1. 阅读与思考:请阅读下列材料,完成相应任务。
在勾股定理的学习过程中,我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理。如图1是古印度的“无字证明”:过正方形ABCD的中心O,作两条互相垂直的直线,将正方形分成4份,所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形。这种方法,不用运算,单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理。
意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理,其中图2(1)的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成的,图2(3)的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成。设图2(1)中空白部分的面积为$ S_1 $,图2(3)中空白部分的面积为$ S_2 $。
任务:
(1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程,请你帮他补充完整。
解:根据题意,得$ S_1 = \_\_\_\_\_\_ = a^2 + b^2 + ab $,$ S_2 = c^2 + 2 × \frac{1}{2}ab = c^2 + ab $。
因为$ S_1 = S_2 $,
所以,即。
(2)我国是最早了解勾股定理的国家之一。如图3(1)是边长分别为$ a,b $的两个正方形,经如图3(2)所示的割补可以得到边长为$ c $的正方形,且面积等于割补前的两个正方形的面积之和。利用这个方法可以验证勾股定理。则图3所示的割补过程:割①补,割补⑥,割③补。
(3)在初中的数学学习中,一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解释。可以借助图4直观地解释的代数恒等式为。借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性,从而帮助我们解决问题,在此过程中体现的数学思想是。(填字母)
A.分类讨论思想
B.公理化思想
C.数形结合思想
D.特殊到一般的思想
(4)借助图5可以直观解释的式子为。(填序号)
①$ (a + 3)^2 = a^2 + 9 $;②$ (a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9 $;③$ (a + 3)^2 ≠ a^2 + 9 $;④$ (a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9 $。

1 解:(1)$a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab × 2$ $a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$ $a^2 + b^2 = c^2$
(2)④ ⑤ ②
如图,因为四边形ABDE、四边形BCHL、四边形ACFG都是正方形,
所以$∠GAC = ∠ABD = ∠BDE = ∠AED = 90°,AC = AG = a,AB = AE = BD = DE = c,BC = CH = BL = b$,所以$∠BAC = ∠EAG = 90° - ∠CAE$,所以$△ABC ≌ △AEG(SAS)$,所以$BC = EG = b$,$∠ABC = ∠AEG$,
因为$AC // FG$,所以$∠CAE = ∠AEG$,
因为$∠QAH + ∠CAE = ∠BAE = 90°,∠PEF + ∠AEG = 180° - ∠AED = 90°$,所以$∠QAH = ∠PEF$,
因为$AH = AC - HC = AC - BC = a - b,EF = a - b$,所以$AH = EF$,又因为$∠AHQ = ∠F = 90°$,
所以$△AHQ ≌ △EFP(ASA)$,所以割①补④。
因为$DK ⊥ BF$,所以$∠BKD = ∠G = 90°$,
因为$∠KBD + ∠ABC = 90°,∠GAE + ∠AEG = 90°$,所以$∠KBD = ∠GAE$,
所以$△KBD ≌ △GAE(AAS)$,所以割⑤补⑥。
因为$DE // AB,BC // HL$,所以$∠DPK = ∠ABC = ∠BQL$,
因为$∠DKP = ∠L = 90°,DK = EG = BC = BL = b$,
所以$△DKP ≌ △BLQ(AAS)$,所以割③补②。

(3)$(3a)^2 = 9a^2$ C
(4)②

2. [2025北京西城区月考节选]勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多，勾股定理常见的一些证明方法有几何证明、代数证明、面积证明等。当两个全等的直角三角形按如图方式摆放时，可以用“面积法”来证明。
以下是证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：
将两个全等的直角三角形按如图方式摆放，其中$∠ DAB = 90°$。试说明：$a^2 + b^2 = c^2$。
解：连接$BD$，$CD$，过点$D$作$BC$边上的高$DF ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$F$，则$DF = EC = b - a$。

2 解:因为$S_{四边形ABCD} = S_{△ACD} + S_{△ABC} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ABCD} = S_{△ABD} + S_{△BCD} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
所以$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
所以$a^2 + b^2 = c^2$。