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[典例2]计算：
(1)$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1}$；
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y-x)}$。
典例解析
(1)$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1}$；
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y-x)}$。
典例解析
答案
解（1）$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} = \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} = \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} = \frac{bc - ab}{abc} = \frac{b(c -a)}{abc} = \frac{c -a}{ac}$。
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1} = \frac{(x+1)(x+1)-4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{x+1}$。
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y -x)}$
$= \frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x - y)} = \frac{2xy + x(x - y) + y(x + y)}{2(x + y)(x - y)} = \frac{2xy + x^2 + y^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{(x + y)^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{x + y}{2x - 2y}$。
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1} = \frac{(x+1)(x+1)-4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{x+1}$。
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y -x)}$
$= \frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x - y)} = \frac{2xy + x(x - y) + y(x + y)}{2(x + y)(x - y)} = \frac{2xy + x^2 + y^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{(x + y)^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{x + y}{2x - 2y}$。
解析
【分析】
这三道题均为异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减的通用步骤：①先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母；②根据分式的基本性质，将各分式通分为同分母分式；③按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减；④将分子合并化简后，约去分子分母的公因式，得到最简分式。
具体到各小题：(1)分母为ab、bc，最简公分母为abc，通分后分子相减再约分即可；(2)先将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，通分后分子相减，再对分子因式分解约分；(3)先将$x^2-y^2$因式分解为$(x+y)(x-y)$，注意$y-x=-(x-y)$，先调整符号统一分母形式，再确定最简公分母为$2(x+y)(x-y)$，通分后合并分子、因式分解约分得到结果。
【解析】
(1) $\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} = \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} = \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} = \frac{bc - ab}{abc} = \frac{b(c -a)}{abc} = \frac{c -a}{ac}$
(2) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1} = \frac{(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{x+1}$
(3) $\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y -x)}$
$= \frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x - y)}$
$= \frac{2xy + x(x - y) + y(x + y)}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{2xy + x^2 - xy + xy + y^2}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{2xy + x^2 + y^2}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{(x + y)^2}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{x + y}{2x - 2y}$
【答案】
(1)$\frac{c-a}{ac}$；(2)$\frac{x-1}{x+1}$；(3)$\frac{x+y}{2x-2y}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础典型题，重点考查异分母分式加减的运算流程，解题时需注意准确识别分母结构、正确寻找最简公分母，遇到互为相反数的因式要先统一符号，最终结果需化为最简分式，能有效锻炼分式运算的严谨性和准确性。
【难度系数】
0.7
这三道题均为异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减的通用步骤：①先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母；②根据分式的基本性质，将各分式通分为同分母分式；③按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减；④将分子合并化简后，约去分子分母的公因式，得到最简分式。
具体到各小题：(1)分母为ab、bc，最简公分母为abc，通分后分子相减再约分即可；(2)先将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，通分后分子相减，再对分子因式分解约分；(3)先将$x^2-y^2$因式分解为$(x+y)(x-y)$，注意$y-x=-(x-y)$，先调整符号统一分母形式，再确定最简公分母为$2(x+y)(x-y)$，通分后合并分子、因式分解约分得到结果。
【解析】
(1) $\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} = \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} = \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} = \frac{bc - ab}{abc} = \frac{b(c -a)}{abc} = \frac{c -a}{ac}$
(2) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1} = \frac{(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{x+1}$
(3) $\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y -x)}$
$= \frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x - y)}$
$= \frac{2xy + x(x - y) + y(x + y)}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{2xy + x^2 - xy + xy + y^2}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{2xy + x^2 + y^2}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{(x + y)^2}{2(x + y)(x - y)}$
$= \frac{x + y}{2x - 2y}$
【答案】
(1)$\frac{c-a}{ac}$；(2)$\frac{x-1}{x+1}$；(3)$\frac{x+y}{2x-2y}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础典型题，重点考查异分母分式加减的运算流程，解题时需注意准确识别分母结构、正确寻找最简公分母，遇到互为相反数的因式要先统一符号，最终结果需化为最简分式，能有效锻炼分式运算的严谨性和准确性。
【难度系数】
0.7
典例2
解（1）$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} = \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} = \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} = \frac{bc - ab}{abc} =$
解（1）$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} = \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} = \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} = \frac{bc - ab}{abc} =$
答案
解：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} &= \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} \\&= \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} \\&= \frac{bc - ab}{abc} \\&= \frac{b(c-a)}{abc} \\&= \frac{c-a}{ac}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} &= \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} \\&= \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} \\&= \frac{bc - ab}{abc} \\&= \frac{b(c-a)}{abc} \\&= \frac{c-a}{ac}\end{aligned}$
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母ab和bc，确定最简公分母为abc；再根据分式的基本性质对两个分式通分，转化为同分母分式的减法；接着按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，对分子展开后合并同类项；最后对分子提取公因式，约掉分子分母的公因式b，将结果化为最简分式即可。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} &= \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} \\&= \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} \\&= \frac{bc - ab}{abc} \\&= \frac{b(c-a)}{abc} \\&= \frac{c-a}{ac}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{c-a}{ac}$
【知识点】
异分母分式加减法、分式约分、提取公因式因式分解
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题时要注意通分的正确性、分子去括号的符号变化，最终运算结果需化为最简分式，能有效考查学生对分式加减基本运算步骤的掌握程度。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母ab和bc，确定最简公分母为abc；再根据分式的基本性质对两个分式通分，转化为同分母分式的减法；接着按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，对分子展开后合并同类项；最后对分子提取公因式，约掉分子分母的公因式b，将结果化为最简分式即可。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc} &= \frac{(a+b)c}{abc} - \frac{(b+c)a}{abc} \\&= \frac{ac + bc - ab - ac}{abc} \\&= \frac{bc - ab}{abc} \\&= \frac{b(c-a)}{abc} \\&= \frac{c-a}{ac}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{c-a}{ac}$
【知识点】
异分母分式加减法、分式约分、提取公因式因式分解
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题时要注意通分的正确性、分子去括号的符号变化，最终运算结果需化为最简分式，能有效考查学生对分式加减基本运算步骤的掌握程度。
【难度系数】
0.8
[举一反三]计算：
(1)$\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$；
(2)$\frac{m}{m -n} - \frac{n}{m +n} + \frac{2mn}{m^2 -n^2}$。
$\frac{b(c -a)}{abc} = \frac{c -a}{ac}$。
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1} = \frac{(x+1)(x+1)-4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{x+1}$。
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y -x)}$
$= \frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x - y)} = \frac{2xy + x(x - y) + y(x + y)}{2(x + y)(x - y)} = \frac{2xy + x^2 + y^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{(x + y)^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{x + y}{2x - 2y}$。
(1)$\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$；
(2)$\frac{m}{m -n} - \frac{n}{m +n} + \frac{2mn}{m^2 -n^2}$。
$\frac{b(c -a)}{abc} = \frac{c -a}{ac}$。
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1} = \frac{(x+1)(x+1)-4x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{x+1}$。
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y -x)}$
$= \frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x - y)} = \frac{2xy + x(x - y) + y(x + y)}{2(x + y)(x - y)} = \frac{2xy + x^2 + y^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{(x + y)^2}{2(x + y)(x - y)} = \frac{x + y}{2x - 2y}$。
答案
解 (1)$\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}.$
(2)$\frac{m}{m -n} - \frac{n}{m +n} + \frac{2mn}{m^2 -n^2}$
$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2 +mn -mn +n^2 +2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}.$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}.$
(2)$\frac{m}{m -n} - \frac{n}{m +n} + \frac{2mn}{m^2 -n^2}$
$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2 +mn -mn +n^2 +2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}.$
解析
【分析】
这两道题属于异分母分式的加减运算，解题思路遵循异分母分式加减的通用步骤：1. 先对各分母因式分解，确定最简公分母；2. 处理符号问题，将互为相反数的分母统一形式，避免符号错误；3. 通分转化为同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的规则计算；4. 对分子合并同类项后因式分解，约去分子分母的公因式，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 先利用平方差公式分解第一个分式的分母：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再将第二个分式的分母$2-a$变形为$-(a-2)$，原式可改写为：
$\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
确定最简公分母为$(a+2)(a-2)$，对第二个分式通分后计算：
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
约去分子分母的公因式$a-2$（隐含条件$a≠\pm2$），得最终结果。
(2) 先利用平方差公式分解第三个分式的分母：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，确定最简公分母为$(m+n)(m-n)$，对前两个分式通分：
原式$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
分母不变，合并分子计算：
$=\frac{m^2+mn -mn +n^2 +2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m+n)(m-n)}$
将分子因式分解为$(m+n)^2$，约去分子分母的公因式$m+n$（隐含条件$m≠\pm n$），得最终结果。
【答案】
(1) $\frac{1}{a+2}$；(2) $\frac{m+n}{m-n}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，重点考查通分、符号处理和约分的能力，解题时要格外注意分母变形时符号的同步变化，最终结果必须化为最简分式，熟练掌握这类题型是后续分式混合运算的基础。
【难度系数】
0.7
这两道题属于异分母分式的加减运算，解题思路遵循异分母分式加减的通用步骤：1. 先对各分母因式分解，确定最简公分母；2. 处理符号问题，将互为相反数的分母统一形式，避免符号错误；3. 通分转化为同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的规则计算；4. 对分子合并同类项后因式分解，约去分子分母的公因式，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 先利用平方差公式分解第一个分式的分母：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再将第二个分式的分母$2-a$变形为$-(a-2)$，原式可改写为：
$\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
确定最简公分母为$(a+2)(a-2)$，对第二个分式通分后计算：
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
约去分子分母的公因式$a-2$（隐含条件$a≠\pm2$），得最终结果。
(2) 先利用平方差公式分解第三个分式的分母：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，确定最简公分母为$(m+n)(m-n)$，对前两个分式通分：
原式$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
分母不变，合并分子计算：
$=\frac{m^2+mn -mn +n^2 +2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m+n)(m-n)}$
将分子因式分解为$(m+n)^2$，约去分子分母的公因式$m+n$（隐含条件$m≠\pm n$），得最终结果。
【答案】
(1) $\frac{1}{a+2}$；(2) $\frac{m+n}{m-n}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，重点考查通分、符号处理和约分的能力，解题时要格外注意分母变形时符号的同步变化，最终结果必须化为最简分式，熟练掌握这类题型是后续分式混合运算的基础。
【难度系数】
0.7
1. 计算$\frac{3x}{x-1} - \frac{3}{x-1}$的结果是(
A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
A
).A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式的减法运算；其次根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相减，得到分子部分为$3x-3$；最后对分子因式分解后，约去分子分母的公因式，即可得到化简结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减。
$\begin{aligned}原式&=\frac{3x - 3}{x - 1}\\&=\frac{3(x - 1)}{x - 1} \quad \mathrm{（分子提取公因式3）}\\&=3 \quad \mathrm{（$x≠1$，约去公因式$x-1$）}\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、因式分解
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握同分母分式的加减运算法则，计算后要注意对结果进行约分化简，运算时注意不要遗漏分式有意义的前提条件。
【难度系数】
0.9
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式的减法运算；其次根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相减，得到分子部分为$3x-3$；最后对分子因式分解后，约去分子分母的公因式，即可得到化简结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减。
$\begin{aligned}原式&=\frac{3x - 3}{x - 1}\\&=\frac{3(x - 1)}{x - 1} \quad \mathrm{（分子提取公因式3）}\\&=3 \quad \mathrm{（$x≠1$，约去公因式$x-1$）}\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、因式分解
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握同分母分式的加减运算法则，计算后要注意对结果进行约分化简，运算时注意不要遗漏分式有意义的前提条件。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$的结果是(
A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2 -1}$
C
).A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2 -1}$
答案
2. C
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，即分母不变，分子相减；最后对结果约分，化为最简分式即可得到答案。
【解析】
首先对第二个分式的分母因式分解：$x^2 -1=(x-1)(x+1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
对第一个分式通分：$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
按照同分母分式减法法则计算：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$），得：
原式$=\frac{1}{x+1}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 平方差公式因式分解
3. 分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分时注意分子要随分母同步变形，计算分子减法时要注意符号，最后将结果约分为最简分式即可，熟练掌握通分、约分规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，即分母不变，分子相减；最后对结果约分，化为最简分式即可得到答案。
【解析】
首先对第二个分式的分母因式分解：$x^2 -1=(x-1)(x+1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
对第一个分式通分：$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
按照同分母分式减法法则计算：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$
$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$），得：
原式$=\frac{1}{x+1}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 平方差公式因式分解
3. 分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分时注意分子要随分母同步变形，计算分子减法时要注意符号，最后将结果约分为最简分式即可，熟练掌握通分、约分规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
