方程的根。第(1)题二次项系数已为1，直接按步骤操作即可；第(2)题二次项系数不为1，需先将二次项系数化为1再配方。
【解析】
(1) 解：
移项，得 $x^2 + 2x = 168$
配方，两边同时加$1^2$，得 $x^2 + 2x + 1 = 168 + 1$
整理得 $(x+1)^2 = 169$
开平方，得 $x+1 = ±13$
当$x+1=13$时，$x=12$；当$x+1=-13$时，$x=-14$
(2) 解：
二次项系数化为1，两边同时除以2，得 $x^2 + x - \frac{5}{4} = 0$
移项，得 $x^2 + x = \frac{5}{4}$
配方，两边同时加$(\frac{1}{2})^2$，得 $x^2 + x + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}$
整理得 $(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$
开平方，得 $x+\frac{1}{2} = ±\frac{\sqrt{6}}{2}$
解得 $x_1=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=12, x_2=-14$；(2) $x_1=\frac{\sqrt{6}-1}{2}, x_2=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作流程是解题的关键，要注意配方时必须给等式两边同时加相同的数，保证等式成立，二次项系数不为1时要先化简再配方。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边变形为完全平方式，再通过开平方求解，通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②二次项系数化为1；③等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式；④开平方计算方程的根。第(1)题二次项系数已为1，直接按步骤操作即可；第(2)题二次项系数不为1，需先将二次项系数化为1再配方。
【解析】
(1) 解：
移项，得 $x^2 + 2x = 168$
配方，两边同时加$1^2$，得 $x^2 + 2x + 1 = 168 + 1$
整理得 $(x+1)^2 = 169$
开平方，得 $x+1 = ±13$
当$x+1=13$时，$x=12$；当$x+1=-13$时，$x=-14$
(2) 解：
二次项系数化为1，两边同时除以2，得 $x^2 + x - \frac{5}{4} = 0$
移项，得 $x^2 + x = \frac{5}{4}$
配方，两边同时加$(\frac{1}{2})^2$，得 $x^2 + x + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}$
整理得 $(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$
开平方，得 $x+\frac{1}{2} = ±\frac{\sqrt{6}}{2}$
解得 $x_1=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=12, x_2=-14$；(2) $x_1=\frac{\sqrt{6}-1}{2}, x_2=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作流程是解题的关键，要注意配方时必须给等式两边同时加相同的数，保证等式成立，二次项系数不为1时要先化简再配方。
【难度系数】
0.7
9. 已知 $ xy=9, x-y=-3 $，求 $ x^2 + 3xy + y^2 $ 的值.
答案
9. 54
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和所求代数式的特征，我们已知$xy$和$x-y$的值，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值，可结合完全平方公式对所求代数式进行变形：根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，可推导出$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，将其代入所求代数式后，就能整体代入已知条件快速计算结果。
【解析】
解：根据完全平方公式变形可得：
$x^2 + y^2=(x-y)^2 + 2xy$
将其代入所求代数式整理得：
$x^2 + 3xy + y^2=(x^2+y^2)+3xy=(x-y)^2 + 2xy + 3xy=(x-y)^2 +5xy$
把$xy=9$，$x-y=-3$代入上式计算：
原式$=(-3)^2 +5×9=9+45=54$
【答案】
54
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，核心解题技巧是利用整体代入思想简化计算，避免求解未知数的具体值，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件和所求代数式的特征，我们已知$xy$和$x-y$的值，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值，可结合完全平方公式对所求代数式进行变形：根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，可推导出$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，将其代入所求代数式后，就能整体代入已知条件快速计算结果。
【解析】
解：根据完全平方公式变形可得：
$x^2 + y^2=(x-y)^2 + 2xy$
将其代入所求代数式整理得：
$x^2 + 3xy + y^2=(x^2+y^2)+3xy=(x-y)^2 + 2xy + 3xy=(x-y)^2 +5xy$
把$xy=9$，$x-y=-3$代入上式计算：
原式$=(-3)^2 +5×9=9+45=54$
【答案】
54
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，核心解题技巧是利用整体代入思想简化计算，避免求解未知数的具体值，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$，将它转化为$(x+a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为（
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
D
）.A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用配方法将给定的一元二次方程转化为指定形式，再计算$a^b$的值。解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，让等号左侧只含二次项和一次项；第二步给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式；第三步对比$(x+a)^2=b$的形式确定$a$和$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2023$
2. 配方：一次项系数为$-2$，它的一半是$-1$，平方为$1$，给等号两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
3. 左侧写成完全平方形式：
$(x - 1)^2 = 2024$
对比$(x+a)^2 = b$，可得$a = -1$，$b = 2024$
则$a^b = (-1)^{2024} = 1$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数乘方
【点评】
本题核心考查配方法的应用，熟练掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的步骤是解题的关键，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要用配方法将给定的一元二次方程转化为指定形式，再计算$a^b$的值。解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，让等号左侧只含二次项和一次项；第二步给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式；第三步对比$(x+a)^2=b$的形式确定$a$和$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2023$
2. 配方：一次项系数为$-2$，它的一半是$-1$，平方为$1$，给等号两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
3. 左侧写成完全平方形式：
$(x - 1)^2 = 2024$
对比$(x+a)^2 = b$，可得$a = -1$，$b = 2024$
则$a^b = (-1)^{2024} = 1$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数乘方
【点评】
本题核心考查配方法的应用，熟练掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的步骤是解题的关键，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.8
11. 解方程：$x^2 + 2x - 4 = 0.$
答案
$x_1=\sqrt{5}-1, x_2=-\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的基础题，首先观察方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，左侧二次三项式无法直接因式分解，可选择配方法或公式法求解。若用配方法，思路为：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后开方即可求出根；若用公式法，先确定$a、b、c$的取值，计算判别式判断根的情况后，代入求根公式计算即可。
【解析】
以下用配方法求解，步骤如下：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 2x = 4$
2. 配方，给等式两边同时加一次项系数一半的平方（即$1^2=1$）：
$x^2 + 2x +1 = 4+1$
将左侧整理为完全平方式：
$(x+1)^2=5$
3. 两边同时开平方，注意开平方有正负两个结果：
$x+1=\pm\sqrt{5}$
4. 移项求解$x$：
$x=-1\pm\sqrt{5}$
【答案】
$x_1=\sqrt{5}-1, x_2=-\sqrt{5}-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 配方法
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的常规题型，难度较低，解题时需注意开平方时不要遗漏负根，熟练掌握配方法、公式法等常用解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程求解的基础题，首先观察方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，左侧二次三项式无法直接因式分解，可选择配方法或公式法求解。若用配方法，思路为：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后开方即可求出根；若用公式法，先确定$a、b、c$的取值，计算判别式判断根的情况后，代入求根公式计算即可。
【解析】
以下用配方法求解，步骤如下：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 2x = 4$
2. 配方，给等式两边同时加一次项系数一半的平方（即$1^2=1$）：
$x^2 + 2x +1 = 4+1$
将左侧整理为完全平方式：
$(x+1)^2=5$
3. 两边同时开平方，注意开平方有正负两个结果：
$x+1=\pm\sqrt{5}$
4. 移项求解$x$：
$x=-1\pm\sqrt{5}$
【答案】
$x_1=\sqrt{5}-1, x_2=-\sqrt{5}-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 配方法
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的常规题型，难度较低，解题时需注意开平方时不要遗漏负根，熟练掌握配方法、公式法等常用解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
