1.下列表达错误的是()。

A.比a的2倍大1的数是$2a+1$
B.a的相反数与b的和是$-a+b$
C.比a的平方小1的数是$a^2 -1$
D.a的2倍与b的差的3倍是$2a -3b$

1. D

【分析】
这道题考查列代数式的相关知识，解题时需要逐一把每个选项的文字描述转化为对应的代数式，再和选项给出的式子对比判断正误。思考时要先拆解每个描述的运算顺序，明确先算什么、后算什么，需要优先计算的部分要注意添加括号，再对应列代数式验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：a的2倍为$2a$，比它大1的数就是$2a+1$，该选项表达正确；
B选项：a的相反数是$-a$，与b的和就是$-a + b$，该选项表达正确；
C选项：a的平方为$a^2$，比它小1的数就是$a^2 - 1$，该选项表达正确；
D选项：先算a的2倍与b的差，即$2a - b$，再算差的3倍，需要给差的整体乘3，结果为$3(2a - b)=6a - 3b$，和选项给出的$2a - 3b$不符，该选项表达错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；运算顺序；相反数的表示
【点评】
本题属于基础题型，核心考查将文字语言转化为数学代数式的能力，解题的易错点是忽略运算的先后顺序，比如本题D选项容易漏加括号，先计算b的3倍再算差，导致误判。
【难度系数】
0.9

2.一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位数是()。

A.abc
B.a+b+c
C.$100a + 10b + c$
D.$100c + 10b + a$

2. C

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确不同数位上的数字对应的计数单位：百位的计数单位是100，十位的计数单位是10，个位的计数单位是1。一个数位上的数字是几，就表示有几个对应的计数单位，最后把三个数位代表的数值相加，就能得到这个三位数的表达式，也可以通过举具体的三位数对照验证推导的规律是否正确。
【解析】
1. 百位数字是a，代表a个100，对应的数值为：$100× a=100a$；
2. 十位数字是b，代表b个10，对应的数值为：$10× b=10b$；
3. 个位数字是c，代表c个1，对应的数值为：$1× c=c$；
4. 三个数位的数值相加，可得这个三位数的表达式为：$100a + 10b + c$。
对选项逐一判断：
A选项$abc$表示a、b、c三个数相乘，不是三位数，错误；
B选项$a+b+c$是三个数字的和，不是三位数，错误；
C选项符合推导结果，正确；
D选项是将个位和百位的计数单位互换，得到的是颠倒原三位数个位、百位后的数，错误。
【答案】
C
【知识点】
1.用字母表示数 2.数位的意义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对不同数位计数单位的理解，掌握数位与对应计数单位的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9

3.今年苹果的价格比去年便宜了20%，已知今年苹果的价格是每千克a元，则去年苹果的价格是每千克（）。

A.(1+20%)a元
B.(1−20%)a元

3. C

【分析】首先确定单位“1”是去年苹果的价格，今年比去年便宜20%，说明今年的价格是去年价格的(1-20%)。已知今年价格是每千克a元，也就是去年价格的(1-20%)对应的具体量是a元，求单位“1”的量用除法计算，即可求出去年的价格。
【解析】设去年苹果的价格为每千克x元。
根据题意，今年价格是去年价格的(1-20%)，可列方程：
$x×(1-20\%)=a$
解方程得：$x=\frac{a}{1-20\%}$
因此去年苹果的价格为每千克$\frac{a}{1-20\%}$元。
【答案】C
【知识点】百分数应用、列代数式、量率对应
【点评】本题是百分数实际应用的基础题型，解题核心是找准单位“1”，明确两个年份价格的数量关系，记住“已知单位1求对应量用乘法，已知对应量求单位1用除法”，避免混淆乘除关系选错答案。
【难度系数】0.7

4.按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第1次输出的结果为1，第2次输出的结果为－4……则第2026次输出的结果为()。


A.－1
B.－2
C.－3
D.－4

4. A

【分析】
这是程序运算类的规律探究题，解题思路为先按照程序规则依次计算前几次的输出结果，找到结果的循环规律，再通过计算总次数对应循环中的位置，最终得到答案。首先先算前几次输出，排除不参与循环的部分，再用总次数减不参与循环的次数后除以周期求余数，根据余数对应循环中的结果即可。
【解析】
按照程序规则依次计算前几次输出：
第1次：输入$x=2$（偶数），输出$\frac{1}{2}×2=1$；
第2次：输入$x=1$（奇数），输出$1-5=-4$；
第3次：输入$x=-4$（偶数），输出$\frac{1}{2}×(-4)=-2$；
第4次：输入$x=-2$（偶数），输出$\frac{1}{2}×(-2)=-1$；
第5次：输入$x=-1$（奇数），输出$-1-5=-6$；
第6次：输入$x=-6$（偶数），输出$\frac{1}{2}×(-6)=-3$；
第7次：输入$x=-3$（奇数），输出$-3-5=-8$；
第8次：输入$x=-8$（偶数），输出$\frac{1}{2}×(-8)=-4$；
可见从第2次开始，输出结果以$-4、-2、-1、-6、-3、-8$为周期循环，周期长度为6。
第1次输出不参与循环，计算2026次对应的循环位置：$2026-1=2025$
求2025除以6的余数：$2025÷6=337······3$，余数为3，对应周期中第3个结果，即$-1$。
【答案】
A
【知识点】
程序运算、规律探究、有理数运算
【点评】
本题重点考查程序运算中的规律探究能力，解题的核心是准确计算前几次输出结果，找到正确的循环周期，再通过余数定位对应结果，计算时要注意区分不参与循环的部分，避免余数计算出错。
【难度系数】
0.65

5.单项式$-\dfrac{π x^2 y}{3}$的系数是，次数是。

5. $-\dfrac{π}{3}$ 3

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义。首先回忆：单项式的系数指的是单项式中的数字因数，要特别注意圆周率π是固定的常数，不属于字母；单项式的次数指的是单项式中所有字母的指数之和，计算时只需累加字母的指数，常数的指数不计入次数。接下来对应给定的单项式分别计算系数和次数即可。
【解析】
1. 计算系数：
单项式$-\dfrac{π x^2 y}{3}$可以拆分为$-\dfrac{π}{3} · x^2 y$，其中π是常数，属于数字部分，因此这个单项式的数字因数是$-\dfrac{π}{3}$，即系数为$-\dfrac{π}{3}$。
2. 计算次数：
该单项式中的字母为$x$和$y$，$x$的指数是2，$y$的指数是1，将所有字母的指数相加：$2+1=3$，因此该单项式的次数是3。
【答案】
$-\dfrac{π}{3}$；3
【知识点】
单项式的系数、单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将π当作字母，导致系数计算错误，或是计算次数时漏加y的指数1，准确掌握单项式的相关定义即可正确答题。
【难度系数】
0.8

6.已知代数式$x+2y+1$的值是3，则代数式$3 - x - 2y$的值是。

6. 1

【分析】
首先从已知条件入手，已知代数式$x+2y+1$的值为3，我们可以先通过移项计算出$x+2y$的整体值。再观察待求代数式$3 - x - 2y$，可以将其变形为$3-(x+2y)$的形式，不需要单独求出$x$、$y$的具体数值，只需把$x+2y$的结果整体代入变形后的式子，就能快速求出结果，整体代入的思路会大幅简化计算过程。
【解析】
解：由题意得$x + 2y + 1 = 3$
移项计算可得：$x + 2y = 3 - 1 = 2$
对待求式变形：$3 - x - 2y = 3 - (x + 2y)$
将$x + 2y = 2$代入变形后的式子：
$3 - (x + 2y) = 3 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值，整体代入法
【点评】
本题的核心是找到已知式和待求式的结构关联，运用整体代入的思想简化运算，不需要求解单个未知数，是代数式求值类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8

7.若整式$x^{n-2}-5x+2$是关于x的三次三项式，则n=。

7. 5

【分析】
解决本题首先要明确多项式“几次几项式”的定义：“几次”是指多项式中最高次项的次数，“三项式”是指多项式共包含3个单项式。本题给出的整式$x^{n-2}-5x+2$已经有3个项，因此只需满足最高次项的次数为3即可。最高次项为$x^{n-2}$，令该项的指数等于3，就能求出n的值。
【解析】
解：
∵ 整式$x^{n-2}-5x+2$是关于x的三次三项式
根据多项式次数的定义，最高次项的次数等于多项式的次数，可得：
$n-2=3$
移项计算得：$n=3+2=5$
【答案】
5
【知识点】
多项式的次数、多项式的项
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握多项式次数的定义，明确“几次几项式”中“次”对应的是最高次项的次数，直接代入列式计算即可得出结果。
【难度系数】
0.9

8.将下列各式填入相应的大括号中：
$-2, x^2 y, -\frac{a}{3}, 2x^2 + 3x - 1, \frac{π x^2 y^3}{2}, -y, \frac{3m + n}{π}, \frac{2x - y}{5}$。
单项式:{ …};
多项式:{ …};
整式:{ …}。

解:单项式:$\{-2,x^2 y,-\dfrac{a}{3},\dfrac{π x^2 y^3}{2},-y,\dots\}$；
多项式:$\{2x^2 + 3x - 1,\dfrac{3m + n}{π},\dfrac{2x - y}{5},\dots\}$；
整式:$\{-2,x^2 y,-\dfrac{a}{3},2x^2 + 3x - 1,\dfrac{π x^2 y^3}{2},-y,\dfrac{3m + n}{π},\dfrac{2x - y}{5},\dots\}$。

【分析】
要解决这道分类题，首先需要明确三个核心概念：①单项式：由数或字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意分母中不能含有字母（π是常数，不属于字母）；②多项式：几个单项式的和叫做多项式；③整式：单项式和多项式统称为整式。解题时先逐个判断每个式子的类型，先筛选出所有单项式，再从剩余式子里筛选出多项式，最后把所有单项式和多项式合并就是整式的集合。
【解析】
1. 判定单项式：
$-2$是单独的数，属于单项式；
$x^2 y$是字母的乘积形式，属于单项式；
$-\frac{a}{3}$是常数$-\frac{1}{3}$与字母$a$的乘积，属于单项式；
$\frac{π x^2 y^3}{2}$是常数$\frac{π}{2}$与字母$x^2 y^3$的乘积，π是常数不属于字母，属于单项式；
$-y$是单独的字母，属于单项式。
2. 判定多项式：
$2x^2 + 3x - 1$是单项式$2x^2$、$3x$、$-1$的和，属于多项式；
$\frac{3m + n}{π}$可变形为$\frac{3m}{π}+\frac{n}{π}$，是两个单项式的和，属于多项式；
$\frac{2x - y}{5}$可变形为$\frac{2x}{5}-\frac{y}{5}$，是两个单项式的和，属于多项式。
3. 判定整式：所有单项式和多项式都属于整式，因此上述所有式子均为整式。
【答案】
单项式:$\{-2,x^2 y,-\dfrac{a}{3},\dfrac{π x^2 y^3}{2},-y,\dots\}$；
多项式:$\{2x^2 + 3x - 1,\dfrac{3m + n}{π},\dfrac{2x - y}{5},\dots\}$；
整式:$\{-2,x^2 y,-\dfrac{a}{3},2x^2 + 3x - 1,\dfrac{π x^2 y^3}{2},-y,\dfrac{3m + n}{π},\dfrac{2x - y}{5},\dots\}$。
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式的定义
【点评】
本题重点考查整式相关概念的辨析，解题的易错点是误将π当作字母判断式子类型，牢固掌握相关概念即可快速准确完成分类。
【难度系数】
0.8

9.用代数式表示下列关系：
(1)a与b的平方和；
(2)比a与6的和的2倍大－2的数；
(3)商品的原价是a元，每次降价4％，经过两次降价后的价格；
(4)a的平方与b的平方的4倍的差。

(1) $a^2 + b^2$
(2) $2(a + 6) - 2$
(3) $(1-4\%)^2 a$ 元
(4) $a^2 - 4b^2$

【分析】
解决这类列代数式的问题，核心是准确拆解文字描述的运算顺序，逐个分析每小问的运算层级：
(1) 首先明确“平方和”的含义：是两个数先分别求平方，再相加，要注意和“和的平方”（先相加再平方）区分开；
(2) 按运算顺序，先算a与6的和，再算和的2倍，最后算比这个结果大-2，也就是加-2，等价于减2；
(3) 降价问题的规律：每次降价4%，说明每次降价后的价格是降价前的(1-4%)，经过两次降价就是连续两次乘(1-4%)，再乘原价即可；
(4) 先确定被减项和减项：被减数是a的平方，减数是b的平方的4倍，再作差即可。
【解析】
(1) a的平方是$a^2$，b的平方是$b^2$，两者的平方和为$a^2 + b^2$；
(2) 先求a与6的和：$a+6$，再求和的2倍：$2(a+6)$，比这个数大-2，即加上-2，化简后结果为$2(a+6) - 2$；
(3) 第一次降价后的价格为$a×(1-4\%)$，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降4%，所以两次降价后的价格为$a×(1-4\%)×(1-4\%)=(1-4\%)^2 a$元；
(4) a的平方是$a^2$，b的平方的4倍是$4b^2$，两者的差为$a^2 - 4b^2$。
【答案】
(1) $a^2 + b^2$
(2) $2(a + 6) - 2$
(3) $(1-4\%)^2 a$ 元
(4) $a^2 - 4b^2$
【知识点】
列代数式、百分率应用、运算顺序判断
【点评】
本题是列代数式的基础题型，解题的关键是准确理解文字表述的运算优先级，尤其要注意区分易混淆的表述如“平方和”与“和的平方”，同时掌握百分率增减变化的计算规律，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.7