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7. 如图14是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形,试回答下列问题:
(1)以每秒1 mL的速度,往容器内注水时,水面到离台面10 cm的地方为止,需要多少秒?
(2)求这个立体图形的体积.
(3)求这个立体图形的表面积.(π取3)
(1)以每秒1 mL的速度,往容器内注水时,水面到离台面10 cm的地方为止,需要多少秒?
(2)求这个立体图形的体积.
(3)求这个立体图形的表面积.(π取3)
答案
解：
(1) 水面到离台面10 cm时，容器内水深为 $ 10 - 5 = 5 \, \mathrm{cm} $，
水的体积为：
$ V_{\mathrm{水}} = π × 2^2 × 5 = 20π \, \mathrm{cm}^3 $
代入$π=3$，得$ V_{\mathrm{水}} = 20 × 3 = 60 \, \mathrm{cm}^3 = 60 \, \mathrm{mL} $，
所需时间为：$ 60 ÷ 1 = 60 \, \mathrm{秒} $。
(2) 该立体图形是底面边长为8 cm、总高为 $ 5+10=15 \, \mathrm{cm} $ 的正四棱柱，挖去一个底面半径为2 cm、高为10 cm的圆柱，
立体图形体积：
$\begin{aligned}V &= 8 × 8 × 15 - π × 2^2 × 10 \\&= 960 - 40π\end{aligned}$
代入$π=3$，得$ V = 960 - 40 × 3 = 840 \, \mathrm{cm}^3 $。
(3) 挖去圆柱后，原正四棱柱顶面减少的圆面积，与新增的圆柱底部圆面积抵消，总表面积等于原正四棱柱表面积加上圆柱的侧面积：
原正四棱柱表面积：$ 2 × 8 × 8 + 4 × 8 × 15 = 608 \, \mathrm{cm}^2 $，
圆柱侧面积：$ 2π × 2 × 10 = 40π \, \mathrm{cm}^2 $，
总表面积：
$\begin{aligned}S &= 608 + 40π \\&= 608 + 40 × 3 = 720 \, \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
答：(1)需要60秒；(2)这个立体图形的体积为$840 \, \mathrm{cm}^3$；(3)这个立体图形的表面积为$720 \, \mathrm{cm}^2$。
(1) 水面到离台面10 cm时，容器内水深为 $ 10 - 5 = 5 \, \mathrm{cm} $，
水的体积为：
$ V_{\mathrm{水}} = π × 2^2 × 5 = 20π \, \mathrm{cm}^3 $
代入$π=3$，得$ V_{\mathrm{水}} = 20 × 3 = 60 \, \mathrm{cm}^3 = 60 \, \mathrm{mL} $，
所需时间为：$ 60 ÷ 1 = 60 \, \mathrm{秒} $。
(2) 该立体图形是底面边长为8 cm、总高为 $ 5+10=15 \, \mathrm{cm} $ 的正四棱柱，挖去一个底面半径为2 cm、高为10 cm的圆柱，
立体图形体积：
$\begin{aligned}V &= 8 × 8 × 15 - π × 2^2 × 10 \\&= 960 - 40π\end{aligned}$
代入$π=3$，得$ V = 960 - 40 × 3 = 840 \, \mathrm{cm}^3 $。
(3) 挖去圆柱后，原正四棱柱顶面减少的圆面积，与新增的圆柱底部圆面积抵消，总表面积等于原正四棱柱表面积加上圆柱的侧面积：
原正四棱柱表面积：$ 2 × 8 × 8 + 4 × 8 × 15 = 608 \, \mathrm{cm}^2 $，
圆柱侧面积：$ 2π × 2 × 10 = 40π \, \mathrm{cm}^2 $，
总表面积：
$\begin{aligned}S &= 608 + 40π \\&= 608 + 40 × 3 = 720 \, \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
答：(1)需要60秒；(2)这个立体图形的体积为$840 \, \mathrm{cm}^3$；(3)这个立体图形的表面积为$720 \, \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
首先根据正上面和正侧面视图还原几何体：该几何体是底面为边长8cm的正方形、总高15cm的正四棱柱，内部挖去一个底面半径2cm、高10cm的圆柱形通孔。
(1) 注水是注入挖去的圆柱部分，水面到离台面10cm时，先计算注水深度：台面以上5cm为实心四棱柱，因此注水深度为$10-5=5\,\mathrm{cm}$，再计算该部分圆柱体积，结合注水速度即可求出注水时间。
(2) 立体图形体积等于外围正四棱柱的总体积减去挖去的圆柱的体积，分别代入柱体体积公式计算即可。
(3) 计算表面积时需注意：挖去圆柱后，四棱柱顶面减少的圆面积和圆柱底部新增的圆面积相互抵消，因此总表面积为原正四棱柱的表面积加上圆柱的侧面积，分别计算求和即可。
【解析】
(1) 水面到离台面10 cm时，容器内水深为 $ 10 - 5 = 5 \, \mathrm{cm} $，
水的体积为：
$ V_{\mathrm{水}} = π × 2^2 × 5 = 20π \, \mathrm{cm}^3 $
代入$π=3$，得$ V_{\mathrm{水}} = 20 × 3 = 60 \, \mathrm{cm}^3 = 60 \, \mathrm{mL} $，
所需时间为：$ 60 ÷ 1 = 60 \, \mathrm{秒} $。
(2) 该立体图形是底面边长为8 cm、总高为 $ 5+10=15 \, \mathrm{cm} $ 的正四棱柱，挖去一个底面半径为2 cm、高为10 cm的圆柱，
立体图形体积：
$\begin{aligned}V &= 8 × 8 × 15 - π × 2^2 × 10 \\&= 960 - 40π\end{aligned}$
代入$π=3$，得$ V = 960 - 40 × 3 = 840 \, \mathrm{cm}^3 $。
(3) 挖去圆柱后，原正四棱柱顶面减少的圆面积，与新增的圆柱底部圆面积抵消，总表面积等于原正四棱柱表面积加上圆柱的侧面积：
原正四棱柱表面积：$ 2 × 8 × 8 + 4 × 8 × 15 = 608 \, \mathrm{cm}^2 $，
圆柱侧面积：$ 2π × 2 × 10 = 40π \, \mathrm{cm}^2 $，
总表面积：
$\begin{aligned}S &= 608 + 40π \\&= 608 + 40 × 3 = 720 \, \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 需要60秒；(2) 立体图形的体积为$840 \, \mathrm{cm}^3$；(3) 立体图形的表面积为$720 \, \mathrm{cm}^3$
【知识点】
三视图还原几何体，柱体体积计算，几何体表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查不规则几何体的相关量计算，解题核心是准确还原几何体的结构，计算表面积时要注意挖去圆柱后表面的增减变化，避免漏算圆柱侧面积或错算上下底面的面积，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据正上面和正侧面视图还原几何体：该几何体是底面为边长8cm的正方形、总高15cm的正四棱柱，内部挖去一个底面半径2cm、高10cm的圆柱形通孔。
(1) 注水是注入挖去的圆柱部分，水面到离台面10cm时，先计算注水深度：台面以上5cm为实心四棱柱，因此注水深度为$10-5=5\,\mathrm{cm}$，再计算该部分圆柱体积，结合注水速度即可求出注水时间。
(2) 立体图形体积等于外围正四棱柱的总体积减去挖去的圆柱的体积，分别代入柱体体积公式计算即可。
(3) 计算表面积时需注意：挖去圆柱后，四棱柱顶面减少的圆面积和圆柱底部新增的圆面积相互抵消，因此总表面积为原正四棱柱的表面积加上圆柱的侧面积，分别计算求和即可。
【解析】
(1) 水面到离台面10 cm时，容器内水深为 $ 10 - 5 = 5 \, \mathrm{cm} $，
水的体积为：
$ V_{\mathrm{水}} = π × 2^2 × 5 = 20π \, \mathrm{cm}^3 $
代入$π=3$，得$ V_{\mathrm{水}} = 20 × 3 = 60 \, \mathrm{cm}^3 = 60 \, \mathrm{mL} $，
所需时间为：$ 60 ÷ 1 = 60 \, \mathrm{秒} $。
(2) 该立体图形是底面边长为8 cm、总高为 $ 5+10=15 \, \mathrm{cm} $ 的正四棱柱，挖去一个底面半径为2 cm、高为10 cm的圆柱，
立体图形体积：
$\begin{aligned}V &= 8 × 8 × 15 - π × 2^2 × 10 \\&= 960 - 40π\end{aligned}$
代入$π=3$，得$ V = 960 - 40 × 3 = 840 \, \mathrm{cm}^3 $。
(3) 挖去圆柱后，原正四棱柱顶面减少的圆面积，与新增的圆柱底部圆面积抵消，总表面积等于原正四棱柱表面积加上圆柱的侧面积：
原正四棱柱表面积：$ 2 × 8 × 8 + 4 × 8 × 15 = 608 \, \mathrm{cm}^2 $，
圆柱侧面积：$ 2π × 2 × 10 = 40π \, \mathrm{cm}^2 $，
总表面积：
$\begin{aligned}S &= 608 + 40π \\&= 608 + 40 × 3 = 720 \, \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 需要60秒；(2) 立体图形的体积为$840 \, \mathrm{cm}^3$；(3) 立体图形的表面积为$720 \, \mathrm{cm}^3$
【知识点】
三视图还原几何体，柱体体积计算，几何体表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查不规则几何体的相关量计算，解题核心是准确还原几何体的结构，计算表面积时要注意挖去圆柱后表面的增减变化，避免漏算圆柱侧面积或错算上下底面的面积，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
