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1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$,$CE$是$△ ABC$的两条中线,$P$是$AD$上的一个动点,则下列线段的长等于$BP+EP$最小值的是(
A.$BC$
B.$CE$
C.$AD$
D.$AC$
B
).A.$BC$
B.$CE$
C.$AD$
D.$AC$
答案
1. B
解析
【分析】
这是典型的轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①先结合等腰三角形的性质，确定AD是BC的垂直平分线，因此点B关于AD的对称点为点C；②利用轴对称的性质，将BP转化为和它相等的CP，这样BP+EP就转化为CP+EP；③根据两点之间线段最短，CP+EP的最小值就是点C到点E的线段长度，即可得出答案。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
∴$AD$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一），
∴点$B$与点$C$关于$AD$对称，
∴$BP=CP$，
∴$BP+EP=CP+EP$。
根据两点之间线段最短，当$E$、$P$、$C$三点共线时，$CP+EP$取得最小值，最小值为$CE$的长度，
即$BP+EP$的最小值等于$CE$的长。
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 最短路径问题
3. 线段垂直平分线性质
【点评】
本题将等腰三角形的性质与最短路径问题结合，解题的核心是利用轴对称对线段进行等量转化，再结合两点之间线段最短的原理求解，是轴对称性质在最值问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
这是典型的轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①先结合等腰三角形的性质，确定AD是BC的垂直平分线，因此点B关于AD的对称点为点C；②利用轴对称的性质，将BP转化为和它相等的CP，这样BP+EP就转化为CP+EP；③根据两点之间线段最短，CP+EP的最小值就是点C到点E的线段长度，即可得出答案。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
∴$AD$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一），
∴点$B$与点$C$关于$AD$对称，
∴$BP=CP$，
∴$BP+EP=CP+EP$。
根据两点之间线段最短，当$E$、$P$、$C$三点共线时，$CP+EP$取得最小值，最小值为$CE$的长度，
即$BP+EP$的最小值等于$CE$的长。
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 最短路径问题
3. 线段垂直平分线性质
【点评】
本题将等腰三角形的性质与最短路径问题结合，解题的核心是利用轴对称对线段进行等量转化，再结合两点之间线段最短的原理求解，是轴对称性质在最值问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
2. 如图，要在燃气管道$l$上修建一个泵站，分别向$A$，$B$两处供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？请说明理由。
答案
2. 解 如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点 P,连接 AP,则泵站修在管道的 P 点处,可使所用的输气管线 AP+BP 最短.
理由:
在直线 l 上任取一点 E,连接 AE,BE,A'E.
∵A,A'关于直线 l 对称,
∴AP=A'P.
同理 AE=A'E,
∵AP+BP=A'P+BP=A'B,
AE+BE=A'E+BE＞A'B,
∴AP+BP＜AE+BE.
∵E 是任意取的一点,
∴AP+BP 最短.
解析
【分析】
这是典型的同侧两点最短路径问题，解题核心是通过轴对称变换将同侧点转化为异侧点，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度，结合线段公理求解。思考步骤如下：①要使直线l上动点P到A、B的距离和最短，需将AP、BP转化到同一条线段上，因此先作点A关于直线l的对称点，利用轴对称性质可得AP=A'P，此时AP+BP转化为A'P+BP；②根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，A'P+BP的和最小，对应交点就是所求点；③最后任取直线上另一点，利用三角形三边关系即可证明该点的路径最短。
【解析】
第一步：确定泵站位置
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与直线$l$的交点记为P，点P即为泵站的修建位置。
第二步：证明$AP+BP$最短
在直线$l$上任取一个不与P重合的点E，连接$AE$、$BE$、$A'E$。
1. 由轴对称的性质可知，点A和$A'$关于直线$l$对称，因此$AP=A'P$，$AE=A'E$。
2. 对路径和做转化：$AP+BP=A'P+BP=A'B$，$AE+BE=A'E+BE$。
3. 在$△ A'EB$中，根据三角形三边关系（两边之和大于第三边），可得$A'E+BE＞A'B$，代入等量关系即$AE+BE＞AP+BP$。
由于E是直线$l$上任意选取的异于P的点，因此点P处的输气管线长度$AP+BP$最短。
【答案】
如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点 P,连接 AP,则泵站修在管道的 P 点处,可使所用的输气管线 AP+BP 最短.
理由:
在直线 l 上任取一点 E,连接 AE,BE,A'E.
∵A,A'关于直线 l 对称,
∴AP=A'P.
同理 AE=A'E,
∵AP+BP=A'P+BP=A'B,
AE+BE=A'E+BE＞A'B,
∴AP+BP＜AE+BE.
∵E 是任意取的一点,
∴AP+BP 最短.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径问题的基础经典题型，核心考查轴对称变换的应用，掌握“同侧点作对称转化为异侧点连线”的模型，可快速解决同类实际应用的最短路径问题。
【难度系数】
0.8
这是典型的同侧两点最短路径问题，解题核心是通过轴对称变换将同侧点转化为异侧点，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度，结合线段公理求解。思考步骤如下：①要使直线l上动点P到A、B的距离和最短，需将AP、BP转化到同一条线段上，因此先作点A关于直线l的对称点，利用轴对称性质可得AP=A'P，此时AP+BP转化为A'P+BP；②根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，A'P+BP的和最小，对应交点就是所求点；③最后任取直线上另一点，利用三角形三边关系即可证明该点的路径最短。
【解析】
第一步：确定泵站位置
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与直线$l$的交点记为P，点P即为泵站的修建位置。
第二步：证明$AP+BP$最短
在直线$l$上任取一个不与P重合的点E，连接$AE$、$BE$、$A'E$。
1. 由轴对称的性质可知，点A和$A'$关于直线$l$对称，因此$AP=A'P$，$AE=A'E$。
2. 对路径和做转化：$AP+BP=A'P+BP=A'B$，$AE+BE=A'E+BE$。
3. 在$△ A'EB$中，根据三角形三边关系（两边之和大于第三边），可得$A'E+BE＞A'B$，代入等量关系即$AE+BE＞AP+BP$。
由于E是直线$l$上任意选取的异于P的点，因此点P处的输气管线长度$AP+BP$最短。
【答案】
如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点 P,连接 AP,则泵站修在管道的 P 点处,可使所用的输气管线 AP+BP 最短.
理由:
在直线 l 上任取一点 E,连接 AE,BE,A'E.
∵A,A'关于直线 l 对称,
∴AP=A'P.
同理 AE=A'E,
∵AP+BP=A'P+BP=A'B,
AE+BE=A'E+BE＞A'B,
∴AP+BP＜AE+BE.
∵E 是任意取的一点,
∴AP+BP 最短.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径问题的基础经典题型，核心考查轴对称变换的应用，掌握“同侧点作对称转化为异侧点连线”的模型，可快速解决同类实际应用的最短路径问题。
【难度系数】
0.8
3.已知M，N两地间隔两条河流，第一条河流的河岸为直线j，k，第二条河流的河岸为直线l，g，所有的河岸皆平行。现要在两条河上分别修两座桥AB，CD，两座桥修在何处，才能使从M到N的路径M—A—B—C—D—N最短？且河上的桥必须与河岸垂直。（要求：保留作图痕迹，不写画法）
答案
3. 解 如图,两座桥 AB,CD 即为所求.
解析
【分析】
要解决修桥使路径最短的问题，首先明确桥必须与河岸垂直，因此桥的长度等于对应河流的宽度，是固定不变的，所以我们只需要保证除桥长之外的路径（MA+BC+DN）最短即可。我们可以利用平移的性质，将点M沿垂直河岸的方向向下平移第一条河的宽度得到点M'，将点N沿垂直河岸的方向向上平移第二条河的宽度得到点N'，根据“两点之间线段最短”，连接M'N'的线段就是最短的剩余路径，它与河岸k、l的交点就是建桥的端点B、C，再作出垂直于河岸的桥就能得到最短路径。
【解析】
1. 因为桥AB、CD与河岸垂直，所以AB的长度等于j、k之间的河宽，CD的长度等于l、g之间的河宽，二者均为定值，因此路径总长的长短由MA+BC+DN的长度决定。
2. 将点M沿垂直于河岸的方向向下平移，平移距离等于第一条河的宽度（即AB的长度），得到点M'；将点N沿垂直于河岸的方向向上平移，平移距离等于第二条河的宽度（即CD的长度），得到点N'。
3. 根据两点之间线段最短，连接M'N'，分别交河岸k于点B、交河岸l于点C。
4. 过点B作AB⊥j，交河岸j于点A，过点C作CD⊥g，交河岸g于点D，此时得到的桥AB、CD即可使路径M—A—B—C—D—N最短。
【答案】
如图，两座桥AB，CD即为所求。
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的实际应用问题，解题核心是通过平移将固定长度的桥长从总路径中剥离，把复杂的最短路径问题转化为常见的两点之间线段最短的问题，体现了转化思想在几何问题中的应用，需要熟练掌握平移的性质和最短路径的常见求解思路。
【难度系数】
0.6
要解决修桥使路径最短的问题，首先明确桥必须与河岸垂直，因此桥的长度等于对应河流的宽度，是固定不变的，所以我们只需要保证除桥长之外的路径（MA+BC+DN）最短即可。我们可以利用平移的性质，将点M沿垂直河岸的方向向下平移第一条河的宽度得到点M'，将点N沿垂直河岸的方向向上平移第二条河的宽度得到点N'，根据“两点之间线段最短”，连接M'N'的线段就是最短的剩余路径，它与河岸k、l的交点就是建桥的端点B、C，再作出垂直于河岸的桥就能得到最短路径。
【解析】
1. 因为桥AB、CD与河岸垂直，所以AB的长度等于j、k之间的河宽，CD的长度等于l、g之间的河宽，二者均为定值，因此路径总长的长短由MA+BC+DN的长度决定。
2. 将点M沿垂直于河岸的方向向下平移，平移距离等于第一条河的宽度（即AB的长度），得到点M'；将点N沿垂直于河岸的方向向上平移，平移距离等于第二条河的宽度（即CD的长度），得到点N'。
3. 根据两点之间线段最短，连接M'N'，分别交河岸k于点B、交河岸l于点C。
4. 过点B作AB⊥j，交河岸j于点A，过点C作CD⊥g，交河岸g于点D，此时得到的桥AB、CD即可使路径M—A—B—C—D—N最短。
【答案】
如图，两座桥AB，CD即为所求。
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的实际应用问题，解题核心是通过平移将固定长度的桥长从总路径中剥离，把复杂的最短路径问题转化为常见的两点之间线段最短的问题，体现了转化思想在几何问题中的应用，需要熟练掌握平移的性质和最短路径的常见求解思路。
【难度系数】
0.6
