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10.七年级学生在5名教师的带领下去动物园秋游,动物园的门票为每人40元。现有两种优惠方案,甲方案:带队教师免费,学生按八折收费;乙方案:师生都按七五折收费。
(1)若有m名学生,用含m的式子表示两种优惠方案各需多少元。
(2)当m=70时,采用哪种方案更优惠?
(3)当m=100时,采用哪种方案更优惠?
(1)若有m名学生,用含m的式子表示两种优惠方案各需多少元。
(2)当m=70时,采用哪种方案更优惠?
(3)当m=100时,采用哪种方案更优惠?
答案
10. 解:(1)甲方案:$m × 40 × 0.8 = 32m$(元)，
乙方案: $(m + 5) × 40 × 0.75 = 30(m + 5)$(元)。
(2)当 $m = 70$ 时，
按甲方案需付费 $32 × 70 = 2240$(元)，
按乙方案需付费 $30 × 75 = 2250$(元)，
所以采用甲方案更优惠。
(3)当 $m = 100$ 时，
按甲方案需付费 $32 × 100 = 3200$(元)，
按乙方案需付费 $30 × 105 = 3150$(元)，
所以采用乙方案更优惠。
乙方案: $(m + 5) × 40 × 0.75 = 30(m + 5)$(元)。
(2)当 $m = 70$ 时，
按甲方案需付费 $32 × 70 = 2240$(元)，
按乙方案需付费 $30 × 75 = 2250$(元)，
所以采用甲方案更优惠。
(3)当 $m = 100$ 时，
按甲方案需付费 $32 × 100 = 3200$(元)，
按乙方案需付费 $30 × 105 = 3150$(元)，
所以采用乙方案更优惠。
解析
【分析】
解题思路：(1)先明确两种优惠方案的计费规则：甲方案仅学生收费，打八折，总费用=学生人数×门票原价×对应折扣；乙方案师生均收费，打七五折，总费用=（学生人数+教师人数）×门票原价×对应折扣，代入对应数值即可列出含m的代数式。(2)(3)问只需将给定的m值代入第(1)问得到的两个代数式中，计算出两种方案的具体费用，再比较费用大小，费用更低的方案更优惠。
【解析】
(1) 甲方案：带队教师免费，学生按八折收费，费用为：
$ m × 40 × 0.8 = 32m $（元）
乙方案：师生共$ (m+5) $人，都按七五折收费，费用为：
$ (m+5) × 40 × 0.75 = 30(m+5) $（元）
(2) 当$ m=70 $时：
甲方案费用：$ 32 × 70 = 2240 $（元）
乙方案费用：$ 30 × (70+5) = 30 × 75 = 2250 $（元）
因为$ 2240 ＜ 2250 $，因此甲方案更优惠。
(3) 当$ m=100 $时：
甲方案费用：$ 32 × 100 = 3200 $（元）
乙方案费用：$ 30 × (100+5) = 30 × 105 = 3150 $（元）
因为$ 3200 ＞ 3150 $，因此乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案需$32m$元，乙方案需$30(m+5)$元；
(2) 当$m=70$时，采用甲方案更优惠；
(3) 当$m=100$时，采用乙方案更优惠。
【知识点】
列代数式、代数式求值、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中常见的购票优惠场景命题，考查代数式的实际应用能力，解题核心是准确梳理不同方案的计费规则，正确列出代数式后代入数值比较大小即可，解题时注意不要遗漏乙方案中的教师人数。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1)先明确两种优惠方案的计费规则：甲方案仅学生收费，打八折，总费用=学生人数×门票原价×对应折扣；乙方案师生均收费，打七五折，总费用=（学生人数+教师人数）×门票原价×对应折扣，代入对应数值即可列出含m的代数式。(2)(3)问只需将给定的m值代入第(1)问得到的两个代数式中，计算出两种方案的具体费用，再比较费用大小，费用更低的方案更优惠。
【解析】
(1) 甲方案：带队教师免费，学生按八折收费，费用为：
$ m × 40 × 0.8 = 32m $（元）
乙方案：师生共$ (m+5) $人，都按七五折收费，费用为：
$ (m+5) × 40 × 0.75 = 30(m+5) $（元）
(2) 当$ m=70 $时：
甲方案费用：$ 32 × 70 = 2240 $（元）
乙方案费用：$ 30 × (70+5) = 30 × 75 = 2250 $（元）
因为$ 2240 ＜ 2250 $，因此甲方案更优惠。
(3) 当$ m=100 $时：
甲方案费用：$ 32 × 100 = 3200 $（元）
乙方案费用：$ 30 × (100+5) = 30 × 105 = 3150 $（元）
因为$ 3200 ＞ 3150 $，因此乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案需$32m$元，乙方案需$30(m+5)$元；
(2) 当$m=70$时，采用甲方案更优惠；
(3) 当$m=100$时，采用乙方案更优惠。
【知识点】
列代数式、代数式求值、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中常见的购票优惠场景命题，考查代数式的实际应用能力，解题核心是准确梳理不同方案的计费规则，正确列出代数式后代入数值比较大小即可，解题时注意不要遗漏乙方案中的教师人数。
【难度系数】
0.8
11. 图①是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方法拼成一个边长为$m+n$的正方形。
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积。
方法一：
方法二：
(2)观察图②，写出$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$三个代数式之间的等量关系：
(3)根据(2)中你发现的等量关系，解决如下问题：若$a+b=9,ab=5$，求$(a-b)^2$的值。
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积。
方法一：
$(m+n)^2 -4mn$
；方法二：
$(m-n)^2$
。(2)观察图②，写出$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$三个代数式之间的等量关系：
$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$
。(3)根据(2)中你发现的等量关系，解决如下问题：若$a+b=9,ab=5$，求$(a-b)^2$的值。
答案
11. 解:(1) $(m+n)^2 -4mn$ $(m-n)^2$
(2) $(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn$
(3) $(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab=9^2 -4×5=81-20=61$。
(2) $(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn$
(3) $(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab=9^2 -4×5=81-20=61$。
解析
【分析】
（1）求阴影部分面积可从两个角度思考：一是用大正方形总面积减去4个空白小长方形的面积，先确定大正方形边长为$m+n$，单个小长方形面积为$mn$，代入即可得到表达式；二是直接观察阴影形状，阴影为正方形，推导得其边长为$m-n$，再用正方形面积公式计算。
（2）两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，因此两个表达式相等，整理即可得到三个代数式的等量关系。
（3）将$a+b$和$ab$的值直接代入（2）中得到的等量关系，替换对应字母计算即可求出结果。
【解析】
(1) 方法一：图②中大正方形的边长为$m+n$，面积为$(m+n)^2$，4个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去4个小长方形面积，即$(m+n)^2 -4mn$。
方法二：阴影部分是边长为$m-n$的正方形，因此面积为$(m-n)^2$。
(2) 由于两种方法表示的是同一阴影的面积，因此两式相等，可得等量关系：$(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn$。
(3) 根据上述等量关系，将$m$替换为$a$，$n$替换为$b$，得$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$，代入$a+b=9$，$ab=5$：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=9^2 -4×5\\&=81-20\\&=61\end{aligned}$
【答案】
(1) $(m+n)^2 -4mn$；$(m-n)^2$
(2) $(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn$
(3) $61$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；面积法
【点评】
本题借助几何图形推导完全平方公式的变形，通过数形结合的方式直观呈现了代数式之间的等量关系，重点考查公式的灵活变形与代入计算能力，掌握完全平方公式的变形是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）求阴影部分面积可从两个角度思考：一是用大正方形总面积减去4个空白小长方形的面积，先确定大正方形边长为$m+n$，单个小长方形面积为$mn$，代入即可得到表达式；二是直接观察阴影形状，阴影为正方形，推导得其边长为$m-n$，再用正方形面积公式计算。
（2）两种方法表示的是同一个阴影部分的面积，因此两个表达式相等，整理即可得到三个代数式的等量关系。
（3）将$a+b$和$ab$的值直接代入（2）中得到的等量关系，替换对应字母计算即可求出结果。
【解析】
(1) 方法一：图②中大正方形的边长为$m+n$，面积为$(m+n)^2$，4个小长方形的总面积为$4mn$，因此阴影部分面积为大正方形面积减去4个小长方形面积，即$(m+n)^2 -4mn$。
方法二：阴影部分是边长为$m-n$的正方形，因此面积为$(m-n)^2$。
(2) 由于两种方法表示的是同一阴影的面积，因此两式相等，可得等量关系：$(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn$。
(3) 根据上述等量关系，将$m$替换为$a$，$n$替换为$b$，得$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$，代入$a+b=9$，$ab=5$：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=9^2 -4×5\\&=81-20\\&=61\end{aligned}$
【答案】
(1) $(m+n)^2 -4mn$；$(m-n)^2$
(2) $(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn$
(3) $61$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；面积法
【点评】
本题借助几何图形推导完全平方公式的变形，通过数形结合的方式直观呈现了代数式之间的等量关系，重点考查公式的灵活变形与代入计算能力，掌握完全平方公式的变形是解题的核心。
【难度系数】
0.7
