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1. 下列四组数据中,能作为直角三角形的三边长的一组是（
A.1,2,3
B.4,5,6
C.5,12,13
D.13,14,15
C
）A.1,2,3
B.4,5,6
C.5,12,13
D.13,14,15
答案
1. C
选项A：$1 + 2 = 3$,无法构成三角形，不合题意
选项B：$4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$,$6^{2} = 36$,$4^{2} + 5^{2} ≠ 6^{2}$，不合题意
选项C：$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$,$13^{2} = 169$,$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，符合题意
选项D：$13^{2} + 14^{2} = 169 + 196 = 365$,$15^{2} = 225$,$13^{2} + 14^{2} ≠ 15^{2}$，不合题意
选项A：$1 + 2 = 3$,无法构成三角形，不合题意
选项B：$4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$,$6^{2} = 36$,$4^{2} + 5^{2} ≠ 6^{2}$，不合题意
选项C：$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$,$13^{2} = 169$,$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，符合题意
选项D：$13^{2} + 14^{2} = 169 + 196 = 365$,$15^{2} = 225$,$13^{2} + 14^{2} ≠ 15^{2}$，不合题意
2. 教材P12T3变式 [2026三明三元区期末] 如图，$△ ABC$的每个顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，则$∠ ABC$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
2. B
根据勾股定理,得$AB^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20$,$AC^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20$,$BC^{2} = 2^{2} + 6^{2} = 40$,所以$AB = AC$,$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$,所以$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ A = 90°$,所以$∠ ABC = 45°$。
根据勾股定理,得$AB^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20$,$AC^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20$,$BC^{2} = 2^{2} + 6^{2} = 40$,所以$AB = AC$,$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$,所以$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ A = 90°$,所以$∠ ABC = 45°$。
3. [2026泰州二中附中期中改编]如图,已知M,N是线段AB上的两点,$AM=MN=2,NB=1$,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则$△ ABC$一定是 (
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
3. B
因为$AC = AM + MN = 4$,$BC = MN + NB = 3$,$AB = AM + MN + NB = 2 + 2 + 1 = 5$,所以$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$,所以$△ ABC$一定是直角三角形。
因为$AC = AM + MN = 4$,$BC = MN + NB = 3$,$AB = AM + MN + NB = 2 + 2 + 1 = 5$,所以$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$,所以$△ ABC$一定是直角三角形。
4. [2026 达州月考] 如图,在锐角三角形ABC中,AB=13,AC=15,点D是BC边上一点,BD=5,AD=12,求BC的长。
答案
4. 解:在$△ ABD$中,$AB = 13$,$BD = 5$,$AD = 12$,
因为$BD^{2} + AD^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169$,$AB^{2} = 13^{2} = 169$,
所以$BD^{2} + AD^{2} = AB^{2}$,所以$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理,得$CD^{2} = AC^{2} - AD^{2} = 15^{2} - 12^{2} = 9^{2}$,所以$CD = 9$,
所以$BC = BD + CD = 5 + 9 = 14$。
因为$BD^{2} + AD^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169$,$AB^{2} = 13^{2} = 169$,
所以$BD^{2} + AD^{2} = AB^{2}$,所以$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理,得$CD^{2} = AC^{2} - AD^{2} = 15^{2} - 12^{2} = 9^{2}$,所以$CD = 9$,
所以$BC = BD + CD = 5 + 9 = 14$。
5. [2026 邯郸期末] 下列各组数据是勾股数的是（
A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$4,5,6$
C.$0.3,0.4,0.5$
D.$9,40,41$
D
）A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$4,5,6$
C.$0.3,0.4,0.5$
D.$9,40,41$
答案
5. D
$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$都不是正整数,所以$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$不是勾股数,A项不符合题意;$4^{2} + 5^{2} ≠ 6^{2}$,不能构成直角三角形,所以4,5,6不是勾股数,B项不符合题意;0.3,0.4,0.5都不是正整数,所以0.3,0.4,0.5不是勾股数,C项不符合题意;$9^{2} + 40^{2} = 41^{2}$,能构成直角三角形,且9,40,41都是正整数,D项符合题意。
$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$都不是正整数,所以$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$不是勾股数,A项不符合题意;$4^{2} + 5^{2} ≠ 6^{2}$,不能构成直角三角形,所以4,5,6不是勾股数,B项不符合题意;0.3,0.4,0.5都不是正整数,所以0.3,0.4,0.5不是勾股数,C项不符合题意;$9^{2} + 40^{2} = 41^{2}$,能构成直角三角形,且9,40,41都是正整数,D项符合题意。
6. [2026郑州四中期中]若8,15,a是一组勾股数,则a的值为
17
。答案
6. 17
7. 教材P12T5变式 [2026青岛三十九中期中]小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第
15
个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形。答案
7. 15
因为小淇同学握住第7个结,所以小惠和小淇之间有6个单位长度,因为6,8,10是一组勾股数,且$6 + 8 + 10 = 24$,所以小婷同学应该握住第15个结,拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形。
因为小淇同学握住第7个结,所以小惠和小淇之间有6个单位长度,因为6,8,10是一组勾股数,且$6 + 8 + 10 = 24$,所以小婷同学应该握住第15个结,拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形。
8. [2025长春期中]如图,点E在正方形ABCD内,AE=6,BE=8,AB=10。
(1)△ABE是直角三角形吗?为什么?
(2)请求出阴影部分的面积S。
(1)△ABE是直角三角形吗?为什么?
(2)请求出阴影部分的面积S。
答案
8. 解:(1)$△ ABE$是直角三角形。理由如下:
因为$6^{2} + 8^{2} = 10^{2}$,所以$AE^{2} + BE^{2} = AB^{2}$,
所以$△ ABE$是直角三角形,$∠ AEB = 90°$。
(2)阴影部分的面积$S = S_{\mathrm{正方形}ABCD} - S_{\mathrm{三角形}ABE} = 10^{2} - \frac{1}{2} × 6 × 8 = 76$。
因为$6^{2} + 8^{2} = 10^{2}$,所以$AE^{2} + BE^{2} = AB^{2}$,
所以$△ ABE$是直角三角形,$∠ AEB = 90°$。
(2)阴影部分的面积$S = S_{\mathrm{正方形}ABCD} - S_{\mathrm{三角形}ABE} = 10^{2} - \frac{1}{2} × 6 × 8 = 76$。
