9. [2025漳州期中]给出下列四个说法：
①由于0.3,0.4,0.5不是勾股数,所以以0.3,0.4,0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3是勾股数；
③若$a,b,c$是勾股数,且$c$最大,则一定有$a^2 + b^2 = c^2$；
④若三个整数$a,b,c(c$最大$)$是直角三角形的三边长,则$2a,2b,2c$一定是勾股数。
其中正确的是 ()

A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

9 C 由于0.3,0.4,0.5不是整数,所以0.3,0.4,0.5不是勾股数,但是$0.3^2 + 0.4^2 = 0.5^2$,所以以0.3,0.4,0.5为边长的三角形是直角三角形,故①说法错误;虽然以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,但是0.5,1.2,1.3不是整数,所以0.5,1.2,1.3不是勾股数,故②说法错误;若a,b,c是勾股数,且c最大,则一定有$a^2 + b^2 = c^2$,故③说法正确;若三个整数a,b,c(c最大)是直角三角形的三边长,则$a^2 + b^2 = c^2$,所以$(2a)^2 + (2b)^2 = (2c)^2$,所以2a,2b,2c一定是勾股数,故④说法正确。

10. [2026 盐城期中] 已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且满足$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$，则$△ ABC$的形状为（）

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形

10 C 因为$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$,所以$a - b = 0$,$a^2 + b^2 - c^2 = 0$,所以$a = b$,$△ABC$是直角三角形,所以$△ABC$是等腰直角三角形。

11. 天星原创 如图，分别以$△ ABC$的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，若$S_1 + S_2 = S_3$，则$△ ABC$为________三角形。

11 直角 由题意,得 $S_1 = π( \frac{1}{2}AC )^2 = \frac{1}{4}πAC^2$,$S_2 = π( \frac{1}{2}BC )^2 = \frac{1}{4}πBC^2$,$S_3 = π( \frac{1}{2}AB )^2 = \frac{1}{4}πAB^2$。因为$S_1 + S_2 = S_3$,即$\frac{1}{4}πAC^2 + \frac{1}{4}πBC^2 = \frac{1}{4}πAB^2$,所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$,所以$△ABC$为直角三角形。

12. [2026茂名期末]如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得$AB=9\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$AD=17\ \mathrm{m}$，且$∠ ABC=90°$，则这块菜地的面积是$\mathrm{m}^2$。

12 114 连接AC,由勾股定理,得$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 225$,所以$AC = 15\ \mathrm{m}$,因为$CD = 8\ \mathrm{m}$,$AD = 17\ \mathrm{m}$,所以$AC^2 + CD^2 = 15^2 + 8^2 = 289$,$AD^2 = 17^2 = 289$,所以$AC^2 + CD^2 = AD^2$,所以$△ACD$是直角三角形,$∠ACD = 90°$,所以$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ACD} = \frac{1}{2}AB · BC + \frac{1}{2}AC · CD = \frac{1}{2}×9 × 12 + \frac{1}{2}×15 × 8 = 114(\mathrm{m}^2)$,所以这块菜地的面积是$114\ \mathrm{m}^2$。

13. [2025扬州中考]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为。

13 11,60,61 通过观察可以发现:第①组勾股数分别为$2×1 + 1 = 3$,$2×1^2 + 2×1 = 4$,$2×1^2 + 2×1 + 1 = 5$;第②组勾股数分别为$2×2 + 1 = 5$,$2×2^2 + 2×2 = 12$,$2×2^2 + 2×2 + 1 = 13$;第③组勾股数分别为$2×3 + 1 = 7$,$2×3^2 + 2×3 = 24$,$2×3^2 + 2×3 + 1 = 25$;第④组勾股数为$2×4 + 1 = 9$,$2×4^2 + 2×4 = 40$,$2×4^2 + 2×4 + 1 = 41$。由此可知,第⑤组勾股数为$2×5 + 1 = 11$,$2×5^2 + 2×5 = 60$,$2×5^2 + 2×5 + 1 = 61$。

14. [2025郑州期中]如图,点D是△ABC边BC的中点,过点D作DE⊥BC交AB于点E,BD=5,DE=$\frac{15}{4}$,AE=$\frac{7}{4}$,AC=6,△ABC是直角三角形吗？请通过计算说明理由。

14 解:△ABC是直角三角形。理由如下:
如图,连接CE,
因为$DE⊥BC$,所以$∠BDE = 90°$,
在$\mathrm{Rt}△BDE$中,$BD=5$,$DE = \frac{15}{4}$,由勾股定理,得$BE = \frac{25}{4}$,
因为点D是△ABC边BC的中点,$DE⊥BC$,
所以DE是线段BC的垂直平分线,所以$CE = BE = \frac{25}{4}$,
因为$CE^2 = (\frac{25}{4})^2 = \frac{625}{16}$,$AE^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$,$AC^2 = 6^2 = 36$,
$\frac{49}{16} + 36 = \frac{625}{16}$,所以$AE^2 + AC^2 = CE^2$,所以$∠A = 90°$,
所以△ABC是直角三角形。

15. 推理能力 [2025 成都锦江区月考] 满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三个正整数，称为勾股数。
(1) 请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10；②9，，15；③9，40，。
(2) 小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成 $2mn$，那么另外两个数可以写成 $m^2 + n^2, m^2 - n^2$，如 $4 = 2 × 2 × 1, 5 = 2^2 + 1^2, 3 = 2^2 - 1^2$，请你帮小明说明这三个数 $2mn, m^2 + n^2, m^2 - n^2$ 是勾股数组。
(3) 如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，那么 $m + n = $ 。

(1)6 12 41
(2)$(2mn)^2 = 4m^2n^2$，$(m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4$，$(m^2 - n^2)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4$，
显然，$m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2$，
即$(m^2 + n^2)^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2$，
所以$2mn,m^2 + n^2,m^2 - n^2$是勾股数组。
(3)7
28,96,100约去公因数4，得到7,24,25，其中24=2×3×4，因为$25=4^2+3^2$，$7=4^2-3^2$，所以m=4,n=3，所以m+n=7。